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专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
例1　AD　[解析] 设SQ=d,由题图可知,M粒子在磁场中运动轨迹半径rM=d,运动轨迹所对应的圆心角为300°,运动轨迹弧长sM=,N粒子在磁场中运动轨迹的半径rN=d,所对应的圆心角为120°,运动轨迹弧长sN=,所以M、N两粒子运动半径之比为∶1, A正确,B错误;因运动时间t=,而tM=tN,则M、N粒子的初速度大小之比为5∶2,C错误;根据qvB=m,得=,故M、N粒子的比荷之比为5∶2,D正确.
例2　B　[解析] 粒子a向上偏转,由左手定则可判断,粒子a带正电,而粒子b向下偏转,则粒子b带负电,故A错误;如图所示,由几何关系可知,磁场宽度x=Rasin 60°=Rbsin 30°,解得Ra∶Rb=1∶,故B正确;由qvB=m,可得v=,比荷相同,磁场相同,则va∶vb=Ra∶Rb=1∶,故C错误;粒子运动的周期T=,则Ta=Tb,a运动的时间ta=Ta=Ta=T,b运动的时间tb=Tb=Tb=T,故ta∶tb=2∶1,故D错误.
例3　D　[解析] 根据磁场圆和轨迹圆相交形成的圆形具有对称性可知,在圆形匀强磁场区域内,沿着径向射入的粒子总是沿径向射出,所以粒子的运动轨迹不可能经过O点,故A、B错误;粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的时间间隔最短对应的轨迹如图甲所示,则最小时间间隔为Δt=2T=,故C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短对应的轨迹如图乙所示,设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知r=R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得v=,故D正确.
例4　BD　[解析] 粒子入射方向为PO方向,则与筒壁发生碰撞时的速度方向一定沿圆筒横截面的半径方向向外,根据题意可知,每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,故D正确;假设粒子运动过程过O点,则过P点的速度方向的垂线和OP连线的中垂线是平行的,因而不能确定粒子运动轨迹的圆心,由对称性可知,撞击筒壁后瞬间的速度方向的垂线和碰撞点与圆心O连线的中垂线依旧平行,因而不能确定粒子运动轨迹的圆心,所以假设不成立,说明粒子的运动轨迹不可能过O点,A错误;由题可知粒子在磁场中全部运动轨迹的圆心连接成的多边形是以筒壁为内接圆的多边形,最少应为三角形,如图所示,即最少碰撞两次,B正确;速度越大,则粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,粒子在圆内运动时间不一定变短,C错误.
例5　D　[解析] 设磁场圆的半径为r,磁感应强度为B1时,从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M,最远的点是直径与磁场边界圆的交点,∠POM=120°,如图所示,设粒子做圆周运动的半径为R,则sin 60°=,解得R=r,磁感应强度为B2时,从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N,最远的点是直径与磁场边界圆的交点,∠PON=60°,设粒子做圆周运动的半径为R',则sin 30°=,解得R'=r,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由圆周运动公式得T=,则==,选项D正确.
例6　ABC　[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qv0B=,解得粒子在磁场中运动的半径为r==L,故A正确;如图甲所示,当粒子恰好从A点射出时,根据几何关系可得粒子与OC成60°角入射,所以与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出,故B正确;如图乙所示,根据几何关系可知沿OC方向入射的粒子将恰好从D点射出,结合上面B项分析可知AD为AC边界上有粒子射出的区域,其长度为L,故C正确;所有粒子在磁场中运动的周期均相同,设为T,设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α,则粒子运动时间为t=T,由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆弧,从OA射出的粒子,其轨迹所截AO的长度不同,对应转过的圆心角不同,所以所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等,故D错误.
例7　C　[解析] 带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场,从c点离开磁场,设六边形的边长为L,则由几何关系得R1=L,若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场,则从d点离开磁场,则由几何关系得R2=2L,由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m,则v=,故速度之比即半径之比,==,故C正确.
例8　(1)　(2)2d
[解析] (1)由于粒子的速率相同,故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同
有Bqv=m
代入数据,解得r=d
要使粒子在磁场中运动的时间最短,则弦应最短,即从C点(AC垂直边界)射出的粒子运动时间最短,如图甲所示.
设圆心在O1位置,则粒子在磁场中运动的圆心角为60°
粒子做圆周运动的周期为T==
故最短时间为tmin=T=
(2)当粒子的速度方向沿AN方向时,设粒子的轨迹与边界PQ交于E点;当粒子的速度方向垂直于AN时,设粒子的轨迹与边界PQ相切于F点.则E、F间距为粒子从PQ边界射出的区域长度,如图乙所示
轨迹过E点时,圆心在C点,则有CE=d
轨迹与PQ相切于F点时,圆心在O2点,有CF=d
故粒子从PQ边界射出的区域长度为2d
变式　C　[解析] 根据qvB=m解得r=,自MN边射出的粒子在磁场中运动的时间最短的轨迹交MN于A点,圆弧所对应的圆心角为60°,自MN边射出的粒子在磁场中运动的时间最长的轨迹交MN于B点,交ON于C点,因为自MN边射出的粒子在磁场中运动的时间最长时,粒子会从B点射出,所以圆弧所对应的圆心角为90°,如图所示,根据T=解得T=,联立可得tmin=T=,tmax=T=,故A、B错误; MN边上有粒子到达区域的长度为A、B之间的距离,由几何关系可得AB=2×cos 30°-cos 30°=,故C正确; ON边上有粒子到达区域的长度为O、C之间的距离,由几何关系可得OC=2×cos 30°=d,故D错误.
例9　CD　[解析] 若粒子带正电,则粒子可以与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出,粒子运动的轨迹如图甲所示,设轨迹半径为r2,由几何关系得L2+=,解得r2=L,根据牛顿第二定律得qv2B=m,解得v2=,根据动量定理得I=2mv2=,故A错误,C正确;若粒子带负电,则当粒子的运动轨迹如图乙所示时,轨迹半径最小,速度也最小,粒子做圆周运动的半径为r1=L,由牛顿第二定律得qv1B=m,解得v1=,故B错误;若粒子带负电,则当粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为时,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故D正确.
例10　AC　[解析] 粒子不从bc边射出,其临界分别是从b点和c点射出,其临界轨迹如图所示,当粒子从c点飞出时,由几何关系有r1=ac=l,当粒子从b点飞出时,由几何关系有r2=l,粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,整理有r=,所以综上所述,有rr1,解得v<或v>,故选A、C.
