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专题十七　“几何圆模型”在磁场中的应用
例1　D　[解析] 粒子做逆时针的匀速圆周运动,根据左手定则,可知粒子带正电,A错误;根据qvB=m得v=,从M点射出粒子的圆周半径更小,则速度更小,B错误;由t=T=·,粒子周期不变,圆周运动的圆心角越大,运动时间越长,由几何关系可知,弦切角等于圆心角的一半,弦切角越小,运动时间越短,如图所示,当弦与bc圆弧边界相切时,弦切角最小,Ob等于R,由几何关系知,此时圆周运动的圆心角为120°,则最短时间为tmin==,M、N两点具体位置未知,则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系,C错误,D正确.
变式1　CD　[解析] 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,但由于BC边的限制,粒子不能到达B点,A错误;若粒子从C点射出,如图甲所示,根据几何关系有=+(2L-Lcos 60°)2,解得R2=L,B错误;粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin ∠O==,则∠O=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=T=×=,C正确; 若粒子从AB边射出,则粒子的速度越大,轨迹半径越大,如图乙所示,粒子从AB边射出时的圆心角θ相同,且为最大,根据t=T、T=可知粒子在磁场中运动的周期相等,则其在磁场中运动的时间相同,且时间最长,故D正确.
甲
乙
例2　AC　[解析] 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图甲所示,圆心为O',根据几何关系有r+rcos 60°=a,可知粒子做圆周运动的半径为r=a,故A正确;由qv0B=m得==,故B错误;在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示,由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为,在磁场中的运动时间t===,故C正确;结合甲、乙两图可知,能从右边界射出的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角等概率地分布在0°~60°范围内,占总粒子数的,故D错误.
变式2　B　[解析] α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨迹半径,有qvB=m,解得R=0.2 m=20 cm.从S点朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由于R例3　BD　[解析] 由左手定则可知,带电粒子射入磁场的瞬间,带电粒子受向上的磁场力作用,则带电粒子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动,A错误;带电粒子在磁场中运动的周期为T=,带电粒子在磁场中转过半个圆周时,运动时间最长,则带电粒子在磁场中运动的最长时间为t==,B正确;作出带电粒子刚好不从边界Ⅲ离开磁场的轨迹,如图所示,由于从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总数的,则图中的a、b、c为边界Ⅰ的四等分点,由几何关系可知,三角形区域的顶角为30°,a点到顶点的距离为L,根据几何关系可得L=r+,解得粒子轨迹半径r=L,根据牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,D正确;由图可知,刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中偏转的角度大小为120°,则该粒子在磁场中运动的时间为t'==,C错误.
变式3　C　[解析] 根据qv0B=m,可得粒子在磁场中运动的轨迹半径r=,粒子在磁场中做圆周运动的周期T==,运动轨迹如图所示,由图可知,部分粒子从OC边射入磁场,又从OC边射出磁场,由对称性可知,粒子偏转的圆心角为90°,运动时间为t1=T=,从OD边飞出的粒子中,运动时间最短的粒子其轨迹中点为O点,运动的时间t2=T=,沿AO入射的粒子与磁场圆在最低点内切,轨迹对应的圆心角为270°,运动时间最长,最长时间为t3=T=,故粒子进出磁场一次所用的时间t的范围为t=或≤t≤,故C正确,A、B、D错误.
例4　BC　[解析] 根据磁聚焦原理,粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动,粒子运动的轨迹半径为r0,有qvB0=m,解得B0=,要使会聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0,且粒子仍沿水平向右射出,作出轨迹如图所示,由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径为2r0,正方形中磁场区域应该为圆形磁场的一部分,有qvB1=m,解得B1==B0,由左手定则可知,方向垂直纸面向里,A错误,B正确; 如图所示,磁场区域的最小面积为Smin=2×=2(π-2),C正确,D错误.专题十七　“几何圆模型”在磁场中的应用
1.D　[解析] 如图所示,从O点沿x轴负方向射入的粒子运动轨迹为圆,与x轴相切于O点,在x轴上方,半径为R;沿y轴正方向射入的粒子运动轨迹为半圆,在y轴右侧,与x轴的交点距O点为2R;沿其余方向射入的带电粒子运动轨迹的最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上;由以上分析结合定圆旋转法,可知D正确.
