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24.2解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程，最适合用公式法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程最适合用配方法求解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程和 所有实数根的和等于（　　）
A．3 B．2 C．1 D．10
6．一元二次方程的根是（ ）
A． B．， C． D．，
7．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．将一元二次方程的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
14．一元二次方程配方为，则的值是 ．
15．已知方程，则 ．
16．将配方成的形式，则 ．
17．已知方程的两根分别为和，则的值等于 ．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．
(1)若；
①如图1，若点E在边上，的长为 　 　；
②P、E、C三点在同一直线上时，求的长；
(2)如图3，当点P是的中点时，此时点E落在矩形内部，延长交于点F，若点F是的三等分点，求的长．
23．（二次项系数为1）用配方法解方程：．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根分别为且满足，求a的值．
《24.2解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B B A B B A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可．
【详解】解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
C、适合用公式法求解，故本选项符合题意；
D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据方程的特点选择合适的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】解：A、此方程适合用因式分解法求解；
B、此方程适合用配方法求解；
C、此方程适合用直接开平方法求解；
D、此方程适合用因式分解法求解；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
，
所以方程的解为，
故选；D．
4．D
【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法配方即可．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即：，
故选：D．
5．B
【分析】先利用根的判别式的意义判断没有实数解，所以利用根与系数的关系求出方程的两根之和即可．
【详解】解：对于方程，
，
此方程没有实数解，
一元二次方程和所有实数根的和等于2．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
6．B
【分析】考察一元二次方程的解法——直接开平方法
【详解】解：∵
∴
故答案选B
7．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选A．
8．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键；
通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定右边的常数．
【详解】解：原方程为
配方，得
即
∴右边的常数为，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键．
根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：B ．
10．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴以，为根的一元二次方程是，
故选：A．
11．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得或，解之即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴或，
解得或，
故选：C．
12．A
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，然后选择符合题意的即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴的值可以为，
故选：．
13．2
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据，构建方程求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．将原方程变形为的形式，即可得出k的值．
【详解】解：，
，
，
，
∴．
故答案为：2．
15．4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查配方法，将方程进行配方即可解答．
【详解】解：将配方，得，
∴．
故答案为：
17．/
【分析】由根与系数的关系找出，，直接代入数据即可得出结论．
【详解】解：方程的两根分别为出，，
，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出，是解题的关键．
18．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用直接开平方法计算即可．
（2）利用直接开平方法计算即可．
（3）利用因式分解法计算即可．
本题考查了因式分解法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵,
∴
∴
解得，．
（2）解：∵,
∴
∴
解得，．
（3）解：∵，
∴
∴
解得，．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【详解】（1）解：
，
∴或，
∴，；
（2）解：
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查公式法．
20．
【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴方程的解为；
令，则，
∴，
∴原方程变形为，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，均为原方程的解，
∴，
∴两个方程所有解的和的比．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
22．(1)①6；②2
(2)
【分析】（1）①点E在边上，由折叠得，则，所以；
②由平分，得，则，得，再由勾股定理求得，则；
（2）连接，先证明，再设，则，，即可根据勾股定理列方程得，因为x是正数，所以，则．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
①如图1，点E在边上，
由折叠得，
∴，
∴，
故答案为：6．
②如图2，由折叠得，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
（2）如图3，连接，
∵点P是的中点，
∴，
由折叠得，
∴，
在和中，
，
∴，
设，
∵点F是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23．，
【分析】把方程化为，开方化为一元一次方程，求解；
【详解】移项得，
配方得，即，
开方得．
∴，．
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程；掌握配方的步骤是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解分式方程：
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据题意得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴不论a为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴．
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