例11　BC　[解析] 离子穿过SP把SP分成n等份,每一等份长 ,如图所示,离子做圆周运动的半径r=,由半径公式r==,可得速度v=,当n为奇数时,偏角θ=60°,当n为偶数时,偏角θ=0°,选项B、C正确.专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.C　[解析] 粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径为r=,根据几何关系可得P点至O点的距离为LPO=r+=(1+),故选C.
2.BD　[解析] 根据粒子的运动轨迹,由左手定则可知,a粒子带负电,b粒子带正电,A错误;由几何关系可知,a、b两粒子的轨道半径之比为r1∶r2=1∶3,D正确;由r=可知,a、b两粒子的比荷之比为3∶2,B正确;粒子在磁场中运动时间t==,θ为轨迹所对应的圆心角,代入数据可知,a、b两粒子在磁场中运动时间之比为4∶3,C错误.
3.B　[解析] 粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时,其运动轨迹刚好与PQ相切,如图所示,设带电粒子做圆周运动的轨迹半径为R,由几何关系有l=R+Rcos θ,解得R=,根据牛顿第二定律得qv0B=m,解得v0=,运动的时间t=T=,故A、C、D错误,B正确.
4.AD　[解析] 离子若要打在屏P上,需沿顺时针方向偏转,根据左手定则判断,a、b两离子都带正电,A正确;由于是同种离子,因此质量、电荷量相同,又知初速度大小也相同,由qvB=m可知,它们做圆周运动的半径相同,作出运动轨迹如图所示,由图可得a在磁场中运动的路程比b的长,C错误;由t=可知,a在磁场中运动的时间比b的长,B错误;从图上可以看出a在P上的落点与O的距离比b的近,D正确.
5.B　[解析] 若电子从a点射出,则运动轨迹如图中图线①所示,有qvaB=m,Ra=,解得va==,若电子从d点射出,则运动轨迹如图中图线②所示,有qvdB=m,=+l2,解得vd==,选项B正确.
6.BD　[解析] 因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,所以质子运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,即v==Bk·(n=1,2,3,…),选项B、D正确.
7.B　[解析] 根据左手定则可以判断出a、b、c均带负电,故A错误;粒子运动的周期T=,在磁场中运动的时间t=T,由于三个粒子的质量和电荷量都相同,在同一个磁场中,三个粒子运动的周期相同,而a粒子在磁场中运动的偏转角最大,则a粒子在磁场中运动的时间最长,故B正确,D错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得r=,由于三个带电粒子的质量和电荷量都相同,故在同一个磁场中,速度越大则运动的半径越大,由题图可知,a粒子运动的半径最小,则其速率和动能最小,故C错误.
8.A　[解析] 如图所示,设正六边形的边长为l,当带电粒子的速度大小为vb时,其圆心在a点,轨道半径r1=l,转过的圆心角θ1=π,当带电粒子的速度大小为vc时,其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点),故轨道半径r2=2l,转过的圆心角θ2=,根据qvB=m得v=,故vb∶vc=r1∶r2=1∶2,由T=得T=,所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等,又因为t=T,可得tb∶tc=θ1∶θ2=2∶1,A正确,B、C、D错误.
9.B　[解析] 作出粒子运动的轨迹如图所示,由左手定则可知,粒子带正电,A错误;由几何关系可知粒子在磁场中运动对应的偏转角为90°,设O'为圆周运动的圆心,由几何关系可知r2+r2=(2R)2,解得r=R,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得=,B正确,C错误;粒子在磁场中运动对应的偏转角为90°,故粒子在磁场中运动的时间t=×T=×=,D错误.
10.(1)　(2)a　(3)x=a--4asin θ(0<θ≤)
[解析] (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m
其中r=a
可得,磁感应强度的大小为B=
(2)粒子运动轨迹如图甲所示
设MN到x轴的距离为y,由几何关系有tan 60°==
其中PM'=a-acos 30°=a
所以直线MN到x轴的距离为P'M'=a
(3)粒子运动轨迹如图乙所示
由洛伦兹力提供向心力有q×2v0B=m
可得R'==2a
由几何关系有a-x=2R'sin θ+
其中y=a
故该粒子发射位置的横坐标与θ的关系为x=a--4asin θ(0<θ≤)
11.AC　[解析] 因为粒子n次穿越圆形区域边界(不包括经过P点)后又回到P点,此过程中粒子与圆心O的连线转过角度为2π,画出粒子轨迹示意图如图所示,n的最小值为2,A正确;n=3时,粒子轨迹圆心间的连线构成圆边界的外切正方形,根据几何关系可知半径为r=R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得v=,B错误;粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T==,n=4时,粒子从P出发到回到P点的时间为t=3×+2×T,解得t=,C正确;粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中,粒子与圆心的连线转过的角度为,D错误.
12.BCD　[解析] 设正方形的边长为L,若空间中只有磁感应强度大小为B且方向垂直平面PQMN的匀强磁场,由几何关系可得匀速圆周运动的半径R=L,周期T==,则时间t1=T=,由于洛伦兹力不做功,则Ek1=m,洛伦兹力的冲量I1=m-m=mv0,由qv0B=m解得B=;若空间中只有电场强度大小为E且平行于PN方向的匀强电场,水平方向有t2=,由速度偏转角和位移偏转角的关系可得tan θx=2tan θs=2×=1,则竖直方向的速度为vy=v0,合速度为v=v0,Ek2=m,则电场力的冲量为I2=mΔ=mv0,竖直方向有=,解得E=,则时间之比t1∶t2=∶=π∶2,A错误;动能之比Ek1∶Ek2=m∶m=1∶2,B正确;冲量之比I1∶I2=mv0∶mv0=∶1,C正确;磁感应强度与电场强度之比B∶E=∶=1∶v0,D正确.专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.基本思路:定圆心→画轨迹→找几何关系→算半径→代入规律.
2.具体方法
(1)两种方法定圆心
方法一:已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时,可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示).
方法二:已知入射方向和入射点、出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示).
(2)几何知识求半径
利用平面几何关系,求出轨迹圆的可能半径(或圆心角),求解时注意以下几个重要的几何特点:
①粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)
的2倍(如图丙所示),即φ=α=2θ=ωt.
