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专题十“滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型
例1　BC　[解析] 设小球由静止释放至最低点的过程中,小球和小车各自的位移大小为x1和x2,小球与小车组成的系统在水平方向上动量守恒,有mx1=Mx2,x1+x2=R,可得x1=,A错误,B正确;当小球滑到圆弧最低点时,小车的速度设为v1,小球的速度设为v2,以向右为正方向,由动量守恒定律有mv2-Mv1=0,由机械能守恒定律有mgR=m+M,解得v1=m,C正确,D错误.
例2　(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
[解析] (1)对小球摆动到最低点的过程中,由动能定理有mgL=m-0
解得v0=5 m/s
小球在最低点时,由牛顿第二定律有
FT-mg=m
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为FT=6 N
(2)小球与物块碰撞过程中,由动量守恒定律和机械能守恒定律有
mv0=mv1+Mv2
m=m+M
解得小球与物块碰撞后的瞬间,物块速度的大小为v2=4 m/s
(3)若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点时两者共速,则对物块与小车整体由水平方向上动量守恒有Mv2=2Mv3
由能量守恒定律有
M=×2M+μ1Mgs
解得μ1=0.4
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置时两者共速,则对物块与小车整体由水平方向上动量守恒有Mv2=2Mv4
由能量守恒定律有M=×2M+μ2Mgx+MgR
解得μ2=0.25
综上所述,物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为0.25≤μ<0.4
例3　(1)240 J　(2)80 J　(3)8 m/s
[解析] (1)A和B碰撞过程根据动量守恒定律可得mAv0=(mA+mB)v
解得v=8 m/s
A和B碰撞过程损失的机械能
E损=mA-(mA+mB)v2
代入数据可得E损=240 J
(2)当A、B、C速度相等时,弹簧具有最大弹性势能,根据动量守恒定律有
(mA+mB)v=(mA+mB+mC)v共
根据能量守恒定律有
(mA+mB)v2=(mA+mB+mC)+Epmax
联立解得Epmax=80 J
(3)当弹簧恢复原长时,木板C的速度最大,根据动量守恒定律有(mA+mB)v=(mA+mB)vAB+mCvC
根据能量守恒定律有(mA+mB)v2=(mA+mB)+mC
解得vC=8 m/s
变式2　C　[解析] 由图乙可知,物块B的初速度为v0=1.2 m/s,t=1 s时,物块A、B的共同速度大小为v=1.0 m/s,由动量守恒定律可得mBv0=v,解得mB=5mA,故A项错误;0~1 s内,弹簧对A的冲量方向向右,弹簧对B的冲量方向向左,所以弹簧对A、B的冲量不相同,故B项错误;t=1 s时,物块A、B有共同速度,弹簧最短,弹簧的弹性势能最大,故C项正确;t=2 s时,A的动量pA=mAvA,B的动量pB=mBvB,由图可知vA=2.0 m/s,vB=0.8 m/s,又mB=5mA,所以A的动量比B的小,故D项错误.
例4　BC　[解析] 碰后a、c整体在竖直面内做往复运动,且关于平衡点对称,所以在最高点和最低点有最大加速度,由于之后的运动过程中物块b恰好不脱离地面,所以a、c整体向上运动至最高点时弹簧弹力F=mg,设此时a、c整体加速度大小为amax,则根据牛顿第二定律有2mg+mg= 2mamax,可求得amax=g,A错误;根据弹簧的对称性,可知a、c整体向下运动至最低点时加速度大小也为amax,物块b与地面间有最大作用力,根据整体法有FN - 3mg= 2mamax,解得FN= 6mg,B正确;设刚开始释放物块c时,c离a的高度为h,根据自由落体运动规律可得,c与a碰前速度为v0=,c与a碰撞时间极短,满足动量守恒,可得mv0= 2mv1,解得碰后a、c共同速度为v1=v0=,物块b恰好没有脱离地面时,设弹簧的伸长量为x,则mg=kx,由于最初弹簧的压缩量也为x,故反弹后a、c整体上升的高度为2x,碰后至反弹到最高点的过程中,对a、c根据机械能守恒定律可得·2m=2mg·2x,其中v1=v0=,解得h=,C正确;c与a碰撞时产生的内能为ΔE=m-·2m=,D错误.专题十“滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型
1.A　[解析] A和B组成的系统所受的合外力为零,系统动量守恒,有mAvA=mBvB,设弹簧的初始弹性势能为Ep,整个系统只有弹簧弹力做功,系统机械能守恒,从剪断细绳到弹簧恢复原长过程,根据机械能守恒定律得Ep=mA+mB,联立得Ep=mA+,所以弹簧恢复原长时A的速度最大,此时A的动量最大,动能最大,故A正确,B、C、D错误.
2.A　[解析] 当弹簧弹性势能最大时,两小球共速,则由动量守恒定律有mv0=(m+m')v,其中弹簧弹性势能Ep=Ek-(m+m')v2,Ek=m,而=4,解得m'=m,故选A.
