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【湘教版·八年级数学上册】
4.3.5 全等三角形的应用
知识回顾
如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.
已知条件 补充条件 判定方法
AC=DC，∠A=∠D SAS
∠A=∠D，AB=DE ASA
∠A=∠D，AB=DE AAS
AC=DC，AB=DE SSS
AB=DE
∠B=∠E
∠ACB=∠DCE
BC=EC
推进新课
在生活中，有时可以利用全等三角形的有关知识帮助我们解决一些实际问题.
为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.，如图所示. 于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？
解 在△AEB和△CED中，
∠A = ∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB = ∠CED（对顶角相等），
所以△AEB ≌△CED（角边角）．
从而 AB = CD（全等三角形的对应边相等）.
即 CD 的长就是河的宽度.
因此，小楠说得对.
小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图所示），使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少. 你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计）？
例题
8
分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可.
解：如图，连接 AB，CD，
所以△AOB≌△COD （边角边），
从而 AB = CD，
即 AB 的长等于玻璃瓶的内径.
由题意可知，OA = OB = OC = OD.
在△AOB 和△COD 中，
OA = OC，
∠AOB =∠COD （对顶角相等），
OB = OD，
在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示.已知AE为水平线，CA⊥ AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2 倍？为什么？
例题
9
解 如图，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，
则∠CFB =∠AFB = 90°.
又∠CFB = ∠CAE = 90°，
所以FB∥AE，从而∠ABF =∠BAE.
因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，
所以∠CBF = ∠BAE，
从而∠CBF = ∠ABF.
所以△CBF≌△ABF （角边角），
从而 CF = AF.
又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE∥FB，
所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段，
故AF = EB，
从而AC = 2AF = 2EB.
因此，可以说甲楼高度是乙楼高度的2倍.
在△CBF 和△ABF 中，
∠CBF =∠ABF ，
BF = BF，
∠CFB =∠AFB ，
还有其他方法证明AF = EB吗？
1. 如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照射下的影子一样长.由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？
随堂演练
【课本P118 练习 第1题】
解 因为太阳光AC与A′C′平行，
所以∠ABC =∠A′B′C′ = 90°.
所以△ ABC ≌△ A′B′C′ （角边角），
从而 AB = A′B′，即这两根木杆一样长.
在△ABC 和△ A′B′C′ 中，
∠ABC =∠ A′B′C′，
BC = B′C′ ，
∠ACB =∠A′C′B′（两直线平行，同位角相等）.
AB和A′B′是两根竖立的木杆，
2. 如图，王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺ABC（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为__________cm.
20
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找第三边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹边的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找其中一角的对边(AAS)
课堂小结
课后作业
从课后习题中选取
完成练习册本课时的习题

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