②直角三角形的应用(勾股定理):找到AB的中点C,连接OC,则△AOC、△BOC都是直角三角形.
(3)两个观点算时间
观点一:由运动弧长计算,t=(l为弧长).
观点二:由旋转角度计算,t=T(或t=T).
考向一　直线边界问题
注意:进出直线边界磁场具有对称性.
例1 (多选)[2024·河北石家庄二中模拟] 如图所示,竖直线CD右边的空间存在范围无限大且垂直纸面向里的有界匀强磁场,带有同种电荷的M粒子和N粒子同时从匀强磁场的边界CD上的S点分别以与边界的夹角为30°和60°射入磁场,两粒子又恰好同时到达Q点.不计粒子重力和粒子间的相互作用,则 (　)
A.M、N两粒子的运动轨迹半径之比为∶1
B.M、N两粒子的运动轨迹半径之比为2∶1
C.M、N两粒子的初速度大小之比为∶1
D.M、N两粒子的比荷之比为5∶2
考向二　平行边界问题
注意:平行边界存在临界条件.
例2 [2024·广东惠州模拟] 如图所示,平行边界区域内存在匀强磁场,比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入,经磁场偏转后从右边界射出,带电粒子a和b射出磁场时速度方向与磁场右边界的夹角分别为30°和60°.不计粒子的重力,下列判断正确的是 (　)
A.粒子a带负电,粒子b带正电
B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶
C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1
D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
考向三　圆形边界问题
1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出,运动具有对称性(如图甲所示).
粒子做圆周运动的半径r=.
粒子在磁场中运动的时间t=T=,其中θ+α=.
2.不沿径向射入圆形磁场的粒子进磁场的速度方向与半径的夹角为θ,根据对称性,出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ,如图乙所示.
例3 [2024·湖北卷] 如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域.不计重力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
[反思感悟] 　


例4 (多选)[2023·全国甲卷] 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示.一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反,电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是 (　)
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
[反思感悟] 　


例5 [2024·山东济南模拟] 如图所示,圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点.现有无数个相同的带电粒子在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通过P点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段弧上,这段圆弧的弧长是圆周长的.若将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2,相应的弧长将变为原来的一半,则这些带电粒子在前后两种磁场中运动的周期之比等于 (　)
A.2 B.
C.3 D.
[反思感悟] 　


考向四　多边形或角形边界问题
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时,会有不同的临界情景,解答该类问题主要把握以下两点:
(1)射入磁场的方式:①从某顶点射入;②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断:经常会判断是否会从某顶点射出.
①当α≤θ时,可以过两磁场边界的交点,发射点到两磁场边界的交点距离为d=2Rsin α,如图甲所示.
②当α>θ时,不能通过两磁场边界的交点,粒子的运动轨迹会和另一个边界相切,如图乙所示.
例6 (多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示,△AOC为直角三角形,∠O=90°,∠A=60°,AO=L,D为AC的中点.△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,在O点放置一粒子源,可以向各个方向发射质量为m、电荷量为-q、速度大小均为v0=的粒子.不计粒子间的相互作用及重力作用,对于粒子进入磁场后的运动,下列说法正确的是 (　)
A.粒子在磁场中运动的半径为L
B.与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C.在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D.所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
[反思感悟] 　

例7 [2024·湖南长沙模拟] 如图所示,正六边形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场.一带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场,从c点离开磁场;若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场,则从d点离开磁场.不计粒子重力,则的值为 (　)
A.
B.
C.
D.
　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
两种 思路 一是以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
两种 方法 物理 方法 (1)利用临界条件求极值;(2)利用边界条件求极值;(3)利用矢量图求极值
数学 方法 (1)用三角函数求极值;(2)用二次函数的判别式求极值;(3)用不等式的性质求极值;(4)用图像法求极值
从关 键词 找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律,找出临界条件
例8 [2024·四川成都模拟] 如图所示,竖直平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,两边界间距为d,边界MN上A点有一粒子源,可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,粒子射出的速度大小均为v=,若不计粒子的重力及粒子间的相互作用,求:
(1)从PQ边射出的粒子在磁场中运动的最短时间;
(2)粒子能从PQ边界射出的区域长度.
变式 [2024·湖北襄阳模拟] 如图所示,在直角三角形MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B,O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子.已知带电粒子的质量为m,电荷量为+q,速率均为v=,ON长为d且∠ONM=30°,忽略粒子的重力及相互间的作用力.下列说法正确的是 (　)
A.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.MN边上有粒子到达区域的长度为
D.ON边上有粒子到达区域的长度为
【技法点拨】
临界极值问题的四个重要结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速度v一定时,弧长(或劣弧的弦长)越长,则轨迹对应的圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.(3)当速率v变化时,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.(4)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的圆心角最大(所有的弦长中直径最长).
　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解.多解的形成原因一般包含4个方面:
多解成因 分析及图例
带电粒子的 电性不确定 比荷相同的带电粒子可能带正电荷,也可能带负电荷,在相同的初速度下,电性不同的粒子在有界磁场中运动轨迹不同,形成多解 如图所示,带电粒子以速度v垂直进入匀强磁 场,若带正电,则其轨迹为a;若带负电,则其轨迹为b
磁场的方 向不确定 只知道磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时由于磁感应强度方向不确定而形成多解 如图所示,带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若磁场方向垂直于纸面向里,则其轨迹为a;若磁场方向垂直 于纸面向外,则其轨迹为b
临界状态 不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹 是圆弧状,因此,它可能穿过磁场飞出,也可能转过180°从入射界面反向飞出,于是形成多解,如图所示
运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有周期性,因而形成多解,如图所示
例9 (多选)如图所示,在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在MN边界放一刚性挡板,粒子碰到挡板则能够以原速率弹回.一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场,恰好从Q点射出.下列说法正确的是 (　)
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞,则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为
[反思感悟] 　

例10 (多选)[2024·江西南昌模拟] 如图所示,在等腰梯形abcd区域内(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,边长ad=dc=bc=l,ab=2l.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从a点沿着ad方向射入磁场中,不计粒子的重力,为了使粒子不能从bc边射出磁场区域,粒子的速率可能为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟] 　


例11 (多选)[2022·湖北卷] 在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k,不计重力.若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 (　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·广西卷] xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里.质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P.不计粒子重力,则P点至O点的距离为 (　)
A. B.
C.(1+) D.