3.D　[解析] 小球在竖直方向分速度的初始值与末状态值均为0,可知,竖直方向上先加速后减速,即竖直方向的加速度方向先向上后向下,存在超重与失重,小球和小车构成的系统所受外力的合力不为0,系统的动量不守恒,故A错误;小球沿轨道上升到最高点时,小球竖直分速度为0,结合上述可知,在水平方向,系统动量守恒,则小球与小车的速度相等,均不为零,故B错误;小球沿轨道上升到最高点时,根据水平方向动量守恒有mv0=2mv,根据机械能守恒定律有mgh=m-×2mv2,解得h=,故C错误;小球从轨道左端滑离小车时,根据动量守恒定律有mv0=mv1+mv2,根据机械能守恒定律有m=m+m,解得v1=0,即小球滑离小车后,做自由落体运动,故D正确.
4.D　[解析] 子弹射入物块A的过程中,为完全非弹性碰撞,动能损失最大,动能转化为内能,则子弹和物块A的机械能不守恒,A错误;子弹射入物块A的过程中,子弹对物块A的冲量大小等于物块A对子弹的冲量大小,B错误;子弹射入物块A后,因为有动能转化为内能,两物块与子弹的动能之和小于射入物块A前子弹的动能,C错误;两物块运动过程中,弹簧最短时与弹簧最长时,两物块具有共同速度,有(mA+m子)v1=(mA+m子+mB)v2,ΔEp=(mA+m子)-(mA+m子+mB),则弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能,D正确.
5.D　[解析] 小球与小车组成的系统水平方向动量守恒,则有mv球x=mv车,小球运动到最低点过程由机械能守恒定律有mg·2R=m+m,联立解得,最低点的速度大小为v球x=,故A错误;小球离开小车后水平方向分速度为0,做竖直上抛运动,故B错误;小球离开小车后水平方向分速度为0,小车的速度也为0,根据能量守恒定律,小球离开小车后仍能上升到高度R,故C错误;小球水平方向分速度与小车速度时刻大小相等,则水平位移大小相等,根据几何关系可知两者的相对位移为2R,故小车向左运动的最大距离为R,故D正确.
6.B　[解析] 设A物块受到瞬时冲量后速度变为v,则弹簧弹性势能最大时,有mv=v1,由能量守恒定律有mv2=+Ep,当恢复原长时,有mv=mv2+v3,由能量守恒定律有mv2=m+,当拿走C后,到再次弹簧弹性势能最大,有mv2+mv3=v4,由能量守恒定律有m+m=+Ep',联立解得=,故选B.
7.C　[解析] 设小球质量为m,圆弧体质量为M,小球从圆弧体A上滚下时,A的速度大小为v1,小球的速度大小为v2,则Mv1=mv2、mgR=M+m,根据能量守恒定律mgR=m,解得M=m,v1=,故A、B错误;若圆弧体B没有锁定,则小球滑上B过程到滑离有mv2=mv2'+Mv,m=mv2'2+Mv2,解得圆弧体B最终获得的速度大小为,故C正确,D错误.
8.(1)3d　4d　(2)　(3)
[解析] (1)球B沿圆弧轨道滑至底端的过程中与圆弧轨道C组成的系统水平方向动量守恒,则有mvB-3mvC=0
所以有m=3m
则xB=3xC=3d
且xB+xC=R
可得R=4d
(2)球B沿圆弧轨道滑至底端的过程中有mvB-3mvC=0
mg·4d=m+×3m
联立得vB=
(3)B与D碰撞过程动量守恒,则mvB=2mv1
此后A、B、D组成的系统动量守恒,弹簧压缩到最短时A、B、D共速,弹簧弹性势能最大,有
2mv1=4mv2
×2m=Ep+×4m
联立解得Ep=
9.(1)1600 N/m　(2)h= m　(3)3 kg[解析] (1)由题述可知a释放前弹簧的压缩量为0.1 m,对a脱离弹簧过程,弹簧弹力对a做的功为
W=k×0.1×0.1 J
由机械能守恒定律有2mgR=W
联立解得k=1600 N/m
(2)若b不固定,设a滑上b之前瞬间的速度为v0
有m=2mgR
解得v0=4 m/s
对a、b组成的系统,当a上升到最高点时,a、b水平方向一定共速,设a、b水平方向共速时b的速度为v共,由水平方向动量守恒定律有mv0=v共
由能量守恒定律可知a上升的最大高度h满足mgh=m-(m+mb)
整理得h= m
(3)对a第1次滑上并脱离b过程有mv0=mv1+mbv2
m=m+mb
整理得v1= m/s、v2= m/s
当>时,a能第2次滑上圆弧,整理有mb>3 kg
第二次滑上并脱离b有-mv1+mbv2=mv1'+mbv2'
m+mb=mv1'2+mbv2'2
整理得v1'=·+ m/s、v2'= m/s
当-v1'=v2'时,a恰不能第3次滑上圆弧,整理得mb= kg
另一解不符合题意,舍去,则符合题意的b质量的取值范围是3 kg　　　　　 　　　　　 　　　　　
　“滑块—曲面”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)上升到最大高度:滑块与斜(曲)面体具有共同水平速度v共,此时滑块的竖直速度vy=0,系统水平方向动量守恒,mv0=(M+m)v共;系统机械能守恒,m=(M+m)+mgh,其中h为滑块上升的最大高度,不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞,系统减少的动能转化为滑块的重力势能).
(2)返回最低点:滑块与斜(曲)面体分离点,水平方向动量守恒,mv0=mv1+Mv2;系统机械能守恒,m=m+M(相当于完成弹性碰撞).