2.D　[解析] 根据左手定则可知粒子带正电,A错误;设正方形边长为L,粒子以速度v和速度2v进入磁场,有=,L=,轨迹如图所示,可知若粒子射入磁场的速度增大为2v,射出的位置在N、b之间,B、C错误;若粒子射入磁场的速度增大为2v,则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角将变小,由t=T=可知粒子在磁场中的运动时间将变短,故D正确.
3.BC　[解析] 如图所示,S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界,根据左手定则可知,入射方向与OC夹角为30°的粒子刚好从O点射出,根据几何关系可知,粒子做圆周运动的轨迹半径为R=L,根据洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,又知=K,解得B=,故A错误,B正确;沿CA方向入射的粒子穿过OA边界时距O点最远,根据几何知识可知,最远距离为OD=L,则OA上粒子出射区域长度为L,故C正确,D错误.
4.AD　[解析] 由题意,粒子从A点进入磁场从B点离开,由左手定则可以确定粒子带正电,故A正确;由题意知当粒子从A点入射时,从B点离开磁场,则粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径,根据磁会聚的原理(一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动的半径相同的圆形磁场区域时,这些粒子将从同一点射出圆形磁场),当入射方向平行时,这些粒子将从同一点射出,如图所示,从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场,则这些粒子从同一点B射出,从图中看出,C点越靠近B点,偏转角越小,时间越短,离B点越远,偏转角越大,时间越长,故D正确,B、C错误.
5.AB　[解析] 由几何关系可知,Ob与Oa的夹角θ=30°,粒子运动的轨迹如图所示,由几何关系可知,粒子运动轨迹对应的最大圆心角α=2θ=60°,粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,则粒子在磁场中运动的最长时间tm=T=,故A正确;带电粒子的入射速度越大,则在磁场中运动的弧所对的弦长越长,故在磁场中运动的位移越大,但是粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角可能不变或者减小,故运动时间可能不变或者减小,故B正确,C错误;带电粒子沿着Ob方向垂直射入磁场,受到的洛伦兹力斜向下,故粒子不可能从bc边界离开磁场,故D错误.
6.AC　[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,而速度v=,解得运动半径r=R,故A正确;因粒子a正对圆心射入,又r=R,故粒子a在磁场中的运动时间为T,运动圆弧对应的圆心角为90°,两粒子在磁场中运动的周期相等,为T=,运动时间之比为3∶4,故粒子b在磁场中的运动时间为T,即运动圆弧对应的圆心角为120°,由几何关系可知,运动圆弧对应的圆心与O、P三点的连线构成等边三角形,所以θ=30°,故B错误,C正确;作图可知粒子a、b离开磁场时速度平行,是“磁发散”模型,故D错误.
7.AB　[解析] 依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时,轨迹圆的圆心在A点.且其轨迹与BC边相切.根据几何关系可知sin 45°=r,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qvB=m,联立可得=,故A正确;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,根据A选项分析,粒子最长轨迹所对应的圆心角为90°,则有t=T=,故B正确;从AB中点射入的粒子,其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移r-r,得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方,如图所示,由几何关系可知,离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r=,故C错误;若仅将磁场反向,则粒子在磁场中将向上偏转,不会出现圆心角为90°的轨迹,故最长时间将变小,故D错误.
8.(1)或　(2)
[解析] (1)由题意可知,沿x轴正方向出射的离子,经半圆到达N点
由此可得r=a
可知通过M点的离子有两个出射方向
如图甲所示,一个轨迹转过的圆心角为60°,即t1=T
另一个轨迹转过的圆心角为300°,即t2=T,离子做匀速圆周运动
周期T=
即T=
解得t1=,t2=
(2)如图乙所示,由动态圆分析结果可知,能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内,因为放射源均匀打出离子,因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为=
9.(1),方向垂直纸面向里　(2)+　(3)R+
[解析] (1)由题意可知,从粒子源中点P发射的粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周,设轨迹半径为r,由几何关系易知r=R
由洛伦兹力提供向心力有qvB=m
联立得B=,方向垂直纸面向里
(2)由于所有粒子的轨迹半径均为r=R,故粒子全部经由Q点离开磁场,其中进入第三象限的粒子受电场力向左偏,不再经过y轴,进入第四象限的粒子受电场力在水平方向上先匀减速再反向匀加速,共3次经过y轴.