2.(多选)[2024·山东青岛模拟] 半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场.不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场,分别从A、B两点离开磁场,运动轨迹如图所示.已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2,AOB为直径,∠AOP=60°.下列说法正确的是 (　)
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a、b两粒子的比荷之比为3∶2
C.a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D.a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3
3.[2024·四川成都模拟] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界.质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)沿着与MN夹角为θ的方向垂直射入磁场中,刚好没能从PQ边界射出磁场,则粒子射入磁场的速度大小v0和在磁场中运动的时间t可能为 (　)
A.v0=
B.v0=
C.t=
D.t=
4.(多选)[2024·浙江温州模拟] 如图所示,两个初速度大小相同的同种离子a和b从O点沿垂直于磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏P上.不计重力.下列说法正确的是 (　)
A.a、b均带正电
B.a在磁场中飞行的时间比b的短
C.a在磁场中飞行的路程比b的短
D.a在P上的落点与O点的距离比b的近
5.[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外.ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿纸面且垂直于ab边的方向发射电子,已知电子的比荷为k,则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 (　)
A.kBl、kBl
B.kBl、kBl
C.kBl、kBl
D.kBl、kBl
6.(多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示,两个方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开,三角形内磁场垂直纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),某质子能通过C点,质子比荷=k,则该质子的速度可能为 (　)
A.2BkL
B.
C.
D.
7.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场,其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是 (　)
A.a、b、c均带正电
B.a粒子在磁场中运动的时间最长
C.a粒子的动能最大
D.它们做圆周运动的周期Ta8.[2024·山西太原模拟] 如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场.一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域,当速度大小为vb时,从b点离开磁场,在磁场中运动的时间为tb.当速度大小为vc时,从c点离开磁场,在磁场中运动的时间为tc,不计粒子重力.则 (　)
A.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1
B.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=1∶2
C.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=2∶1
D.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=1∶2
9.[2024·陕西西安模拟] 如图所示,xOy平面被一条平行于x轴的直线MN分为匀强磁场区域和无磁场区域,磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为的带正电粒子A,从坐标为(-a,0)的P点,以大小为v0、方向与x轴正方向成60°角的速度发射,能被位于的粒子收集器Q收集,已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a,不计粒子重力.
(1)求磁感应强度的大小.
(2)求直线MN到x轴的距离.
(3)若粒子A从x轴某位置以大小为2v0、方向与x轴的正方向成θ(0<θ≤)角的速度发射后,依然能被收集器Q收集,求该粒子发射位置的横坐标与θ的关系.
10.[2024·吉林长春模拟] 如图所示,在半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,AC为该圆的一条直径,O为圆心.一带电粒子以速度v0从C点沿与AC成θ=45°角方向垂直于磁场射入圆形区域,离开磁场时速度方向恰好与AC成θ=45°角向左,不计粒子所受重力,则 (　)
A.该粒子一定带负电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
D.该粒子在磁场中的运动时间为
11.(多选)如图所示,以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,圆形区域外有垂直纸面向外的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B.有一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点沿半径射入圆形区域,粒子n次穿越圆形区域边界(不包括经过P点)后又回到P点,此过程中粒子与圆心O的连线转过角度为2π,不计粒子重力,下列说法正确的是 (　)
A.n的最小值为2
B.n=3时,粒子速度大小为
C.n=4时,粒子从P出发到回到P点的时间为
D.粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中,粒子与圆心的连线转过的角度为
12.(多选)[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示,空间中有一正方形区域PQMN,相同的带电粒子从P点沿PQ方向以一定初速度v0射入,若空间中只有磁感应强度大小为B且方向垂直平面PQMN的匀强磁场,粒子经时间t1恰好以动能Ek1到达M点,这段过程洛伦兹力的冲量大小为I1;若空间中只有电场强度大小为E且平行于PN方向的匀强电场,粒子经时间t2恰好以动能Ek2到达QM的中点,这段过程中电场力的冲量大小为I2.不计粒子的重力,下列关系式正确的是 (　)
A.t1∶t2=2∶π
B.Ek1∶Ek2=1∶2
C.I1∶I2=∶1
D.B∶E=1∶v0(共102张PPT)
专题十六 带电粒子在有界匀强磁场中的
运动
题型一 带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
题型一 带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.基本思路：定圆心 画轨迹 找几何关系 算半径 代入规律.
2.具体方法
(1)两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示).
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入
射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就
是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示).
(2)几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下
几个重要的几何特点：
①粒子速度的偏向角等于圆心角，并等于
弦与切线的夹角(弦切角 )
的2倍(如图丙所示)，即 .
②直角三角形的应用(勾股定理)找到的中点 ，
连接，则、 都是直角三角形.
(3)两个观点算时间
观点一：由运动弧长计算，( 为弧长).
观点二：由旋转角度计算，(或 )
考向一 直线边界问题
注意：进出直线边界磁场具有对称性.
例1 (多选)[2024·河北石家庄二中模拟] 如图所示，竖
直线 右边的空间存在范围无限大且垂直纸面向里的有
界匀强磁场，带有同种电荷的粒子和 粒子同时从匀
强磁场的边界上的点分别以与边界的夹角为 和
射入磁场，两粒子又恰好同时到达 点.不计粒子重
力和粒子间的相互作用，则( )
A.、两粒子的运动轨迹半径之比为
B.、两粒子的运动轨迹半径之比为
C.、两粒子的初速度大小之比为
D.、两粒子的比荷之比为
√
√
[解析] 设，由题图可知， 粒子在磁场中运动轨
迹半径，运动轨迹所对应的圆心角为 ，运动
轨迹弧长， 粒子在磁场中运动轨迹的半径
，所对应的圆心角为 ，运动轨迹弧长
，所以、两粒子运动半径之比为, 正
确，B错误；因运动时间，而，则、 粒
子的初速度大小之比为，C错误；根据，得 ，故
、粒子的比荷之比为 ，D正确.
考向二 平行边界问题
注意：平行边界存在临界条件.
