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24.4一元二次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）人
A．2 B．8 C．10 D．4
3．美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
4．某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（ ）
A．7支 B．6支 C．5支 D．4支
8．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
12．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ．
14．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为 ．
15．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ．
16．中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为．
17．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ．
三、解答题
18．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，为尽快将西瓜售出，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
19．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元．
(1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围）
(2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？
(3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
20．湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．
(1)求每件文化衫和每个书签的进价．
(2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？
21．在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了．
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元
2023 ①______
2025 ②______
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
22．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 价格 A款保温杯 B款保温杯
进货价（元/个） 35 28
销售价（元/个） 50 40
(1)网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
(2)第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是　 　元；
(3)国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？
23．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．

24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？
《24.4一元二次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C C D B D C A
题号 11 12
答案 A A
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键．
根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可．
【详解】解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x，
∴2023年增长到人次，
2024年增长到人次，
∵2024年增长至46万人次，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染后，患病人数为人，
第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：，
根据题意，有：，
解得：或（舍去），
因此，每轮传染中平均一个人传染了人．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用；等量关系为：小组的人数小组人数，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设美术兴趣小组人数为人．
，
解得 (不合题意，舍去)，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：．
5．C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为，
故选：D．
7．B
【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支．
根据题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴该小组参加比赛的队伍共有6支．
【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循环赛制，需要除以2才行
8．D
【分析】本题主要考査了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的总收入，再根据题意表示出三月份的总收入，然后将三个月的总收入相加，即可列出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的总收入为：，三月份的总收入为：，
根据题意得：．
故选：D．
9．C
【分析】设全班有x名学生，根据“每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名学生，根据题意，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．
把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
11．A
【分析】根据题意可知：标价（折数10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；
【详解】设每本《几何原本》的进价为元，则：
由题意可得：，
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价（折数10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．
12．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：，．
当运动时间为秒时，，，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
点的运动时间是．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可．
【详解】解：将，代入得：
，
解得：，（舍去），
故答案为：．
14．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2022年投入3000万元，预计2024年投入4320万元即可得出方程．
【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为，
则2023年的教育经费为：，
则2024年的教育经费为：，
∴可以列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分别表示底面长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式列出方程即可．
【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，则该无盖纸盒的底面是一个两邻边长分别为的长方形，
∴，
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】解：由题意，得，．
列方程，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
故答案为：1
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可．
【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，
由题意得：，
故答案为：．
18．元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，则销售量为千克，再根据利润等于西瓜的利润减去房租等固定成本建立方程求解即可．
【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵为尽快将西瓜售出，
∴，
答：应将每千克小型西瓜的售价降低元．
19．(1)
(2)元
(3)不能，理由见解析
【分析】（）根据题意列出函数关系式即可；
（）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（）根据题意列出一元二次方程，由方程的解的情况即可判断求解；
本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：由题意得，，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元；
（3）解：不能，理由如下：
由题意得，，
整理得，，
∵，
∴原方程无解，
∴不能平均每天盈利元．
20．(1)每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元
(2)文化衫应降价8元或者2元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
（）设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，根据采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．列出分式方程求解并检验即可；
（）先求出降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据平均每天的总利润达到400元，列出关于x的一元二次方程求出的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元；
（2）解：降价前文化衫每件的利润为元，
设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，
根据题意，得，
解得，，
答：文化衫应降价8元或者2元．
21．(1)
(2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为
【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元，
2025年销售型汽车总额为亿元，
故答案为：；
（2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为．
22．(1)购进A款保温杯20个，B款保温杯30个
(2)1440
(3)将销售价定为每件34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元
【分析】（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，由题意：网店第一次用1540元购进，两款保温杯共50个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，由题意：进货总价不高于3360元，列出一元一次不等式，解得．设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款保温杯平均每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进款保温杯个，款保温杯个，
依题意得：，
解得：，
答：购进款保温杯20个，款保温杯30个．
（2）解：设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
即网店可获得的最大利润是1440元．
（3）解：设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使款保温杯平均每天销售利润为96元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（1）
（2）
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
（2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛，
依题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：应该邀请支球队参加比赛．
（2）有支球队参加比赛，
依题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：有支球队参加比赛．
24．要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株
【分析】设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元．利用平均单株盈利×株数=每盆盈利，再列方程即可．
【详解】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元．由题意，得．
化简、整理，得．
解这个方程，得，．
经检验，，都是方程的解，且符合题意．
答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出等量关系是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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