例1 (多选)如图所示,小车质量为M,置于光滑水平地面上,小车顶端有半径为R的四分之一光滑圆弧,质量为m的小球(可视为质点)从圆弧顶端由静止释放,重力加速度为g.对此运动过程分析,下列说法中正确的是 (　)
A.当小球滑到圆弧最低点时,小球的水平位移为R
B.当小球滑到圆弧最低点时,小球的水平位移为
C.当小球滑到圆弧最低点时,小车速度为m
D.当小球滑到圆弧最低点时,小车速度为M
例2 [2024·安徽卷] 如图所示,一实验小车静止在光滑水平面上,其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道,圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点.一物块静止于小车最左端,一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方,并轻靠在物块左侧.现将细线拉直到水平位置,由静止释放小球,小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞,碰撞后,物块沿着轨道运动.已知细线长L=1.25 m,小球质量m=0.20 kg,物块、小车质量均为M=0.30 kg,小车上的水平轨道长s=1.0 m,圆弧轨道半径R=0.15 m.小球、物块均可视为质点,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小;
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间物块速度的大小;
(3)为使物块能进入圆弧轨道,且在上升阶段不脱离小车,求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围.
　“滑块—弹簧”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)动量守恒:两个物体与弹簧相互作用的过程中,若系统所受外力的矢量和为零,则系统动量守恒.
(2)机械能守恒:系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功,系统机械能守恒.
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等,弹性势能最大,系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞,两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能).
(4)弹簧恢复原长时,弹性势能为零,系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞).
例3 [2024·宁夏银川模拟] 如图所示,长木板C置于光滑水平地面上,物块B放在C上,理想轻弹簧一端固定在B上,另一端固定在C上,弹簧沿水平方向且与C的轴线平行.物块A从跟C上表面等高的平台上以v0=20 m/s的初速度沿C的轴线方向滑上C.A、B的质心跟弹簧等高.A、B碰撞经历时间极短且碰撞后粘在一起不再分开.C足够长且上表面光滑,弹簧始终在弹性限度以内.已知A、B和C的质量分别为mA=2 kg,mB=3 kg,mC=5 kg.求:
(1)A和B碰撞过程损失的机械能E损;
(2)弹簧的最大弹性势能Epmax;
(3)木板C的最大速度.
变式2 [2024·江苏南通模拟] 如图甲所示,左端接有轻弹簧的物块A静止在光滑水平面上,物块B以一初速度向A运动,t=0时B与弹簧接触,0~2 s内两物块的v t图像如图乙所示.则 (　)
A.A的质量比B的大
B.0~1 s内,弹簧对A、B的冲量相同
C.t=1 s时,弹簧的弹性势能最大
D.t=2 s时,A的动量比B的大
[反思感悟] 　



例4 (多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示,质量均为m的物块a、b与劲度系数为k的轻弹簧固定拴接,竖直静止在水平地面上.物块a正上方有一个质量也为m的物块c,将c由静止释放,与a碰撞后立即粘在一起,碰撞时间极短,之后的运动过程中物块b恰好没有脱离地面.忽略空气阻力,轻弹簧足够长且始终在弹性限度内,重力加速度为g.以下说法正确的是 (　)
A.组合体ac的最大加速度为2g
B.物块b与地面间的最大作用力为6mg
C.刚开始释放物块c时,c离a的高度为
D.a、c碰撞过程中损失的能量为
[反思感悟] 　


专题十“滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型
(限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·江苏卷] 在水平面上有一个U形滑板A,A的上表面有一个静止的物体B,左侧用轻弹簧连接在滑板A的左侧,右侧用一根细绳连接在滑板A的右侧,开始时弹簧处于拉伸状态,各表面均光滑.剪断细绳后,则(　)
A.弹簧原长时A的动能最大
B.压缩最短时A的动量最大
C.系统动量变大
D.系统机械能变大
2.[2024·河北唐山模拟] 如图所示,光滑水平面上,A、B两小球与轻质弹簧拴接,弹簧处于原长,两小球静止.某时刻给A球水平向右的初速度,对应初动能为Ek,设此后运动过程中弹簧弹性势能最大值为Ep.已知A球质量为m,若 =4,则B球质量为 (　)
A.m B.2m C.3m D.4m
3.[2024·四川成都模拟] 如图所示,一小车静止于光滑水平面,其上固定一光滑弯曲轨道,整个小车(含轨道)的质量为m.现有质量也为m的小球,以水平速度v0从左端滑上小车,沿弯曲轨道上升到最高点,最终从轨道左端滑离小车,重力加速度大小为g.关于这个过程,下列说法正确的是 (　)
A.小球与小车组成的系统动量守恒
B.小球沿轨道上升到最高点时,小车的速度为零
C.小球沿轨道上升的最大高度为
D.小球滑离小车后,做自由落体运动
4.[2024·重庆八中模拟] 如图所示,静止在光滑水平桌面上的物块A和B用一轻质弹簧拴接在一起,弹簧处于原长.一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A并留在其中,射入时间极短.下列说法中正确的是 (　)