例2 [2024·广东惠州模拟] 如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比
荷相同的带电粒子和依次从 点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转
后从右边界射出，带电粒子和 射出磁场时速度方向与磁场右边界的夹角
分别为 和 .不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A.粒子带负电，粒子 带正电
B.粒子和在磁场中运动的半径之比为
C.粒子和在磁场中运动的速率之比为
D.粒子和在磁场中运动的时间之比为
√
[解析] 粒子向上偏转，由左手定则可判断，粒子 带正电，而粒子向下偏转，则粒子 带负电，故A错误；如图所示，由几何关系可知，磁场宽度 ，解得 ，故B正确；由，可得 ，比荷相同，磁场相同，则 ，故C错误；粒子运动的周期，则， 运动的时间， 运动的时间，故 ，故D错误.
考向三 圆形边界问题
1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性
(如图甲所示).
粒子做圆周运动的半径 .
粒子在磁场中运动的时间，
其中 .
2.不沿径向射入圆形磁场的粒子进磁场的速度方向与半径的夹角为 ，根
据对称性，出磁场时速度方向与半径的夹角也为 ，如图乙所示.
例3 [2024·湖北卷] 如图所示，在以点为圆心、半径为
的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为 .圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大
A.粒子的运动轨迹可能经过 点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由点沿方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大
小为
的匀强磁场.一质量为、电荷量为的带电粒子沿直
径方向从 点射入圆形区域.不计重力，下列说法正确的是( )
√
[解析] 根据磁场圆和轨迹圆相交形成的圆形具有对称性可知，在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子总是沿径向射出，所以粒子的运动轨
迹不可能经过点，故A、B错误；粒子连续两次由点沿 方向射入圆形区域的时间间隔最短对应的轨迹如图甲所示，则最小时间间隔为
，故C错误；
粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短对应的轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中运动的半径为 ，根据几何关系可知，根据洛伦兹力提供向心力有，解得 ，故D正确.
例4 (多选)[2023·全国甲卷] 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强
磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以 为圆心的圆，如图所示.
一带电粒子从点沿 射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞
前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向
的分量大小不变、方向相反,电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是
( )
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心
B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与
圆心 的连线
√
√
[解析] 粒子入射方向为 方向,则与筒壁发生碰撞时的速
度方向一定沿圆筒横截面的半径方向向外,根据题意可知,
每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心
的连线,故D正确;假设粒子运动过程过点,则过 点的速度
方向的垂线和 连线的中垂线是平行的，因而不能确定粒
子运动轨迹的圆心,由对称性可知,撞击筒壁后瞬间的速度方向的垂线和碰
撞点与圆心 连线的中垂线依旧平行，因而不能确定粒子运动轨迹的圆心,
所以假设不成立，说明粒子的运动轨迹不可能过 点,A错误;
由题可知粒子在磁场中全部运动轨迹的圆心连接成的多边形是以筒壁为内接圆的多边形,最少应为三角形，如图所示,即最少碰撞两次,B正确; 速度越大，则粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,粒子在圆内运动时间不一定变短,C错误.
例5 [2024·山东济南模拟] 如图所示，圆形区域内有一垂
直于纸面的匀强磁场， 为磁场边界上的一点.现有无数个
相同的带电粒子在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通
过 点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界
的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的 .若将磁感应
强度的大小从原来的变为 ，相应的弧长将变为原来的一半，则这些带电粒子在前后两种磁场中运动的周期之比 等于( )
A.2 B. C.3 D.
√
[解析] 设磁场圆的半径为，磁感应强度为时，从 点
射入的粒子与磁场边界的最远交点为 ，最远的点是直径
与磁场边界圆的交点， ，如图所示，设粒
子做圆周运动的半径为，则，解得 ，
磁感应强度为时，从点射入的粒子与磁场边界的最远交点为 ，最远
的点是直径与磁场边界圆的交点， ，设粒子做圆周运动的半
径为，则，解得 ，带电粒子在磁场中做匀速圆周
运动，由圆周运动公式得，则 ，选项D正确.
考向四 多边形或角形边界问题
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解
答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出.
①当 时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距
离为 ，如图甲所示.
②当 时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个
边界相切，如图乙所示.
例6 (多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示， 为直角三角形，
， ，，为的中点. 中存在垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在 点放置一粒子源，可以向
各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小均为 的粒子.不计
粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正
确的是( )
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.与成 角入射的粒子将从 边射出
C.在边界上有粒子射出的区域长度为
D.所有从 边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
√
√
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
，解得粒子在磁场中运动的半径为 ，故A正确；
如图甲所示，当粒子恰好从点射出时，根据几何关系可得粒子与成
角入射，所以与成 角入射的粒子将从 边射出，故B正确；
如图乙所示，根据几何关系可知沿方向入射的粒子将恰好从 点射出，
结合上面B项分析可知为边界上有粒子射出的区域，其长度为 ，故C正确；所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为 ，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为 ，则粒子运动时间为 ，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆弧，从射出的粒子，其轨迹所截 的长度不同，对应转过的圆心角不同，所
以所有从 边界射出的粒子在磁
场中运动的时间不等，故D错误.
例7 [2024·湖南长沙模拟] 如图所示，正六边形区
域内存在垂直纸面向里的匀强磁场.一带正电粒子以
速度从点沿方向射入磁场，从 点离开磁场；
若该粒子以速度从点沿方向射入磁场，则从
点离开磁场.不计粒子重力，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 带正电粒子以速度从点沿 方向射入磁
场，从点离开磁场，设六边形的边长为 ，则由几
何关系得，若该粒子以速度从点沿
方向射入磁场，则从 点离开磁场，则由几何关系
得 ，由洛伦兹力提供向心力得，
则 ，故速度之比即半径之比， ，故C正确.
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
两种思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规
律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特
殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过
临界条件求出临界值
两种方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件
求极值；(3)利用矢量图求极值
数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次函数的判
别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；
(4)用图像法求极值
从关键词找 突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞” “不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓 住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件 续表
例8 [2024·四川成都模拟] 如图所示，竖直平行边界 、
之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，
两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿纸面内
任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电
的粒子，粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子
的重力及粒子间的相互作用，求：
(1) 从 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间；
[答案]
[解析] 由于粒子的速率相同，故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同有
代入数据，解得
要使粒子在磁场中运动的时间最短，则弦应最短，即从
点( 垂直边界)射出的粒子运动时间最短，如图甲所示.
设圆心在位置，则粒子在磁场中运动的圆心角为
粒子做圆周运动的周期为
故最短时间为
例8 [2024·四川成都模拟] 如图所示，竖直平行边界 、
之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，
两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿纸面内
任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电
的粒子，粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子
的重力及粒子间的相互作用，求：
(2) 粒子能从 边界射出的区域长度.
