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25.4相似三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（ ）

A． B． C． D．
5．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
10．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　）
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
11．在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
14．如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．

15．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个）
16．的三条中线、、交于点，若，则的长为 ．
17．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号）
三、解答题
18．如下图，在和中，．
(1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
(2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由．
19．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
20．如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：．
21．如图，矩形中，点在边上，求作点，使点在边上且．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，在中，为边上一点，，，，求证：．
24．如图，点，在线段上，，，求证：．

《25.4相似三角形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C A B D B D A
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故选项A不符合题意；
B.∵，，
∴，故选项B不符合题意；
C. ∵，，
∴，故选项C不符合题意；
D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：（对顶角相等），
A、当时，则与相似，符合题意；
B、当时，无法证明与相似，不符合题意；
C、当时，无法证明与相似，不符合题意；
D、，无法证明与相似，不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
A、添加后，能确定；
B、添加后，仍不能确定；
C、添加后，能确定；
D、添加后，能确定．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故A不符合题意；
B、由，判定与相似，故B不符合题意；
C、两三角形两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定与相似，故C符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故D不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】直接根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别判断得出答案．
【详解】∵，，∴，故A选项符合题意；
∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似，故B选项不符合题意；
∵，和均不是夹角，∴不能说明和相似，故C选项不符合题意；
∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断A，B，再根据“两个角相等的两个三角形相似”判断C，D．
【详解】∵，且，
∴∽.
所以A不符合题意；
∵，且，
不能说明这两个三角形相似，所以B符合题意；
∵，，
∴∽.
所以C不符合题意；
∵，，
∴∽.
所以D不符合题意．
故选：B．
7．D
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：由图可知：，
若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意；
若，不能判定与相似，故B符合题意；
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知“两组对应角相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
【详解】解：由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故①正确；
由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故②正确；
由可得，再由，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故③正确；
由结合不能证明，故④错误；
故选D．
10．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解．
【详解】解：图形①的三边为：；
图形②的三边为：；
图形③的三边为：；
图形④的三边为：；
∵，
∴①与③相似，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先证明三角形是直角三角形，再利用长直角边与短直角边的比值逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，，
A、∵三条边长分别为，，，，则该三角形不是直角三角形，不符合题意，
B、∵三条边长分别为，，，，
∴此三角形为直角三角形，且短直角边与长直角边之比为，
故此三角形与相似，符合题意；
C、∵三条边长分别为2，3，，，
∴此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为，
故不能证明相似，不符合题意；
D、∵三条边长分别为，，，，
∴此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为，
故不能证明相似，不符合题意；
故选：B．
12．D
【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．
【详解】解：，，
，故A选项正确；
，
，
，
，
，故B选项正确；
，
，
，故C选项正确；
，
，
，
与不相似，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；也考查了圆周角定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
13．是
【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答．
【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键．
14．4
【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】解：如图：
①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；
②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB
③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；
④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．
故答案为：4
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．
15．（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似：
，
当时，；
当时，；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似：
，
当时，；
综上所述，添加或或，使得，
故答案为：（答案不唯一）．
16．15
【分析】连接，则，根据解题即可．
【详解】解：连接，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查相似三角形和三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
17．①③
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断．
【详解】解：①，而，
∴，故①正确；
②，只能得到，故②错误；
③由，
得，
又∵，
∴，故③正确，
④由，
得到，
不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误，
故答案为：①③．
18．(1)不相似，理由见解析
(2)能，证明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由题意可得，根据两个三角形对应边的比值是否相等即可判断；
（2）作和，则；根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得．
【小题1】解：不相似，理由如下：
，
，
，
，
与不相似．
【小题2】（2）能作辅助线进行分割．证明如下：
如图，作，交于点；作，交于点，
则．
，
．
，
，
．
故能作辅助线进行分割．
19．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．见解析
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明．
【详解】证明：为等边三角形，
，，
，
．
．
21．作图见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，在矩形中作，交于点即可．解题的关键是掌握基本作图，矩形的性质及相似三角形的判定．
【详解】解：如图，在矩形中作，交于点，
由作图可知：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
则点即为所作．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
（1）首先得到，然后结合即可证明；
（2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：，，，，
∴，，
∴，，
根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，
∴，
∴
23．答案见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似．
【详解】证明：∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
24．见解析
【分析】此题考查相似三角形的判定，根据平行线的性质推出，根据两组对应边成比例夹角相等即可证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵，
，
，
．
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