A.子弹射入物块A的过程中,子弹和物块A的机械能守恒
B.子弹射入物块A的过程中,子弹对物块A的冲量大于物块A对子弹的冲量
C.子弹射入物块A后,两物块与子弹的动能之和等于射入物块A前子弹的动能
D.两物块运动过程中,弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能
5.[2024·湖南永州模拟] 如图所示,质量为m、带有光滑半圆形轨道的小车静止在光滑的水平地面上,其水平直径AB长度为2R.现将质量也为m的小球从A点正上方R处由静止释放,然后由A点进入半圆形轨道后从B点冲出,已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是 (　)
A.小球运动到最低点的速度大小为2
B.小球离开小车后做斜上抛运动
C.小球离开小车后上升的高度小于R
D.小车向左运动的最大距离为R
6.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示,物块A、B静止于光滑水平面上,中间连接一轻弹簧,弹簧处于原长状态.B上有一物块C,两者可一起运动.三个物块A、B、C的质量相同,且均可视为质点.现给A水平向右的瞬时冲量,当弹簧的弹性势能达到最大值时,其值为Ep;当弹簧第一次恢复原长时,立即取走C,当弹簧的弹性势能再次达到最大值时,其值为Ep'.则Ep和Ep'的比值为 (　)
A.12∶1 B.4∶3
C.12∶17 D.24∶19
7.[2024·江苏苏州中学模拟] 如图所示,质量和半径都相同的四分之一光滑圆弧体A、B静止在光滑的水平面上,圆弧面的最低点和水平面相切,圆弧的半径为R.圆弧体B锁定,一个小球从A圆弧体的最高点由静止释放,小球在圆弧体B上升的最大高度为.已知重力加速度大小为g,则 (　)
A.小球与圆弧体的质量之比为2∶1
B.小球与圆弧体的质量之比为1∶2
C.若圆弧体B没有锁定,则圆弧体B最终获得的速度大小为
D.若圆弧体B没有锁定,则圆弧体B最终获得的速度大小为
8.[2024·山东德州模拟] 如图所示,质量为3m的光滑圆弧形轨道C静止在光滑水平地面上,轨道底端与水平地面相切,质量为2m的小球A和质量为m的小球D与轻弹簧相连接并静止于水平地面上.现有一个质量也为m的小球B从圆弧轨道最高点由静止下滑,且下滑到底端时圆弧形轨道C向右移动距离为d,此后小球B与小球D正碰,碰后二者粘在一起.求:
(1)小球B下滑至圆弧轨道底端时,小球B的水平位移及圆弧形轨道C的半径R;
(2)小球B下滑至圆弧轨道底端时,小球B的速度大小;
(3)运动过程中轻弹簧具有的最大弹性势能.
9.[2024·安徽合肥模拟] 如图所示,轻质弹簧左端固定在光滑水平地面上的挡板上,在弹簧右端一定距离处有一带四分之一光滑圆弧轨道的滑块b,轨道半径为R=0.4 m,轨道末端与水平地面相切,推动滑块a将弹簧压缩到长度为原长的一半时将滑块a由静止释放,当滑块b固定时,a能运动到距水平轨道2R的最高处.已知弹簧原长为0.2 m,滑块a的质量为m=1 kg,g取10 m/s2.
(1)求弹簧的劲度系数;
(2)若滑块b不固定,求滑块a上升的最大高度与滑块b质量的关系;
(3)若滑块b不固定,滑块a只能从圆弧底端滑上圆弧2次,求滑块b质量mb的取值范围.(共70张PPT)
专题十 “滑块—曲面”模型和“滑块—
弹簧”模型
题型一 “滑块—曲面”模型
题型二 “滑块—弹簧”模型
◆
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题型一 “滑块—曲面”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)上升到最大高度：滑块与斜(曲)面体具有共同水平速度，此时滑块的
竖直速度，系统水平方向动量守恒，；系统机械
能守恒，，其中为滑块上升的最大高度，
不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，
系统减少的动能转化为滑块的重力势能).
(2)返回最低点：滑块与斜(曲)面体分离点，水平方向
动量守恒，；系统机械能守恒，
(相当于完成弹性碰撞).
例1 (多选)如图所示，小车质量为 ，置于光滑水平地面上，小车顶端有
半径为的四分之一光滑圆弧，质量为 的小球(可视为质点)从圆弧顶端
由静止释放，重力加速度为 .对此运动过程分析，下列说法中正确的是
( )
A.当小球滑到圆弧最低点时，小球的水平位移为
B.当小球滑到圆弧最低点时，小球的水平位移为
C.当小球滑到圆弧最低点时，小车速度为
D.当小球滑到圆弧最低点时，小车速度为
√
√
[解析] 设小球由静止释放至最低点的过程中，小球和小
车各自的位移大小为和 ，小球与小车组成的系统在
水平方向上动量守恒，有， ，可
得 ，A错误，B正确；当小球滑到圆弧最低点
时，小车的速度设为，小球的速度设为 ，以向右为
正方向，由动量守恒定律有 ，由机械能守恒定律有
，解得 ，C正确，D错误.
例2 [2024·安徽卷] 如图所示，一实验小车静止在光滑
水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一
圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低
(1) 求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小;
[答案]
点.一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于 点正
下方，并轻靠在物块左侧.现将细线拉直到水平位置，由静止释放小球，
小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞，碰撞后，物块沿着轨道运动.
已知细线长，小球质量 ，物块、小车质量均为
，小车上的水平轨道长，圆弧轨道半径 .
小球、物块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取 .