[答案]
[解析] 当粒子的速度方向沿 方向时，设粒子的轨迹与边
界交于点；当粒子的速度方向垂直于 时，设粒子的轨
迹与边界相切于点.则、间距为粒子从 边界射出的
区域长度，如图乙所示
轨迹过点时，圆心在点，则有
轨迹与相切于点时，圆心在点，有
故粒子从边界射出的区域长度为
变式 [2024·湖北襄阳模拟] 如图所示，在直角三角形 区域内存在垂
直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为， 点处的粒子源可
向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子.已知带电粒子的质量为 ，电荷
量为，速率均为，长为且 ，忽略粒子的重力
及相互间的作用力.下列说法正确的是( )
A.自边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.边上有粒子到达区域的长度为
D.边上有粒子到达区域的长度为
√
[解析] 根据解得，自 边射出的粒子在磁
场中运动的时间最短的轨迹交于 点，圆弧所对应的圆心
角为 ，自 边射出的粒子在磁场中运动的时间最长的轨
迹交于点，交于点，因为自 边射出的粒子在磁
场中运动的时间最长时，粒子会从 点射出，所以圆弧所对应
的圆心角为 ，如图所示，根据解得 ，联立
可得， ，故A、B错误；
边上有粒子到达区域的长度为、 之间的距离，由几何
关系可得 ，故C
正确；边上有粒子到达区域的长度为、 之间的距离，由
几何关系可得 ，故D错误.
技法点拨
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当速度 一定时，弧长(或劣弧的弦长)越长，则轨迹对应的圆心角越大，
带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速率 变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，且入射
点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大
(所有的弦长中直径最长).
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问
题形成多解.多解的形成原因一般包含4个方面：
多解成因 分析及图例
带电粒子 的电性不 确定
多解成因 分析及图例
磁场的方 向不确定
续表
多解成因 分析及图例
临界状态 不唯一
续表
多解成因 分析及图例
运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往
具有周期性，因而形成多解，如图所示
___________________________________________________
续表
例9 (多选)如图所示，在边长为的正方形 区域内存在垂直于纸面向
外、磁感应强度大小为的匀强磁场，在 边界放一刚性挡板，粒子碰到
挡板则能够以原速率弹回.一质量为、带电荷量为 的粒子以某一速度垂直
于磁场方向从点射入磁场，恰好从 点射出.下列说法正确的是 ( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为
√
√
[解析] 若粒子带正电，则粒子可以与挡板碰撞后恰好从 点射出，粒
子运动的轨迹如图甲所示，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，根据牛顿第二定律得 ，
解得，根据动量定理得
，故A错误，C正确；
若粒子带负电，则当粒子的运动轨迹如图乙所示时，轨迹半径最小，速度也最小，粒子做圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得 ，解得 ，故B错误；若粒子带负电，则当粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为时，粒子在磁场中运动
的时间为 ，故D正确.
例10 (多选)[2024·江西南昌模拟] 如图所示，在
等腰梯形 区域内(包含边界)存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，边长
A. B. C. D.
，.一质量为、电荷量为的带正电粒子，从 点
沿着方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从 边射出
磁场区域，粒子的速率可能为( )
√
√
[解析] 粒子不从边射出，其临界分别是从 点
和点射出，其临界轨迹如图所示，当粒子从 点
飞出时，由几何关系有 ，当粒子从
点飞出时，由几何关系有 ，粒子在磁
场中由洛伦兹力提供向心力，有 ，整理有，
所以综上所述，有或 ，解得或 ，故选A、C.
例11 (多选)[2022·湖北卷] 在如图所示的平面内,分界线
将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于
纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小均为， 与磁场左右边界垂直.
A.， B.， C.， D.，
离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直
且与成 角.已知离子比荷为，不计重力. 若离子从 点射出，设出射
方向与入射方向的夹角为 ,则离子的入射速度和对应 角的可能组合为
( )
√
√
[解析] 离子穿过把分成等份，每一等份长 ，如图所示，离子做圆
周运动的半径,由半径公式,可得速度，当 为奇数
时，偏角 ，当为偶数时，偏角 ，选项B、C正确.
带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示，在竖直线 右侧足够大的区域内存
在着磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向里的匀强磁
场.质量相同、电荷量分别为和的带电粒子从 点沿
纸面以相同的初速度 先后射入磁场，已知初速度方向与
成 角，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作
用，则( )
A.两带电粒子回到竖直线时到 点的距离相等
B.两带电粒子回到 竖直线时的速度相同
C.两带电粒子在磁场中运动的时间相等
D.从射入到射出磁场的过程中，两带电粒子所受洛伦兹
力的冲量相同
√
√
√
[解析] 这两个带电粒子以与成 角射
入有界匀强磁场后，由左手定则可判断，带正电
的粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，带负电的
粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示
(磁场未画出)，因两个粒子所带电荷量的绝对值
和质量都相同，由和 知，两个粒
子的轨迹半径和周期相同，由几何关系知，带负
电的粒子在磁场中转过的角度为 ，带正电的粒子在磁场中转过的角度
，则两段圆弧所对应的弦长相等，即两带电粒子回到 竖
直线时到 点的距离相等，选项A正确；因洛伦
兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，
两粒子回到 竖直线时的速度大小和方向均相
同，选项B正确；因两个粒子的运动周期相同，
而在磁场中的偏转角度不同，所以两带电粒子在
磁场中运动的时间不相等，选项C错误；因两带
电粒子的初、末速度相同，根据动量定理可知两
粒子所受洛伦兹力的冲量相同，选项D正确.
