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第二十四章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
3．在本次新冠疫情中，因为某些发达国家控制不力，导致全球不少人被感染，其中有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．±2 B．±6 C．±4 D．±3
6．下列数中，能使方程成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
7．中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
8．已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（ ）
A．38 B．37 C．36 D．35
9．若是方程的一个根，设，，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B．4 C．4或 D．16
11．一元二次方程的根是（　　）
A． B． C． D．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．或3 D．或1
二、填空题
13．如图是2023年6月的月历，在此月历表上可以用一个方框圈出4个数．若圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为 ．

14．若与互为相反数，则x的值为 ．
15．若将一元二次方程化为的形式，则 ．
16．若方程的两个根是和4，则 ， ．
17．若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M N（填“>”“<”或“=”）．
三、解答题
18．（1）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁2660吨，则二、三月份钢铁生产量平均每月的增长率是多少？
（2）某产品原来是600元/件，由于连续两次降价，现价为384元/件，如果两次降价的百分率相同，求降价的百分率．
19．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程：
(1)
(2)
20．解方程：．
21．学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？
22．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天．
(1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少；
(2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案：
书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）；
书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）．
是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长；
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
24．(1)某男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），比赛总场数为380，求参赛队伍的支数．
(2)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长．
《第二十四章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A A B D D A C
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可．
【详解】解：∵，且，
∴方程必有一根为；
故选B．
3．A
【分析】由每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有人患了流感，经过第二轮后有人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的运用，根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数是解本题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根求解即可．
【详解】方程的判别式为 ．
当时，方程有两个相等的实数根，
即：，
解得
故选A．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解．
【详解】解：A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故符合题意；
C、当时，，故不符合题意；
D、当时，，故不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到，然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：∵的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，
∴，
∴对角线长的取值范围是．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则
∴，
故选：D．
9．A
【分析】把代入方程得，作差法比较可得．
【详解】解：∵x1是方程的一个根，
∴，
则
＝ac﹣ac﹣1
＝﹣1，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
∴实数的值为或，
故选：C ．
11．D
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
先移项，再提取公因式，求出的值即可．
【详解】解：移项，得，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
故选：D．
12．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，一般地，形如的方程叫做一元二次方程得到关于的方程，然后进行求解即可．
【详解】解：方程是一元二次方程，
且，
解得，
故选：A．
13．5
【分析】设圈出来的最小数为，则其余三个数分别为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为65，列出方程求解即可．
【详解】解：设圈出来的最小数为，则其余三个数分别为，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故答案为：5
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
14．或
【分析】此题考查了解一元二次方程一公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键．
利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值
【详解】解：根据题意得：，
整理得：．
，
，
解得：，
故答案为：或
15．40
【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故答案为：40．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，，进而求解即可．
【详解】解：∵方程的两个根是和4，
∴，．
∴．
故答案为：，．
17．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
利用作差法进行计算比较．
【详解】解：是方程的一个根，
，即．
=0，
．
故答案为：=．
18．（1）；（2）
【分析】（1）设二、三月份钢铁生产量平均每月的增长率是x，根据第一季度生产总量=一月份生产量+二月份生产量+三月份生产量，列出方程即可；
（2）设降价的百分率为y，根据降价前单价降价后单价，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设二、三月份钢铁生产量平均每月的增长率是x，
，
整理得：，
解得：（舍），
答：二、三月份钢铁生产量平均每月的增长率是；
（2）设降价的百分率为y，
，
解得：（舍），
∴降价．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
或，
所以，；
（2），
或，
所以，．
20．，
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】
∴
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
21．这两年人均阅读量年平均增长率是
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出方程是解题关键．设这两年人均阅读量年平均增长率是x，根据从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这两年人均阅读量年平均增长率是x，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
答：这两年人均阅读量年平均增长率是．
22．(1)1400元；
(2)不能，理由见解析；
(3)存在，（）．
【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可；
（2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可；
（3）根据题意建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元；
（2）不能，由题意可得：，
解得或，
因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去，
所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等；
（3）存在，由题意可得：，
整理得，
解得使两种方案的销售额相等，此时．
23．任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
答：收纳盒的底面的边的长为，的长为；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：该收纳盒的高为．
24．(1)
参赛队伍的支数．
(2)
较长的直角边长．
【分析】本题考查的知识点为由实际问题抽象出一元二次方程并进行求解，找出正确的等量关系是解题的关键。
题目已设未知数，根据比赛使用双循环制（每两队之间都进行场比赛），总比赛场数为，列方程求即可；
根据已知条件：直角三角形、斜边长为以及两直角边关系利用勾股定理求解即可。
【详解】（1）解：根据题意可得
；
整理得，
；
因式分解得，
；
解得，
，（舍）；
故答案为参赛队伍的支数为20.
（2）解：根据题意可得
；
整理得，
；
因式分解得，
；
解得
，（舍）；
故答案为较长的直角边长为.
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