设粒子进入磁场时与O点连线和x轴正方向夹角为θ,由几何关系易知,粒子进入第四象限时速度方向与y轴负方向夹角亦为θ.
在磁场中运动周期T=
则粒子在磁场及电场中运动的时间t=×+
又qE=max
结合粒子源长度为R,可知0≤θ≤60°
则θ=60°时,tmax=+
(3)粒子离开Q点到再次经过y轴,距离O点的距离y=R+vcos θtE
其中tE=
代入得y=R+
θ=45°时,y取极大值,故ymax=R+专题十七　“几何圆模型”在磁场中的应用
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
模型 界定 以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“放缩圆”法
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
模型 特点 轨迹圆的圆心共线:如图所示(图中只画出粒 子带正电的情景),速度v越大,运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP'上
例1 如图所示,磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里,图中虚线为磁场的边界,其中bc段是半径为R的四分之一圆弧,ab、dc的延长线通过圆弧的圆心,Ob长为R.一束质量为m、电荷量为q的粒子,在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场,已知所有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两点,不计粒子间的相互作用和重力.则下列分析中正确的是 (　)
A.粒子带负电
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子在磁场中运动时间
D.所有粒子在磁场中运动最短时间为
[反思感悟] 　


变式1 (多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子可能从B点射出
B.若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C.若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为
D.若粒子从AB边射出,则粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长
　旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
模型 界定 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“旋转圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时, 它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示
模型 特点 轨迹圆的圆心共圆:如图所示,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上
例2 (多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,在0≤x≤a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度大小为B.一束速率等于v0的相同带电粒子从原点O发射,速度方向与y轴正方向的夹角等概率地分布在0°~90°范围内.其中,沿y轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的P点离开磁场,其偏向角为120°.不计粒子间相互作用和重力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D.能从右边界射出的粒子占总粒子数的
变式2 如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.30 T.磁场内有一块足够大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在与ab的距离为l=32 cm处有一个点状的α粒子放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s.已知α粒子的比荷=5.0×107 C/kg.现只考虑在纸面内运动的α粒子,则感光板ab上被α粒子打中区域的长度为
(　)
A.20 cm
B.40 cm
C.30 cm
D.25 cm
　平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直线上移动
模型 界定 将半径为R=的圆进行平移,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“平移圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小和方向都相同、入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径R=,如图所示
模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上,且该直线与入射点的连线平行(或共线)
例3 (多选)[2024·陕西西安模拟] 如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度的大小为B,边界Ⅰ、Ⅱ的长度分别为L、L;大量均匀分布的带电粒子由边界Ⅰ的左侧沿平行边界Ⅱ的方向垂直射入磁场,粒子的速率均相等,已知从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总数的,带电粒子的质量为m、所带电荷量为+q,忽略带电粒子之间的相互作用以及粒子的重力.下列说法正确的是 (　)
A.带电粒子射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动
B.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
C.刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中运动的时间为
D.带电粒子的初速度大小为
变式3 如图所示,C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的三点,∠COD=,A为CD的中点,在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B.一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=从AC部分垂直于AC射向磁场区域,忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力,则粒子进出磁场一次所用的时间可能是 (　)
A.
B.
C.
D.
