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28.4垂径定理
一、单选题
1．已知的半径为是内一点，是线段上的一个动点，则经过点的弦中，最短弦的长度为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
2．如图所示，点D是弦的中点，点C在上，经过圆心O，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．弧弧
3．如图，是的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，外部交于点D，画射线交于E，连接，点F是劣弧上一点，连接，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（　　）
A．10° B．20° C．40° D．80°
5．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
7．为了美化城市环境，十堰市政府对百二河进行了全部改建和绿化，在上游建了一座圆形拱桥， 其跨度， 拱高， 则弧所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
9．如图，是的外接圆，弦交于点，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（　　）
A． B．7 C．8 D．
10．如图， 为 的直径， 点 为半圆上一点且 分别为 的中点， 弦 分别交 于点 ． 若 ， 则 （　　）
A． B． C．18 D．
11．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
12．如图，的两条高线、交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，直径，弦于，，则弦的长为　 　．
14．直径为的圆形管水平铺设，管内液面宽度为，则液体最大深度为　 　．
15．（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为　 　．
（2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为　 　．
16．平面内有四个点A、O、B、C，其中，，，则满足题意的长度的取值范围是　 　．
17．如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为　 　．
三、解答题
18．如图，在直径为的中，，垂足为点，且，求弦的长．
19．根据素材解决问题：
设计货船通过拱桥的方案
素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径；
任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
20．如图，已知中弦，点是上一动点，连接，过点作于点于点，连接．
（1）若点运动到的中点，此时点到弦的距离为2，求的半径；
（2）在点运动过程中，线段的长是否发生改变？如果不变，求出线段的长；如果改变，请说明理由．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆弧上一点，CD=BC.
（1）求证：OC//AD.
（2）若AD=6，AB=10，求点O到AD的距离.
22．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
23．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．
（1）如图1，若，的度数为，求的长．
（2）如图2，若，求的值．
（3）如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比．
24．千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　．
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．C
5．C
6．C
7．A
8．B
9．B
10．A
11．C
12．D
13．2
14．或
15．；
16．
17．
18．解：，
，
直径是，
，
，
，
．
19．(1) (2) 10吨
20．（1）的半径为5；
（2）线段的长不变，且．
21．（1）证明：
（2）解：∵AB是☉O的直径，
即点到的距离是4.
22．（1）解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴
（2）解：
连接，∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
即小圆的半径为
23．（1）1
（2）
（3）1或2
24．（1）；（2）；（3）
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