[解析] 对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理有
解得
小球在最低点时，由牛顿第二定律有
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
例2 [2024·安徽卷] 如图所示，一实验小车静止在光滑
水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一
圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低
(2) 求小球与物块碰撞后的瞬间物块速度的大小;
[答案]
点.一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于 点正
下方，并轻靠在物块左侧.现将细线拉直到水平位置，由静止释放小球，
小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞，碰撞后，物块沿着轨道运动.
已知细线长，小球质量 ，物块、小车质量均为
，小车上的水平轨道长，圆弧轨道半径 .
小球、物块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取 .
[解析] 小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得小球与物块碰撞后的瞬间，
物块速度的大小为
(3) 为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平
轨道间的动摩擦因数 的取值范围.
[答案]
[解析] 若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点时两者共速，则对物块与小车
整体由水平方向上动量守恒有
由能量守恒定律有
解得
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置时两者共速，则
对物块与小车整体由水平方向上动量守恒有
由能量守恒定律有
解得
综上所述，物块与水平轨道间的动摩擦
因数 的取值范围为
题型二 “滑块—弹簧”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，
若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，
系统机械能守恒.
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能
通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性
势能).
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞).
例3 [2024·宁夏银川模拟] 如图所示，长
木板置于光滑水平地面上，物块 放在
(1) 和碰撞过程损失的机械能 ；
[答案]
上，理想轻弹簧一端固定在上，另一端固定在 上，弹簧沿水平方向且
与的轴线平行.物块从跟上表面等高的平台上以 的初速度
沿的轴线方向滑上、的质心跟弹簧等高.、 碰撞经历时间极短且
碰撞后粘在一起不再分开. 足够长且上表面光滑，弹簧始终在弹性限度以
内.已知、和的质量分别为,, . 求：
[解析] 和 碰撞过程根据动量守恒定律
可得
解得
A和 碰撞过程损失的机械能
代入数据可得
例3 [2024·宁夏银川模拟] 如图所示，长
木板置于光滑水平地面上，物块 放在
(2) 弹簧的最大弹性势能 ；
[答案]
上，理想轻弹簧一端固定在上，另一端固定在 上，弹簧沿水平方向且
与的轴线平行.物块从跟上表面等高的平台上以 的初速度
沿的轴线方向滑上、的质心跟弹簧等高.、 碰撞经历时间极短且
碰撞后粘在一起不再分开. 足够长且上表面光滑，弹簧始终在弹性限度以
内.已知、和的质量分别为,, . 求：
[解析] 当、、 速度相等时，弹簧具
有最大弹性势能，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
联立解得
例3 [2024·宁夏银川模拟] 如图所示，长
木板置于光滑水平地面上，物块 放在
(3) 木板 的最大速度.
[答案]
上，理想轻弹簧一端固定在上，另一端固定在 上，弹簧沿水平方向且
与的轴线平行.物块从跟上表面等高的平台上以 的初速度
沿的轴线方向滑上、的质心跟弹簧等高.、 碰撞经历时间极短且
碰撞后粘在一起不再分开. 足够长且上表面光滑，弹簧始终在弹性限度以
内.已知、和的质量分别为,, . 求：
[解析] 当弹簧恢复原长时，木板 的速
度最大，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得
变式2 [2024·江苏南通模拟] 如图甲所示，左端接有轻弹簧的物块 静止
在光滑水平面上，物块以一初速度向运动，时 与弹簧接触，
内两物块的 图像如图乙所示.则( )
A.的质量比 的大
B.内，弹簧对、 的冲量相同
C. 时，弹簧的弹性势能最大
D.时，的动量比 的大
√
[解析] 由图乙可知，物块的初速度为，时，物块 、
的共同速度大小为 ，由动量守恒定律
可得，解得，故A项
错误；内，弹簧对 的冲量方向向右，弹簧对
的冲量方向向左，所以弹簧对、 的冲量不相同，故
B项错误；时，物块、 有共同速度，弹簧最
短，弹簧的弹性势能最大，故C项正确；时，的
动量， 的动量，由图可知，
，又 ，所以的动量比 的小，故D项错误.
例4 (多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示,质量均为的物块、 与劲度
系数为的轻弹簧固定拴接,竖直静止在水平地面上.物块 正上方有一个质
量也为的物块,将由静止释放,与 碰撞后立即粘在一起,碰撞时间极短,
之后的运动过程中物块 恰好没有脱离地面.忽略空气阻力,轻弹簧足够长且
始终在弹性限度内,重力加速度为 .以下说法正确的是( )
A.组合体的最大加速度为
B.物块与地面间的最大作用力为
C.刚开始释放物块时,离的高度为
D.、碰撞过程中损失的能量为
√
√
[解析] 碰后、 整体在竖直面内做往复运动，且关于平衡点对
称，所以在最高点和最低点有最大加速度，由于之后的运动过
程中物块恰好不脱离地面，所以、 整体向上运动至最高点
时弹簧弹力，设此时、整体加速度大小为 ，则
根据牛顿第二定律有 ，可求得
，A错误；根据弹簧的对称性，可知、 整体向下
运动至最低点时加速度大小也为，物块 与地面间有最大
作用力，根据整体法有 ，解得 ，B正确；
设刚开始释放物块时，离的高度为 ，根据自由落体运动规律可得，与碰前速度为， 与碰撞时间极短，满足动量守恒，可得 ，解得碰后、共同速度为，物块 恰好没有脱离地面时，设弹簧的伸长量为，则，由于最初弹簧的压缩量也为 ，故反弹后、整体上升的高度为 ，碰后至反弹到最高点的过程中,对、 根据机械能守恒定律可得，其中
，解得，C正确；与 碰撞时产生的
内能为 ，D错误.