[反思感悟] 　


　磁聚焦与磁发散问题
模型 建立 磁聚焦(平行会聚于一点) 如图所示,大量同种带正电的粒子以大小相等的速度平行射入圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,则所有的带电粒子将从磁场圆的同一点P射出(射入磁场的速度方向垂直于过出射点的直径) 证明:任一粒子运动轨迹的圆心O'和磁场圆的圆心O分别与入射点A、出射点P的连线组成的四边形OAO'P一定为菱形,OP一定平行且等于AO',即出射点为同一点
(续表)
模型 建立 磁发散(一点发散成平行) 如图所示,大量同种带正电的粒子从P点以大小相等的速度v沿不同方向射入圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,则所有的带电粒子射出磁场的方向平行(射出磁场的速度方向垂直于过入射点的直径) 证明:任一粒子运动轨迹的圆心O'和磁场圆的圆心O分别与入射点P、出射点A的连线组成的四边形OAO'P一定为菱形,O'A一定平行于PO,即出射速度方向相同
例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度,人们把此原理运用到薄膜材料制备上,使芯片技术得到飞速发展.如图所示,宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域,磁感应强度大小为B0,这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域,正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切.在正方形区域内存在一个匀强磁场区域,使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0,且粒子仍沿水平向右射出,不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力,下列说法正确的是 (　)
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0,方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0,方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π-2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
[反思感悟] 　
专题十七　“几何圆模型”在磁场中的应用 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.如图所示,在直角坐标系xOy中,x轴上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向外.许多质量为m、电荷量为+q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域,其中R=,则正确的是 (　)
2.[2024·北京西城区模拟] 如图所示,正方形区域abcd内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里.一带电粒子从ad边的中点M处以速度v垂直于ad边射入磁场,并恰好从ab边的中点N处射出磁场.不计粒子的重力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从a点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从b点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子在磁场中的运动时间将变短
3.(多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示,直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场,∠A=30°,∠C=90°,OC边长为L,在C点有放射源S,可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子,粒子的比荷为K.若S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界,OA边界处有磁场,不计重力及粒子之间的相互影响,则 (　)
A.磁感应强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.OA上粒子出射区域长度为L
D.OA上粒子出射区域长度为
4.(多选)[2024·河北衡水模拟] 如图所示,扇形区域AOB内存在有垂直平面向里的匀强磁场,OA和OB互相垂直,是扇形的两条半径,一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场,从B点离开,若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场,则 (　)
A.粒子带正电
B.C点越靠近B点,粒子偏转角度越大
C.C点越远离B点,粒子运动时间越短
D.只要C点在A、B之间,粒子仍然从B点离开磁场
5.(多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,在矩形的区域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场,已知磁感应强度大小为B,Oa与ab长度之比为∶1.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力忽略不计)从O点沿着Ob方向射入磁场,下列关于带电粒子在磁场中运动的说法正确的是 (　)
A.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
B.带电粒子的入射速度越大,则在磁场中运动的位移越大
C.带电粒子的入射速度越大,则在磁场中运动的时间越长
D.带电粒子可以从bc边界离开磁场
6.(多选) [2024·山东青岛模拟] 如图所示为一圆形区域,O为圆心,半径为R,P为边界上的一点,区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B.电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以相同的速率v=射入磁场,粒子a正对圆心射入,粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角,已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4,下列说法正确的是 (　)
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
B.θ=60°
C.θ=30°
D.粒子a、b离开磁场时的速度方向也成θ角
7.(多选)[2024·河南开封模拟] 如图所示,在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出).一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场,已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子,离开磁场时速度垂直于AC边.不计粒子重力和粒子间的相互作用.下列判断中正确的是
(　)
A.等腰三角形BAC中AB边的长度为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D.若仅将磁场反向,则粒子在磁场中运动的最长时间不变
8.[2024·浙江温州模拟] 如图所示,竖直平面内有一xOy平面直角坐标系,第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小记为B(B未知).坐标原点O处有一放射源,放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子.在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN,M点坐标为(0,a),N点坐标为(0,2a),当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点,最近到M点.不计离子的重力及离子间的相互作用的影响,求:
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.
