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第二十六章解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．阅读理解题，．．
故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，则点A到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面O处竖直向上发射，当火箭到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达B处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为，则从A处到B处的飞行距离为（ ）

A．4km B．km C．km D．km
5．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（ ）
A．50 m B．25 m C．m D．75 m
6．如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系内，以坐标原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，其中A点坐标为，为第一象限内圆上一点，连接OP，则的值为（　　）
A．a B．b C． D．
8．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
9．如图，在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）
A． B． C． D．
11．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
12．如图，，，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则的正弦值为 ．
15．已知是锐角，，则的值为 ．
16．如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）
17．如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式）
三、解答题
18．如图，在中，，，，点在的延长线上，6，求的长．
19．周末，小明一家去龙泉湖游玩．如图，妈妈留在岸边P处，小明与爸爸乘坐的小船从P处出发，沿北偏东方向划行300米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．
(1)求小船从A处划到B处的过程中，到点P的最短距离；（结果保留根号）
(2)小明在B处观测妈妈所在的P处在北偏西方向上，求这时小明与妈妈相距多少米．（参考数据：，，，，）
20．如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
21．如图，将以点A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为？
22．京昆高速公路绵阳至成都段扩容项目（以下简称“成绵扩容项目”）自开工以来备受关注．作为成都至绵阳的第三条高速公路，成绵扩容项目是四川省首条拥有连续的城市高架桥、采用双向八车道技术标准的高速公路．某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点处，测得高架桥顶端的仰角为，在离点的点处测得高架桥顶端的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）

23．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
(1)填空： ；
(2)求点到地面的距离；
(3)求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
24．计算下列各题：
(1)；
(2) ．
《第二十六章解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C D A C A B
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】理解题意，寻找规律解题.
根据已知条件找出规律，根据此规律及特殊角的三角函数值求解.
【详解】当为锐角时，有，
故选：A.
2．B
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数的定义：我们把锐角的相邻直角边与斜边的比叫做的余弦，记作．
【详解】解：在中，，，．
所以．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．
过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离．
【详解】解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．根据含30度角的直角三角形可得，在中，根据直角三角形的性质得出，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：在中，
，，，
．
在中，
，
在中，
，，
．
．
故选C
5．C
【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高．
【详解】解：设山高为x，
在中有：，
在中有：，
而，
解得米．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴用科学计算器求的长的按键顺序为：
；
故选D．
7．A
【分析】
由计算可知，做于点，再结合点的坐标和圆的半径相等，即可求解．
【详解】做于点
点、点在以为圆心的圆上
点在第一象限，且
故答案选：A．
【点睛】本题主要考查余弦值的求法、圆的性质等知识点，属于基础知识考查，难度不大．解题的关键是掌握余弦值的求法．
8．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，
∵点在第一象限，
∴，
∵与x轴所夹锐角为，，
∴，
∴，即，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．
过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离．
【详解】解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：，，，所对的边分别为a、b、c，
，故A成立，不符合题意；
，故B不成立，符合题意；
，故C成立，不符合题意；
，故D成立，不符合题意；
故选B．
11．A
【分析】在中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：A．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
12．D
【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点A作交于点D，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．34
【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点E处的小明看点D处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴
∴，
即点E处的小明看点D处的小杰的俯角等于34度，
故答案为：34．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．
【分析】根据题意得出，利用求出，再利用勾股定理求出，在根据正弦的定义：对边比斜边即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求角的正弦值．熟练掌握正弦的定义：，是解题的关键．
15．
【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴；
∴，
在中，，，
∴；
∴米；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得．
【详解】解：由题意得：米，米，，
∴，
∴，
∴残疾人通道的坡度为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．”是解题关键．运用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理，得，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
19．(1)小船从A处划到B处的过程中，到点P的最短距离为米
(2)小明与妈妈相距约432.5米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
作于点，分别在直角三角形和直角三角形中求得和即可得到答案．
【详解】（1）如图，过点P作于点D．
由已知得米，．
在中，由，得（米）．
答：小船从A处划到B处的过程中，到点P的最短距离为米；
（2）在中，由，得（米）．
答：小明与妈妈相距约432.5米．
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用即可证明；
（）由设，，则，由勾股定理得，进而得，再根据可得，求出即可求解；
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
21．
【分析】本题考查了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半及三角函数的定义，熟知相关性质及定义是正确解题的关键．
的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求，因而过作出，垂足为D．在直角中，根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】解：如图，过点作于点D．
在等腰直角三角形中，
是底边上的中线，
．
，
，
．
22．这段高架桥离地面的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设这段高架桥离地面的高度为．根据正切的定义分别用表示出、，列出方程，解方程即可得解．
【详解】解：由题意可知，，
设这段高架桥离地面的高度为．
在中，，
∴，即，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，即．
解得．
∴这段高架桥离地面的高度约为．
23．(1)；
(2)米；
(3)米．
【分析】（）过点作，由平行公理的推论可得，进而由平行线的性质得，，再根据角的和差关系即可求解；
（）延长交于点，则，解即可求解；
（）过点作于，可得为等腰直角三角形，得到，设，解得，进而由米可得，解方程得到米，又可得是矩形，即得米，根据线段的和差关系即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角函数的计算，二次根式的性质，零指数幂；熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值代入并化简，零指数幂，化简二次根式，然后求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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