“滑块—曲面”模型
1.(多选)在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的
运动方向.如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车
上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三
部分组成，各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上表面的高度为 .
一小球以初速度 水平向右射入细管，小球的质量与小车(包含细管)的质
量相等，小球可视为质点，重力加速度为 ，忽略一切阻力作用.下列说法
正确的是( )
A.小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统动量守恒
B.小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用
C.当小球初速度 时，将会从细管的竖直部分冲出
D.若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中
√
√
√
[解析] 小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统在水平方
向受到合外力为零，在弯曲处，小球和小车组成的系统，在竖直方向合外
力不为零，则小球和小车(包含细管)组成的系统水平方向动量守恒，竖直
方向动量不守恒，故A错误；由于小球和小车(包含细管)组成的系统水平方
向动量守恒，小球在细管的竖直部分运动时，小球和小车(包含细管)水平
方向的速度相同，则小球在细
管的竖直部分运动时只受重力
作用，故B正确；
由于系统水平方向动量守恒，在最高点，由动量守恒定律和能量守恒定
律有，，解得 ，从细管的
竖直部分冲出，则有，解得 ，故C正确；小球从
细管的竖直部分冲出后，水平方向的速度始终相同，则冲出后一定会
落回到细管中，故D正确.
2.如图，质量为的小车静止在光滑水平面上，小车 段
是半径为的四分之一光滑圆轨道，段是长为 的粗糙水
平轨道，两段轨道相切于点.一质量为 的滑块从小车上
(1) 若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力.
[答案] ，方向竖直向下
的点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入轨道，最后从 点滑出小车.已
知滑块质量，滑块与轨道间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
[解析] 若固定小车，滑块从到 的运动中，由动能定理可得
解得
滑块在点时，由牛顿第二定律可得
解得
此时在 点，圆弧轨道对滑块的支持力最大，由牛顿第三定律可知，滑块对
小车的最大压力为 ，方向竖直向下
2.如图，质量为的小车静止在光滑水平面上，小车 段
是半径为的四分之一光滑圆轨道，段是长为 的粗糙
水平轨道，两段轨道相切于点.一质量为 的滑块从小车
(2) 若不固定小车，滑块仍从 点由静止下滑，求：
① 滑块运动过程中，小车的最大速度大小 ；
[答案]
上的点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入轨道，最后从 点滑出小车.
已知滑块质量，滑块与轨道间的动摩擦因数为 ，重力加速度
为 .
[解析] 若不固定小车，因水平轨道粗糙，因此滑块滑至 点时，小车的
速度最大，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方
向，由动量守恒定律可得
此过程系统的机械能守恒，则有
联立解得小车的最大速度大小为
2.如图，质量为的小车静止在光滑水平面上，小车
段是半径为的四分之一光滑圆轨道，段是长为 的
粗糙水平轨道，两段轨道相切于点.一质量为 的滑块
(2) 若不固定小车，滑块仍从 点由静止下滑，求：
② 滑块从到运动过程中，小车的位移大小 .
[答案]
从小车上的点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入轨道，最后从 点滑
出小车.已知滑块质量，滑块与轨道间的动摩擦因数为 ，重力
加速度为 .
[解析] 滑块从到 运动过程中，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律可得
则有
等式两边乘以时间，则有
可知
解得
又
解得小车的位移大小为
“滑块—弹簧”模型
3.(多选)如图甲所示，质量为的物块与物块 (质量未知)之间拴接一轻
弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长.现给 物块一瞬时初
速度，并把此时记为0时刻，规定向右为正方向，内、 物块运动
的图像如图乙所示，已知时刻、的加速度最大，其中 轴下方部
分的面积大小为 ，则( )
A.物块的质量为
B.时刻物块的速度大小为
C.时刻弹簧的弹性势能为
D.时间内弹簧对 物块做功为零
√
√
√
[解析] 时间内所受弹力方向向左，所受弹力方向始终向右；
时刻，、 所受弹力最大且大小相等，由牛顿第二定律可得
，，解得物块的质量为 ，故A错误；根据
图像与横轴围成的面积表示速度变化量，可知时间内， 物块
的速度变化量大小为，
则时刻 物块的速度大小为
，故B正确；
时刻两物块具体相同的速度，根据对称性可知， 时刻、物块的速度大小为，设物块的初速度为 ，根据动量守恒可得，解得，设 时刻弹簧的弹性势能为，根据能量守恒可得，联立解得 ，故C正确；设时刻物块的速度为 ,根据动量守恒可得，解得，可知时刻 物块的速度大小等于时刻物块的速度
大小，则时刻物块的动能等于时刻 物块的动能，故
时间内弹簧对 物块做功为零，
故D正确.