9.[2024·江西九江模拟] 如图所示,半径为R的圆形区域的圆心位于直角坐标系的坐标原点O,该圆形区域内有垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出),在y<-R区域存在沿x轴负方向的匀强电场,场强大小为E,磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源,M、N为粒子源两端点,M、N连线垂直于x轴,粒子源中点P位于x轴上,且均匀持续向x轴负方向发射质量为m、电荷量为+q(q>0)、速率为v的粒子,已知从粒子源中点P发出的粒子,经过磁场后,恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场.不计粒子重力及粒子间的相互作用,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及方向;
(2)从进入磁场开始计时,至第3次经过y轴,粒子经历的最长时间;
(3)粒子离开Q点进入电场后,再次经过y轴时离O点的最大距离.(共81张PPT)
专题十七 “几何圆模型”在磁场中的应用
题型一 放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
题型二 旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
题型三 平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在
一条直线上移动
题型四 磁聚焦与磁发散问题
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
题型一 放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
模型 界定
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁
场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化
模型 特点
续表
例1 如图所示，磁感应强度为 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中段是半径为的四分之一圆弧，、 的延长线通过圆弧的圆心，长为.一束质量为、电荷量为 的粒子，在纸面内以不同的速率从点垂直射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中、 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用
和重力.则下列分析中正确的是( )
A.粒子带负电
B.从点射出粒子的速率一定大于从 点射出粒子的速率
C.从点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从 点
射出粒子在磁场中运动时间
D.所有粒子在磁场中运动最短时间为
√
[解析] 粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左
手定则，可知粒子带正电，A错误；根据
得，从 点射出粒子的圆周
半径更小，则速度更小，B错误；由
，粒子周期不变，圆周运动
的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一
半，弦切角越小，运动时间越短，如图所示，当弦与 圆弧边界相切时，
弦切角最小，等于，由几何关系知，此时圆周运动的圆心角为 ，
则最短时间为，、
两点具体位置未知，则无法判断从 点射出
粒子所用时间和从 点射出粒子所用时间的
大小关系，C错误，D正确.
变式1 (多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示，边长为
的等边三角形 内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，是边的中点，一质量为 、电荷量为
的带电粒子从点以不同的速率平行于 边方向射入
磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.粒子可能从 点射出
B.若粒子从点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C.若粒子从点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D.若粒子从 边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
√
√
[解析] 带负电的粒子从点以速度平行于 边方向射入磁场，由左手定
则可知，粒子向下偏转，但由于边的限制，粒子不能到达 点，A错误；
若粒子从 点射出，如图甲所示，根据几何关系有
，解得 ，
B错误；粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为
，则 ，粒子在磁场
中运动的时间为 ，C正确；
若粒子从 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图乙所示，粒子从边射出时的圆心角 相同，且为最大，根据、 可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，且时间最长，故D正确.
题型二 旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
模型 界定
模型 条件
续表
模型 特点
续表
例2 (多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，在 的区域内存在与
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为.一束速率等于 的相同带电
粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率地分布在
范围内.其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的 点离开磁场，其
偏向角为 .不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D.能从右边界射出的粒子占总粒子数的
√
√
[解析] 根据题意作出沿 轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图甲所示，圆心为，根据几何关系有 ，可知粒子做圆周运动的半径为 ，故A正确； 由得 ，故B错误；
在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为 ，在磁场中的运动时间 ，故C正确；结合甲、乙两图可知，能从右边界射出的粒子的初速度方向与轴正方向的夹角等概率地分布在
范围内，占总粒子数的 ，
故D错误.
