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27.3反比例函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图直线与双曲线相交于两点，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（ ）
A．1 B．2024 C． D．
5．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A．过点且平行于x轴的直线与一次函数的图像、反比例函数的图像分别交于点C、D．若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
6．如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为，坐在距离跷跷板支点的处，明明小朋友的体重为，距离跷跷板支点的距离为．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则与应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
14．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ．
15．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，科学证实：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例函数关系．若500度近视眼镜片的焦距为，则200度近视眼镜片的焦距为 m．
16．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ．
17．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B，C两点，若函数的图象与△ABC的边有2个公共点，则k的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知反比例函数图象的一支在第一象限，点，均在这个函数的图象上．
(1)图象的另一支在第 象限；常数m的取值范围为 ；
(2)直接写出a与b的大小关系；
(3)若过点作轴于点，连接，若的面积为3，求此反比例函数的表达式；
(4)在（3）的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．
(1)求的值；
(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．
20．如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点．
(1)求的值；
(2)求五边形的面积．
21．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是．

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
22．我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格．
5 10 15 20 25 30 35
32 16 8
(1)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象；
(2)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围．
23．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 8 ……
硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……

(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
《27.3反比例函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C C D D C B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，直线的图象在双曲线的图象上方的部分表示．
【详解】直线的图象在双曲线的图象上方的部分表示，可知当或时，．
故选：D．
2．C
【分析】分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
【详解】解：当时，
直线经过第一、三、四象限，
双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；
当时，
直线经过第一、二、四象限，
双曲线经过第二、四象限，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
3．A
【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答．
【详解】当时，，
即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意，
A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意；
B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可．
【详解】解：∵的横坐标依次为1，2，3，…，2024，，
∴阴影矩形的一边长都为1，
如图：记轴于点D，轴于点C，轴于点A，且交于点B，
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，．
故选D．
5．C
【分析】先用a表示出和的值，然后列出不等式求解得即可．
【详解】解：过点平行于x轴的直线与反比例函数的图像交于点D，
∴D的纵坐标为，
∴将纵坐标代入得：，
∴ ，
过点且平行于x轴的直线与一次函数的图像交于点C，
∴C的纵坐标为
∴将纵坐标代入得，，
∴，
∴, ，
∵，
∴,
∴当时，;
当时，．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，正确表示出线段的长度并分情况讨论是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题．
根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
，
故选：C．
7．D
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．
【详解】解：根据双曲线的解析式可得
所以可得
设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M
因此
而图象可得
所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
根据题意得到，，由此即可求解．
【详解】解：点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，
∴，
过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，
∴，
∴，
故选：D ．
9．C
【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质，用排除法解答即可．
【详解】解：A．∵的图象应经过原点，故A不正确；
B．由的图象得，由的图象得，矛盾，故B不正确；
C．由的图象得，由的图象得，故C正确；
D．由的图象得，由的图象得，矛盾，故D不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数综合，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可．
【详解】解：如图设与y轴交于点C，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，，
∵，
∴，
∴
故选：B．
11．B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴此函数的图象位于一、三象限，
故选：B．
12．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，矩形的性质，设点坐标，根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
在中，当时，，
，
点横坐标为，
点横坐标为，
在中，当时，，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
故选：A．
13．20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
14．或
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键．
设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
∵矩形，
∴，，
，
设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图，
∴，，，
，
，
，．
故答案为：2或．
15．0.5
【分析】根据题意，可以求得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式，然后将代入，求出相应的x的值即可．
【详解】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
∵500度近视眼镜片的焦距为，
∴，
解得，
∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
当时，，
解得，
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
16．
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
17．5＜k＜8或9＜k＜20
【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围．
【详解】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝ x＋6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝ x＋6，得x＝1，
将x＝4代入y＝ x＋6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
令，整理得，，
Δ＝36 4k＝0，解得k＝9，
∵函数（x＞0）的图象与△ABC的边有两个公共点，点A（4，5），点B（1，5），C（4，2），
∴1×5＜k＜4×2或9＜k＜4×5，即5＜k＜8或9＜k＜20，
故答案为：5＜k＜8或9＜k＜20．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．(1)三，；
(2)；
(3)
(4)存在，或或．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得答案；
（2）由反比例函数的增减性可得答案；
（3）根据反比例函数的几何意义列方程可得答案；
（4）设，根据平行四边形对角线中点重合，分三种情况列方程组，分别解方程组即可得到的坐标．
【详解】（1）反比例函数图象的一支在第一象限，
图象的另一支在第三象限，，
，
故答案为：三，；
（2）反比例函数在第一象限，随的增大而减小，
，
；
（3）如图：
轴，的面积为3，
，
解得；
∴此反比例函数的表达式为；
（4）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（3）知，
把，代入得：
，，
，，
设，又，
①若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
②若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得；
，
③若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式即可求解；
（2）①根据题意可求点P的纵坐标为，由轴，可得点的纵坐标为，由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求的长，利用三角形面积公式，即可．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，即．
（2）解：①∵在直线上且横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为．
∵点在函数的图象上，
∴点的横坐标为．
∴点的坐标为．
②∵，，
∴，
∵中边上的高，
∴，
∵的面积等于3，
∴，
∴（舍），，
∴点的横坐标为．
【点睛】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键．
20．(1)4
(2)7
【分析】（1）直接将点坐标代入函数解析式得出答案；
（2）首先求出点坐标，进而得出的面积，进而得出答案．
【详解】（1）把
代入得，
；
（2）∵四边形是矩形，点是中点，
∴，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
把代入得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的面积为：7．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义，正确得出点坐标是解题关键．
21．(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为
(2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将分别代入（1）中函数解析式可得，，然后作差即可求解．
【详解】（1）解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为，
∵点在该函数的图象上，
∴，得，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为．
设该材料加热过程中对应的函数解析式为，
∵点、在该函数的图象上，
∴，得，
该材料加热过程中对应的函数解析式为．
（2）解：将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
∴（分钟），
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键．
22．(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例的性质是解题的关键．
（1）根据杠杆平衡原理可得，即可求解；
（2）根据弹簧秤的最大量程是，即可求解．
【详解】（1）解：由杠杆平衡原理可知，，
所以关于的表达式为，
画出与的大致函数图象如答图所示．
（2）解：∵，
∴当时，，
∴
又∵木杆长，点为木杆中点，
∴，
∴．
23．(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
24．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
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