作业手册
1.[2024·江苏卷] 在水平面上有一个形滑板， 的上表面有一个静止的
物体，左侧用轻弹簧连接在滑板的左侧，右侧用一根细绳连接在滑板
的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑.剪断细绳后，则( )
A.弹簧原长时 的动能最大
B.压缩最短时 的动量最大
C.系统动量变大
D.系统机械能变大
√
[解析] 和 组成的系统所受的合外力为零,系
统动量守恒，有 ，设弹簧的初始
弹性势能为 ，整个系统只有弹簧弹力做功，
系统机械能守恒，从剪断细绳到弹簧恢复原长
过程，根据机械能守恒定律得 ，联立得
，所以弹簧恢复原长时的速度最大，此时 的动量最
大，动能最大，故A正确,B、C、D错误.
2.[2024·河北唐山模拟] 如图所示，光滑
水平面上，、 两小球与轻质弹簧拴接，
弹簧处于原长，两小球静止.某时刻给
A. B. C. D.
球水平向右的初速度，对应初动能为 ，设此后运动过程中弹簧弹性势能
最大值为.已知球质量为，若 ，则 球质量为( )
√
[解析] 当弹簧弹性势能最大时，两小球
共速，则由动量守恒定律有
，其中弹簧弹性势能
，，而，解得 ，
故选A.
3.[2024·四川成都模拟] 如图所示，一小车静止于光滑水平面，其上固定
一光滑弯曲轨道，整个小车(含轨道)的质量为.现有质量也为 的小球，
以水平速度 从左端滑上小车，沿弯曲轨道上升到最高点，最终从轨道左
端滑离小车，重力加速度大小为 .关于这个过程，下列说法正确的是
( )
A.小球与小车组成的系统动量守恒
B.小球沿轨道上升到最高点时，小车的速度为零
C.小球沿轨道上升的最大高度为
D.小球滑离小车后，做自由落体运动
√
[解析] 小球在竖直方向分速度的初始值与末状态值
均为0，可知，竖直方向上先加速后减速，即竖直方
向的加速度方向先向上后向下，存在超重与失重，
小球和小车构成的系统所受外力的合力不为0，系统
的动量不守恒，故A错误；小球沿轨道上升到最高点
时，小球竖直分速度为0，结合上述可知，在水平方
向，系统动量守恒，则小球与小车的速度相等，均
不为零，故B错误；
小球沿轨道上升到最高点时，根据水平方向动量守恒有 ，
根据机械能守 恒定律有 ，解得 ，故C错误；小球从轨道左端滑离小车时，根据动量守恒定律有 ，根据机械能守恒定律有，
解得 ，即小球滑离小车后，做自由
落体运动，故D正确.
4.[2024·重庆八中模拟] 如图所示，静止在光滑
水平桌面上的物块和 用一轻质弹簧拴接在一
A.子弹射入物块的过程中，子弹和物块 的机械能守恒
B.子弹射入物块的过程中，子弹对物块的冲量大于物块 对子弹的冲量
C.子弹射入物块后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块 前子弹的
动能
D.两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能
起，弹簧处于原长.一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块 并留在其中，射入
时间极短.下列说法中正确的是( )
√
[解析] 子弹射入物块 的过程中，为完全非弹
性碰撞，动能损失最大，动能转化为内能，则
子弹和物块 的机械能不守恒，A错误；子弹射入物块的过程中，子弹对
物块 的冲量大小等于物块 对子弹的冲量大小，B错误；子弹射入物块 后，
因为有动能转化为内能，两物块与子弹的动能之和小于射入物块 前子弹的
动能，C错误；两物块运动过程中，弹簧最短时与弹簧最长时，两物块具有
共同速度，有 ，
，则弹簧最短时的弹性势
能等于弹簧最长时的弹性势能，D正确.
5.[2024·湖南永州模拟] 如图所示，质量为 、带有光滑半圆形轨道的小车
静止在光滑的水平地面上，其水平直径长度为.现将质量也为 的小
球从点正上方处由静止释放，然后由点进入半圆形轨道后从 点冲出，
已知重力加速度为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.小球运动到最低点的速度大小为
B.小球离开小车后做斜上抛运动
C.小球离开小车后上升的高度小于
D.小车向左运动的最大距离为
√
[解析] 小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，则
有 ，小球运动到最低点过程由机械能守
恒定律有 ，联立解得，最低
点的速度大小为 ，故A错误；小球离开小
车后水平方向分速度为0，做竖直上抛运动，故B错误；
小球离开小车后水平方向分速度为0，小车的速度也为0，根据能量守恒定
律，小球离开小车后仍能上升到高度 ，故C错误；小球水平方向分速度
与小车速度时刻大小相等，则水平位移大小相等，根据几何关系可知两者
的相对位移为，故小车向左运动的最大距离为 ，故D正确.
6.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示，物块、 静止于光滑水平面上，中间
连接一轻弹簧，弹簧处于原长状态.上有一物块 ，两者可一起运动.三个
物块、、的质量相同，且均可视为质点.现给 水平向右的瞬时冲量，
当弹簧的弹性势能达到最大值时，其值为 ；当弹簧第一次恢复原长时，
立即取走，当弹簧的弹性势能再次达到最大值时，其值为.则和
的比值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设物块受到瞬时冲量后速度变为 ，则弹簧弹性势能最大时，有
，由能量守恒定律有 ，
当恢复原长时，有 ，由能量守恒定律有
，当拿走 后，到再次弹簧弹性势能最大，
有 ，由能量守恒定律有
，联立解得 ，故选B.