变式2 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向
垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 ．磁场
内有一块足够大的平面感光板 ，板面与磁场方向平
行，在与的距离为处有一个点状的 粒子
A. B. C. D.
放射源，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速度都是
.已知 粒子的比荷 .现只考虑在纸面
内运动的 粒子，则感光板上被 粒子打中区域的长度为( )
√
[解析] 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做
匀速圆周运动，用表示轨迹半径，有 ，
解得.从点朝不同方向发射的
粒子的圆轨迹都过，由于 ，故某一圆轨
迹在图中左侧与相切，此切点就是 粒子能打中的左侧最远点；再
考虑的右侧， 粒子在运动中与的距离不可能超过，以 为半径、
为圆心作圆，交于右侧的 点，此点为右侧能打到的最远点，粒子
运动轨迹如图所示，定点的位置，可作平行于的直线，到 的
距离为，以为圆心、为半径作圆，交于 点，过作的垂线，它与的交点即为 ，根据几何关系可得 ，
，故感光板上被 粒子打中区域的长度为 ，选项B正确．
题型三 平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直线
上移动
模型 界定
模型 条件
模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上，且该直线与入射点的连线
平行(或共线)
续表
例3 (多选)[2024·陕西西安模拟] 如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面
向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度的大小为 ，边界Ⅰ、Ⅱ的长度分别
为、 ；大量均匀分布的带电粒子由边界Ⅰ的左侧沿平行边界Ⅱ的方向垂直
射入磁场，粒子的速率均相等，已知从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总数的 ，
带电粒子的质量为、所带电荷量为 ，忽略带电粒子之间的相互作用以及
粒子的重力.下列说法正确的是( )
A.带电粒子射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动
B.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
C.刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中运动的时间为
D.带电粒子的初速度大小为
√
√
[解析] 由左手定则可知，带电粒子射入磁场的瞬间，带电粒
子受向上的磁场力作用，则带电粒子在磁场中沿逆时针方向
做圆周运动，A错误；带电粒子在磁场中运动的周期为
，带电粒子在磁场中转过半个圆周时，运动时间最长，
则带电粒子在磁场中运动的最长时间为 ，B正确；
作出带电粒子刚好不从边界Ⅲ离开磁场的轨迹，如图所示，由于从边界Ⅰ
离开磁场的带电粒子占总数的，则图中的、、 为边界Ⅰ的四等分点，
由几何关系可知，三角形区域的顶 角为 ，
点到顶点的距离为 ，根据几何关系可得，解得粒子轨迹半径 ，根据牛顿第二定律得，解得 ，D正确；由图可知，刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中偏转的角度大小为 ，则该粒子在磁场中运动的时间为 ，C错误.
变式3 如图所示，、、为以为圆心、半径为
的圆周上的三点，，为 的中点，在
内充满垂直于纸面向外的匀强磁场
(图中未画出)，磁感应强度大小为.一群质量为 、
电荷量为的带正电粒子以速率从 部分垂
A. B. C. D.
直于 射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子
进出磁场一次所用的时间可能是 ( )
√
[解析] 根据 ，可得粒子在磁场中运动
的轨迹半径 ，粒子在磁场中做圆周运动的周
期 ，运动轨迹如图所示，由图可知，
部分粒子从边射入磁场，又从 边射出磁场，
由对称性可知，粒子偏转的圆心角为 ，运动
时间为，从 边飞出的粒子中，
运 动时间最短的粒子其轨迹中点为 点，运动的时间，沿 入射的粒子与磁场圆在最低点内切，轨迹对应的圆心角为 ，运动时间最长，最长时间为 ，故粒子进出磁场一次所用的时间的范围为或 ，故C正确,A、B、D错误.
题型四 磁聚焦与磁发散问题
模型 建立 磁聚焦 (平行会聚 于一点)
模型 建立 磁聚焦 (平行会聚 于一点)
续表
模型 建立 磁发散 (一点发散 成平行)
续表
模型 建立 磁发散 (一点发散 成平行)
续表
例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒
子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯
片技术得到飞速发展.如图所示，宽度为 的带正电粒子
流水平向右射入半径为 的圆形匀强磁场区域，磁感应强
度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上 点进入正方
形区域，正方形过点的一边与半径为 的磁场圆相切.在正方形区域内存
在一个匀强磁场区域，使会聚到 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重
力，下列说法正确的是( )
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，
方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，
方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
√
√
[解析] 根据磁聚焦原理，粒子在半径为 的圆形磁
场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为 ，有
，解得，要使会聚到 点的粒子
经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为 ，且粒子
仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关
系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径为 ，正方形中磁场区域应
该为圆形磁场的一部分，有，解得 ，
由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为 ，C正确，D错误.
