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25.5相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图所示，，，，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，相似比为，则这两个三角形对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
4．若，面积比为，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，若，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
8．如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（　　）

A． B．3 C． D．
11．若与相似，且周长比是，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，过点D作交于点E，则 ．
14．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有 （写序号）．
15．如图，在矩形中，点在边上，且，与相交点，若，则 ．
16．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ．
17．若，且面积之比为，则相似比为 ．
三、解答题
18．如图，，交于点E，过点E作交于点F．已知，．设，．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若，，求的长．
19．如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，点到达点后，点也停止，设运动时间为秒，当为何值时，与相似？
20．如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点．
(1)若，求 的值；
(2)求证：．
21．如图，在梯形中，，对角线、相交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图，在正方形中，点，分别在，上，，，．
(1)求证：．
(2)与有什么位置关系？请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，现将四边形ABCD经过平移后得到四边形，点B的对应点的坐标为．

(1)请直接写点，，的坐标；
(2)求四边形与四边形重叠部分的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，连接，，使，若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．问题：如图，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．
（1）当时， ______；
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
问题：如图，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题的解法或结论，用含字母的代数式表示．
《25.5相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B D B C C B C
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】此题考查平行线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先由平分，可证明，则，长度可求，再证明，由对应边成比例即可求得长度．
【详解】解：，
，
又平分，
，
，
，
，
又，
，
，
∴，
，
，，
即，
．
故选：D．
2．B
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，由线平行分别证得，，进而证得，，推出，得到，，，，由此进行判断．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
，，
∴A，C，D选项正确，B选项错误，
故选：B．
3．B
【分析】直接利用相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：∵，相似比为，
∴这两个三角形对应中线的比为，
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
4．B
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．
【详解】解：，且面积比为，
与的相似比为，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的面积比等于相似比的平方．
5．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据周长比为，得到相似比为，再由面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与相似，且周长比为，
∴相似比为，
∴面积比，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，先由线段的运算得，再根据相似三角形的对应边的比等于相似三角形的相似比，进行作答即可
【详解】∵，
∴和是一组对应边，
，
故与的相似比为
故选：B．
7．C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
8．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．
根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
9．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形对应边成比例逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，
由平行线分线段成比例定理可知，故A错误，不符合题意；
，，
由平行线分线段成比例定理可知，即，故B正确，符合题意；
，
由平行线分线段成比例定理可知，故C错误，不符合题意；
，，
，
，即，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，掌握平行线性质，结合已知图形，准确得到线段成比例是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据已知易证，从而求出对应边的比，然后设，表示出与的长，再根据，求出，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
由折叠得：，
，
，
，
的面积分别为1和16，
，
，
∴设，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由周长比可得相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比可得到答案．
【详解】解：∵与相似，且周长比是，
∴相似比为，
与的面积的比为．
故选：C．
12．D
【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是；
②由，又，所以，故可得；
③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
13．2
【分析】证明，由相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．①③④
【分析】、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
【详解】∵、是的中线，即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，即，①正确；
∵
∴，
∴，②错误；
∵,，
∴,③正确；
∵，
∴
∴
又∵是的中线
∴
∴，④正确
故①正确，②错误，③④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相等的连个三角形证明和之间的关系是关键．
15．8
【分析】根据矩形的性质得出，即可证明，根据，得出，根据相似三角形的性质求得，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16． /0.5 /0.25
【分析】根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：，若，，
与的相似比为：，它们的面积比为：
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
17．/
【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：，且面积之比为，则相似比为，
故答案为：．
18．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握平行线分线段性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
（1）根据，得，代入整理即得；
（2）当时，代入（1）中结果求得，根据，得，得，代入计算即得．
【详解】（1）∵交于点F，
∴，
∵，．，，
∴，
∴；
（2）当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质及判定，可知，，，分两种情况考虑：若；若．
【详解】根据题意，得
，，．
①若，则，可得
．
即
．
解得
．
②若，则，可得
即
．
解得
(舍去)．
综上所述，当时，．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案；
（2）由平行线性质得到、，结合平行线性质得到，利用相似三角形的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：在平行四边形中，，，
，
；
（2）证明：由（1）知，则，
在平行四边形中，，
．
21．(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，同理得到，等量代换得到答案；
（2）根据（1）的结论，代入计算即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：；
，
解得，
．
22．(1)见解析；
(2)，见解析．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由正方形性质可得，，，则，，则有，然后证明即可；
（）由，则，又，则，所以，从而得出，从而求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
在和中，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)、、
(2)
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）由题意可知四边形向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到四边形，再利用平移的性质解决问题即可．
（2）由平移可知，重叠部分为平行四边形，底边长为．高为2，由此即可解决问题．
（3）设P点的坐标为，利用面积关系构建方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知四边形向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到四边形，
∵，，，
∴、、．
（2）解：如图，延长交于E，过点作于F．

∵，
∴，
由平移可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
由平移可知，重叠部分为平行四边形，底边长为．高为2，
∴．
（3）解：存在．设P点的坐标为．
∵，
∴．
∴．
∴存在，点P的坐标为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．问题一：（1）；（2）；问题二：
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
问题一：（1）证明，得到，得到，进行求解即可；
（2）同法（1）即可得出结论；
问题二：分别延长，交于点O，同探究一的方法进行求解即可．
【详解】解：问题一
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即；
问题二：
分别延长，交于点O，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴由问题1的解法可知：．
∵，
∴，
∴，
即．
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