2.如图所示，圆形虚线框内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，、 、
、是以不同速率对准圆心入射的电子或正电子的运动径迹，、 、
三个出射点和圆心的连线分别与入射方向成 、 、 的夹角，
则这四种粒子中( )
A.沿径迹 运动的粒子在磁场中运动的时间最短
B.沿径迹、 运动的粒子均为正电子
C.沿径迹、运动的粒子的速率
D.沿径迹、 运动的粒子在磁场中运动的时间之
比为
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， ，解得
，由于电子和正电子的电荷量和质量 均相等，可知这四种粒
子做圆周运动的周期相等，而沿径迹 运动的粒子偏转角最大，圆心角也
最大，设偏转角为 ，由可知沿径迹 运动
的粒子在磁场中运动的时间最长，A错误；
由左手定则可判断沿径迹 、 运动的粒子均带负电，为电子，B错误；
设圆形磁场的半径为 ，根据几何关系可得沿径迹、运动的粒子的
轨迹半径分别为 ， ，根据
可得,则 ，C正确；
粒子在磁场中运动的时间之比为偏转角之比，所以
，D错误.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
3.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形 ，一束带正电的相同粒子
以不同的速度从点沿 方向射入磁场，不计粒子的重力.关于粒子在磁
场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的时间越长
B.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的轨迹越长
C.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
D.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
√
[解析] 带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半
径 ，速度越大，则轨迹半径越大，从 边出
射的粒子，其速度越大，则运动轨迹越短，对应的圆心角 越小，根据
和 可知，其在磁场中运动的时间越短；从 边出射的粒子，
其速度越大，则运动轨迹越长，但速度的偏向角都相同，而粒子在磁场中
做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角，由 可知粒子
在磁场中运动的时间相等，选项C正确，选项A、B、D错误.
4.(多选)如图所示，纸面内半径为、圆心为 的圆
形区域外存在磁感应强度大小为 、方向垂直纸面
向里的匀强磁场，纸面内的线段 与圆形区域相切
于点，点处有一粒子源，可以沿
A. B. C. D.
方向以不同的速率射出质量为、电荷量为 的带正电粒子，忽略粒子间
的相互作用，不计重力,要使粒子射入圆形区域内，则粒子的速率可能为
( )
√
√
[解析] 粒子运动轨迹与边界圆相切时如图所示，设此时轨迹圆半径为 ，
由几何知识得，解得 ，粒子在磁场
中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得 ，故当
粒子速率 时都可以进入圆形区域内，选项A、B错误，C、D正确.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
5.(多选)如图所示，点的离子源沿纸面垂直于 方向
向上射出一束负离子，离子所受的重力忽略不计.为把这
束负离子约束在 之下的区域，可加垂直于纸面的匀强
A.，垂直于纸面向里 B. ，垂直于纸面向里
C.，垂直于纸面向外 D. ，垂直于纸面向外
磁场.已知、两点间的距离为，负离子的比荷为，速率为，与
间的夹角为 ，则所加匀强磁场的磁感应强度 的取值范围和方向可能
是( )
√
√
[解析] 当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与
相切,如图甲所示，切点为 ，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，由可得 ，此种磁场方向要求 ；
当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与相切，
如图乙所示，切点为，设轨迹半经为 ,由几何关系得，
解得，由可得 ，此种磁场方向要求 ，
B、D正确，A、C错误.
作业手册
1.[2024·广西卷] 坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里.质量为 ，电荷量为的粒子，以初速度从点沿轴正向开始运动，粒子过轴时速度与 轴正向夹角为 ，交点为.不计粒子重力，则点至 点的距离为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，
根据洛伦兹力提供向心力有 ，可得
粒子做圆周运动的半径为 ，根据几何关
系可得点至 点的距离为
，故选C.
2.(多选)[2024·山东青岛模拟] 半径为 的半圆形区域内有方向垂直于纸面
向外的匀强磁场.不计重力的、两粒子从圆周上的 点沿着半径方向射入
磁场，分别从、两点离开磁场，运动轨迹如图所示.已知、 两粒子进
入磁场时的速率之比为，为直径， .下列说法正确的
是( )
A.粒子带正电， 粒子带负电
B.、两粒子的比荷之比为
C.、两粒子在磁场中运动时间之比为
D.、两粒子的轨道半径之比为
√
√
[解析] 根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，
粒子带负电， 粒子带正电，A错误；由几何关
系可知，、 两粒子的轨道半径之比为
，D正确；由可知，、 两粒
子的比荷之比为 ，B正确；粒子在磁场中运动时间， 为轨
迹所对应的圆心角，代入数据可知，、 两粒子在磁场中运动时间之比为
，C错误.
3.[2024·四川成都模拟] 真空区域有宽度为 、磁感应强度
为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、 是磁场的
边界.质量为、电荷量为 的带正电粒子(不计重力)沿着
与夹角为 的方向垂直射入磁场中，刚好没能从
边界射出磁场，则粒子射入磁场的速度大小 和在磁场
中运动的时间 可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 粒子刚好没能从 边界射出磁场时，其运动轨迹
刚好与 相切，如图所示，设带电粒子做圆周运动的轨迹
半径为，由几何关系有 ，解得 ，
根据牛顿第二定律得，解得 ，
运动的时间 ，故A、C、D错误，B
正确.
4.(多选)[2024·浙江温州模拟] 如图所示，两个初速
度大小相同的同种离子和从 点沿垂直于磁场方
向进入匀强磁场，最后打到屏 上.不计重力.下列说
法正确的是( )
A.、 均带正电
B.在磁场中飞行的时间比 的短
C.在磁场中飞行的路程比 的短
D.在上的落点与点的距离比 的近
√
√
[解析] 离子若要打在屏 上，需沿顺时针方向偏转，根
据左手定则判断，、 两离子都带正电，A正确；由于
是同种离子，因此质量、电荷量相同，又知初速度大小
也相同，由 可知，它们做圆周运动的半径相
同，作出运动轨迹如图所示，由图可得 在磁场中运动
的路程比的长，C错误；由可知， 在磁场中运动
的时间比的长，B错误；从图上可以看出在上的落点与的距离比 的
近，D正确.
5.[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，边长为 的正方
形内存在匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方
向垂直于纸面向外.边中点有一电子发射源 ，可
向磁场内沿纸面且垂直于 边的方向发射电子，已
知电子的比荷为，则从、 两点射出的电子的速
度大小分别为( )
A.、 B.、 C.、 D.、
√
[解析] 若电子从 点射出，则运动轨迹如
图中图线①所示，有， ，
解得，若电子从 点射出，
则运动轨迹如图中图线②所示，有
， ，解得 ，选项B正确.
6.(多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示，两个方向相
反、磁感应强度大小均为的匀强磁场被边长为 的等
边三角形 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，
三角形顶点处有一质子源，能沿 的角平分线发
A. B. C. D.
射速度不同的质子(质子重力不计)，某质子能通过点，质子比荷 ，
则该质子的速度可能为( )
√
√
[解析] 因质子带正电，且经过 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所
对圆心角均为 ，所以质子运动半径 ，由洛伦兹力
提供向心力有，即 ，选项B、D
正确.