放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
1.[2020· 全国卷Ⅰ] 一匀强磁场的磁感应强度大小
为 ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线
所示，为半圆，、与直径共线，、
A. B. C. D.
间的距离等于半圆的半径.一束质量为、电荷量为 的粒子在纸面
内从点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互
作用.在磁场中运动时间最长的粒子其运动时间为( )
√
[解析] 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，
由在磁场中运动轨迹对应的圆心角决定，即
采用放缩法，粒子垂直于 射入磁场，则圆心必在
直线上，将粒子的轨迹半径由零开始逐渐放大，
在和时，粒子分别从、 边界射出，在磁场中的轨迹
为半圆，运动时间等于半个周期.
当 时，粒子从半圆边界射出，将轨迹半径从 逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹所对的圆心角从 逐渐增大，当轨迹半径为 时，轨迹所对的圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹所对的圆心角减小，因此当轨迹半径等于时粒子运动时间最长，即 ，粒子运动的最长时间
为 ,C正确.
2.如图所示，等腰直角三角形 区域存在方向垂直于纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为.三个相同的带电粒子从点沿 方向分别以速度
、、射入磁场，在磁场中运动的时间分别为、、 ，且
.直角边的长度为 ，不计粒子的重力.下列说法正确的
是( )
A.三个速度的大小关系一定是
B.三个速度的大小关系可能是
C.粒子的比荷
D.粒子的比荷
√
[解析] 由于 ，作出粒子运动的轨迹如图所
示，它们对应的圆心角分别为 、 、 ，由几何关
系可知轨迹半径大小关系为、 ，与 大
小关系无法确定，由 可知三个速度的大小关系可
能是 ，故A错误，B正确；粒子做圆周运动的
周期，则，解得 ，故C错误；
由 及，解得 ，故D错误.
旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
3.(多选)如图所示，在荧屏 上方分布了水平
方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里.距离荧屏
处有一粒子源 ，能够在纸面内不断地向各个方
向同时发射速度大小为、电荷量为、质量为 的带正电粒子，不计粒子
的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为 ，则( )
A.粒子能打到荧屏上的区域长度为
B.能打到荧屏上最左侧的粒子所用的时间为
C.粒子从发射到打到荧屏上的最长时间为
D.同一时刻发射的粒子打到荧屏上的最大时间差为
√
√
[解析] 打在荧屏 上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系
知，带电粒子能打到荧屏 上的区域长度为
，故A错误；由运动轨迹图
可知，能打到荧屏 上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为
，又，解得 ，故B正确；
在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图乙所
示，粒子做完整圆周运动的周期 ，由几何关系可知，最长时间
，最短时间 ，根据题意得同一时刻发射的粒子
打到荧屏上的最大时间差 ，故C错误，D正确.
平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直
线上移动
4.(多选)如图所示，直角三角形 区域内有垂直于纸面向
外、磁感应强度大小为的匀强磁场，边长为 ，
.带正电的粒子流(其重力忽略不计)以相同速度
在范围内垂直于 边射入(不计粒子间的相互作用力)，
从点射入的粒子恰好不能从边射出.已知从 边垂直
射出的粒子在磁场中运动的时间为 ，在磁场中运动时间最长的粒子所用
时间为 ，则( )
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨迹半径为
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子流在磁场中扫过的面积为
√
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直于 边射
出的粒子在磁场中运动的时间为，又有 ，
解得粒子的比荷为 ，故A错误；设运动时间最长
的粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，根据题意
有，解得 ，粒子运动轨迹如图所示，
设轨迹半径为，根据几何关系有，解得 ，故
B错误；
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，
有 ，解得粒子射入磁场的速度大小为
，故C正确；从 点射入的粒子恰好不
从 边界射出，由几何知识可得粒子在磁场中扫过的面
积为 ，故D正确.