7.[2024·江苏苏州中学模拟] 如图所示，质量和半径都相同的四分之一光
滑圆弧体、 静止在光滑的水平面上，圆弧面的最低点和水平面相切，
圆弧的半径为.圆弧体锁定，一个小球从 圆弧体的最高点由静止释放，
小球在圆弧体上升的最大高度为.已知重力加速度大小为 ，则( )
A.小球与圆弧体的质量之比为
B.小球与圆弧体的质量之比为
C.若圆弧体没有锁定，则圆弧体 最
终获得的速度大小为
D.若圆弧体没有锁定，则圆弧体 最终获得的速度大小为
√
[解析] 设小球质量为 ，圆弧体质量
为，小球从圆弧体上滚下时， 的
速度大小为，小球的速度大小为 ，
则、 ，根据能量守恒定律 ，
解得， ，故A、B错误；若圆弧体没有锁定，则小球滑
上 过程到滑离有 ，，解得圆弧
体最终获得的速度大小为 ，故C正确,D错误.
8.[2024·山东德州模拟] 如图所示，质量为 的
光滑圆弧形轨道 静止在光滑水平地面上，轨道
(1) 小球下滑至圆弧轨道底端时，小球的水平位移及圆弧形轨道 的半
径 ；
[答案]
底端与水平地面相切，质量为的小球和质量为的小球 与轻弹簧相
连接并静止于水平地面上.现有一个质量也为的小球 从圆弧轨道最高点
由静止下滑，且下滑到底端时圆弧形轨道向右移动距离为，此后小球
与小球 正碰，碰后二者粘在一起.求：
[解析] 球 沿圆弧轨道滑至底端的过程中与圆弧轨道 组成的系统水平
方向动量守恒，则有
所以有
则
且
可得
8.[2024·山东德州模拟] 如图所示，
质量为的光滑圆弧形轨道 静止
在光滑水平地面上，轨道底端与水平
(2) 小球下滑至圆弧轨道底端时，小球 的速度大小；
[答案]
地面相切，质量为的小球和质量为的小球 与轻弹簧相连接并静止
于水平地面上.现有一个质量也为的小球 从圆弧轨道最高点由静止下滑，
且下滑到底端时圆弧形轨道向右移动距离为，此后小球与小球 正碰，
碰后二者粘在一起.求：
[解析] 球 沿圆弧轨道滑至底端的过
程中有
联立得
8.[2024·山东德州模拟] 如图所示，
质量为的光滑圆弧形轨道 静止
在光滑水平地面上，轨道底端与水平
(3) 运动过程中轻弹簧具有的最大弹性势能.
[答案]
地面相切，质量为的小球和质量为的小球 与轻弹簧相连接并静止
于水平地面上.现有一个质量也为的小球 从圆弧轨道最高点由静止下滑，
且下滑到底端时圆弧形轨道向右移动距离为，此后小球与小球 正碰，
碰后二者粘在一起.求：
[解析] 与 碰撞过程动量守恒，则
此后、、 组成的系统动量守恒，弹簧压缩到最短时、、 共速，弹
簧弹性势能最大，有
联立解得
9.[2024·安徽合肥模拟] 如图所示，轻质弹簧左端固定在光滑水平地面上
的挡板上，在弹簧右端一定距离处有一带四分之一光滑圆弧轨道的滑块 ，
轨道半径为，轨道末端与水平地面相切，推动滑块 将弹簧压缩
到长度为原长的一半时将滑块由静止释放，当滑块固定时， 能运动到
距水平轨道的最高处.已知弹簧原长为，滑块 的质量为
，取 .
(1) 求弹簧的劲度系数；
[答案]
[解析] 由题述可知释放前弹簧的压缩量为，对 脱离弹簧过程，弹
簧弹力对 做的功为
由机械能守恒定律有
联立解得
9.[2024·安徽合肥模拟] 如图所示，轻质弹簧左端固定在光滑水平地面上
的挡板上，在弹簧右端一定距离处有一带四分之一光滑圆弧轨道的滑块 ，
轨道半径为，轨道末端与水平地面相切，推动滑块 将弹簧压缩
到长度为原长的一半时将滑块由静止释放，当滑块固定时， 能运动到
距水平轨道的最高处.已知弹簧原长为，滑块 的质量为
，取 .
(2) 若滑块不固定，求滑块上升的最大高度与滑块 质量的关系；
[答案]
[解析] 若不固定，设滑上之前瞬间的速度为
有
解得
对、组成的系统，当上升到最高点时，、 水平方向一定共速，设
、水平方向共速时的速度为 ，由水平方向动量守恒定律有
由能量守恒定律可知上升的最大高度 满足
整理得
(3) 若滑块不固定，滑块只能从圆弧底端滑上圆弧2次，求滑块 质量
的取值范围.
[答案]
[解析] 对第1次滑上并脱离过程有
整理得、
当时，能第2次滑上圆弧，整理有
第二次滑上并脱离有
整理得 、
当时，恰不能第3次滑上圆弧，整理得
另一解不符合题意，舍去，则符合题意的 质量的取值范围是
热点题型探究
题型一
例1.BC 例2.（1） （2） （3）
题型二
例3.（1） （2） （3）
变式2.C 例4.BC
基础巩固练
1.A 2.A 3.D 4.D 5.D
综合提升练
6.B 7.C
8.（1） （2） （3）
拓展挑战练
9.（1） （2） （3）

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