7.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强
磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子、、 以不同的速率对准圆
心沿着 方向射入磁场，其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受磁场力
的作用，则下列说法正确的是( )
A.、、 均带正电
B. 粒子在磁场中运动的时间最长
C. 粒子的动能最大
D.它们做圆周运动的周期
√
[解析] 根据左手定则可以判断出、、 均带负电，故A错误；
粒子运动的周期，在磁场中运动的时间 ，由于三个粒子的质量和电荷量都相同，在同一个磁场中，三个粒子运动的周期相同，而 粒子在磁场中运动的偏转角最大，则 粒子在磁场中运动的时间最长，故B正确，D错误；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有，可得 ，由于三个带电粒子的质量和电荷量都相同，故在同一个磁场中，速度越大则运动的半径越大，由题图可知， 粒子运动的半径最小，则其速率和动能最小，故C错误.
8.[2024·山西太原模拟] 如图所示，正六边形 区
域内有垂直于纸面的匀强磁场.一带正电的粒子从 点
沿方向射入磁场区域，当速度大小为时，从 点
离开磁场，在磁场中运动的时间为.当速度大小为
时，从点离开磁场，在磁场中运动的时间为 ，不计
粒子重力.则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 如图所示，设正六边形的边长为 ，当带电
粒子的速度大小为时，其圆心在 点，轨道半径
，转过的圆心角 ，当带电粒子的速度
大小为时，其圆心在点(即、 延长线的交点)，
故轨道半径，转过的圆心角 ，根据得，
故 ，由得 ，所以两粒子在磁场中做圆
周运动的周期相等，又因为 ，可得 ，A正确，
B、C、D错误.
9.[2024·陕西西安模拟] 如图所示， 平面被一条平行
于轴的直线 分为匀强磁场区域和无磁场区域，磁
场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为 的带
正电粒子，从坐标为的点，以大小为 、
(1) 求磁感应强度的大小.
[答案]
方向与轴正方向成 角的速度发射，能被位于的粒子收集器
收集，已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为 ，不计粒子重力.
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
其中
可得，磁感应强度的大小为
9.[2024·陕西西安模拟] 如图所示， 平面被一条平行于
轴的直线 分为匀强磁场区域和无磁场区域，磁场区
域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为 的带正电粒
(2) 求直线到 轴的距离.
[答案]
子，从坐标为的点，以大小为、方向与轴正方向成 角
的速度发射，能被位于的粒子收集器 收集，已知该过程中粒子
做匀速圆周运动的半径为 ，不计粒子重力.
[解析] 粒子运动轨迹如图甲所示
设到轴的距离为，由几何关系有
其中
所以直线到轴的距离为
[答案]
(3) 若粒子从轴某位置以大小为、方向与 轴的正方向成
角的速度发射后，依然能被收集器 收集，求该粒子发射位
置的横坐标与 的关系.
[解析] 粒子运动轨迹如图乙所示
由洛伦兹力提供向心力有
可得
由几何关系有
其中
故该粒子发射位置的横坐标与 的关系为
10.[2024·吉林长春模拟] 如图所示，在半径为 的圆形区域内有垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为， 为该圆的一条直径，
为圆心.一带电粒子以速度从点沿与成 角方向垂直于磁场
射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好与成 角向左，不计粒
子所受重力，则( )
A.该粒子一定带负电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为
D.该粒子在磁场中的运动时间为
√
[解析] 作出粒子运动的轨迹如图所示，由左手定则可知，
粒子带正电，A错误；由几何关系可知粒子在磁场中运动
对应的偏转角为 ，设 为圆周运动的圆心，由几何关
系可知，解得 ，由洛伦兹力提供
向心力，有，解得 ，B正确，C错误；
粒子在磁场中运动对应的偏转角为 ，故粒子在磁场中
运动的时间 ，D错误.
11.(多选)如图所示，以点为圆心、半径为 的圆形区域内有垂直纸面向
里的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应
强度大小均为.有一质量为、电荷量为的粒子
从 点沿半径射入圆形区域，粒子次穿越圆形区域
边界(不包括经过点)后又回到 点，此过程中粒子
与圆心的连线转过角度为 ，不计粒子重力，
下列说法正确的( )
A. 的最小值为2
B.时，粒子速度大小为
C.时，粒子从出发到回到点的时间为
D.粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，粒子与圆
心的连线转过的角度为
√
√
[解析] 因为粒子次穿越圆形区域边界(不包括经过 点)后又回到点，此过程中粒子与圆心 的连线转过角度为 ，画出粒子轨迹示意图如图所示， 的最小值为2，A正确； 时，粒子轨迹圆心间的连线构成圆边界的外切正方形，根据几何关系可知半径为，根据洛伦兹力提供向心力有 ，解得 ，B错误；
粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为，
时，粒子从 出发到回到点的时间为
，解得 ，
C正确；粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，
粒子与圆心的连线转过的角度为 ，D错误.
12.(多选)[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，空间中有一正方形
区域，相同的带电粒子从点沿方向以一定初速度
射入，若空间中只有磁感应强度大小为 且方向垂直平面
A. B. C. D.
的匀强磁场，粒子经时间恰好以动能到达 点，这段过程洛伦
兹力的冲量大小为；若空间中只有电场强度大小为且平行于 方向的
匀强电场，粒子经时间恰好以动能到达 的中点，这段过程中电场
力的冲量大小为 .不计粒子的重力，下列关系式正确的是( )
√
√
√
[解析] 设正方形的边长为 ，若空间中只有磁感应强度大小为且方向垂
直平面 的匀强磁场，由几何关系可得匀速圆周运动的半径 ，
周期，则时间 ，由于洛伦兹力不做功，则
，洛伦兹力的冲量 ，
由 解得；若空间中只有电场强度
大小为且平行于 方向的匀强电 场，水平方向有 ，
由速度偏转角和位移偏转角的关系可得，
则竖直方向的速度为 ，合速度为，，则电场力的冲量为 ，竖直方向有，解得，则时间之比 ，A错误；动能之比 ，B正确；冲量之比 ，C正确；
磁感应强度与电场强度之比 ，D正确.
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