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24.3一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的三边长分别为，，，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的形状一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．不存在
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号
C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根
5．已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
6．若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（　　　）
A． B． C．且 D．且
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．且
C．且 D．
8．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．3
9．关于x的方程有两个根为、，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
11．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
结论二：原方程的两根之和．
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
二、填空题
13．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
14．已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为 ．
15．若关于的方程的两个根分别为1和，则 ， .
16．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ．
17．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ．
三、解答题
18．已知关于的一元二次方程．
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)方程有两个不相等的正整数根时，求整数的值．
19．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)
(2)
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
22．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
23．已知：关于x的一元二次方程．
(1)当m取何值时，此方程没有实数根；
(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
24．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．
《24.3一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B B C B A D A
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理逆定理．根据一元二次方程根与系数的关系，可得，即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
故选：A
2．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：且．
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根分别为，，
，
方程的两根异号．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用根与系数之间的关系求解即可．熟练掌握根与系数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实根，
∴，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和判别式，熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时，是解题的关键．
7．B
【分析】一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得，且，
故选：B．
8．A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
，
故选：．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键
根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可
【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：．
故选：D ．
10．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴a值可以是2．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二.
【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得：
，
解得：，
因此，原方程为，
∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确；
综上，结论一正确、结论二不正确，
故选A
12．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
13．/
【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，
∴，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14．
【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：0．
15．
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意已知两个根，利用根与系数的关系，进行分析求解．
【详解】解：∵的两个根分别为1和，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
16．
【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
∴
设的两根分别是、；则，；
∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)当时，方程有两个相等的实数根，当且时，方程有两个不相等的实数根
(2)
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得出，再利用根的判别式，套入数据即可得出，由此即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可得出且，设方程的两个根分别为、，利用根与系数的关系可得出，再根据、均为正整数，为整数，即可得出结论．
【详解】（1）解： 方程是关于的一元二次方程，
，
，
当时，方程有两个相等的实数根，当且时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程有两个不相等的正整数根，
且．
设方程的两个根分别为、，
，
、均为正整数，
为正整数，
为整数，且，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出，（2）找出为正整数．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
．
20．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
21．(1)见解析
(2)-4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程的因式分解法以及根的判别式，熟悉掌握是关键．
根据题意求出的取值范围，再结合根与系数的关系，即可证出；
由的结论结合根与系数的关系，即可得出关于的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求出值．
【详解】（1）证明：由题意，得，
即，解得，
，
．
（2）解：，
，即，
，
解得（不合题意，舍去），
的值为．
故答案为：．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键；
（1）由题意可得，再求解即可；
（2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根．
，
解得：；
（2）解：∵
∴当时，一元二次方程为，
，
．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键．
（1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答；
（2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
可得，
当，即时，此方程没有实数根；
（2）解：∵有两个实数根，
∴，
∴；
∴m的最小整数值为．
24．时，或时，
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
综上所述，时，或时，．
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