磁聚焦与磁发散问题
5.(多选)如图所示，坐标原点 处有一粒子源，能向
坐标平面第一、二象限内发射大量质量为 、电荷量
为 的带正电的粒子(不计重力)，所有粒子速度大小
相等.圆心在点、半径为 的圆形区域内，有垂
直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 ，磁
场右侧有一长度为且平行于轴的荧光屏，其中心位于点 .已知
初速度沿 轴正方向的粒子经过磁场后恰能垂直射在光屏上，则下列说法
正确的是( )
A.粒子的速度大小为
B.从 点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子在磁场中运动的时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与轴夹角 满足
√
√
[解析] 初速度沿 轴正方向的粒子经过磁
场后恰能垂直射在光屏上，由几何关系
可知，粒子做圆周运动的轨迹半径 ，
由洛伦兹力提供向心力，有 ，
解得 ，A正确；所有粒子的初速度大小相等，但方向不同，由于所
有粒子做圆周运动的轨迹圆半径与磁场圆半径相等，由磁发散模型可知，
所有粒子射出磁场区域后的速度方向均垂直于荧光屏，但有些粒子会从荧
光屏上方或下方经过而不打在荧光屏上，B错误；
如图甲所示，由几何关系可得，能射在荧光屏
上的粒子在磁场中运动时间最长时，对应轨迹
的圆心角为 ，周期 ，则在磁场中运
动的最长时间 ，C错误；若粒子初速度方向与轴夹角
为 时能打在光屏下端，如图乙所示，由几何关系可得圆心角，
同理，粒子打在光屏上端时，初速度与轴夹角为 ，故
能射在光屏上的粒子初速度方向与 轴夹角 满足 ，D正确.
作业手册
1.如图所示,在直角坐标系中, 轴上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为
,磁场方向垂直于纸面向外.许多质量为、电荷量为 的粒子以相同的
速率从原点沿纸面由从轴负方向到 轴正方向之间的各个方向射入磁
场区域.不计重力及粒子间的相互作用.图中阴影部分表示带电粒子在磁场
中可能经过的区域,其中 ,则正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示,从点沿 轴负方向射入的粒子
运动轨迹为圆,与轴相切于点,在 轴上方,半径
为;沿 轴正方向射入的粒子运动轨迹为半圆,在
轴右侧,与轴的交点距点为 ;沿其余方向射
入的带电粒子运动轨迹的最远点均在以 为圆心、
半径为 的圆周上;由以上分析结合定圆旋转法, 可知D正确.
2.[2024·北京西城区模拟] 如图所示，正方形区域
内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.一带电粒子
从边的中点处以速度垂直于 边射入磁场，并恰
好从边的中点 处射出磁场.不计粒子的重力，下列说
法正确的是( )
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为，粒子将从 点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为，粒子将从 点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为 ，粒子在磁场中的运动时间将变短
√
[解析] 根据左手定则可知粒子带正电，A错误；设正
方形边长为，粒子以速度和速度 进入磁场，有
， ，轨迹如图所示，可知若粒子射入磁
场的速度增大为，射出的位置在、 之间，B、C
错误；若粒子射入磁场的速度增大为 ，则在磁场中
运动的轨迹所对应的圆心角将变小，由
可知粒子在磁场中的运动时间将变短，故D正确.
3.(多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示，直角三角形 区域内有垂直
于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场， ， ，
边长为，在点有放射源，可以向磁场内各个方向发射速率为 的同
种带正电的粒子，粒子的比荷为.若发射的粒子有三分之二可以穿过
边界， 边界处有磁场，不计重力及粒子之间的相互影响，则( )
A.磁感应强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.上粒子出射区域长度为
D.上粒子出射区域长度为
√
√
[解析] 如图所示， 发射的粒子有三分之二可
以穿过 边界，根据左手定则可知，入射方
向与夹角为 的粒子刚好从 点射出，
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的轨迹
半径为 ，根据洛伦兹力提供向心力，有，又知，
解得 ，故A错误，B正确；沿方向入射的粒子穿过边界时距
点最远，根据几何知识可知，最远距离为，则上粒子出射区域
长度为 ，故C正确，D错误.
4.(多选)[2024·河北衡水模拟] 如图所示，扇形区域 内存在有垂直平
面向里的匀强磁场，和 互相垂直，是扇形的两条半径，一个带电粒
子从点沿方向进入磁场，从点离开，若该粒子以同样的速度从 点
平行于 方向进入磁场，则( )
A.粒子带正电
B.点越靠近 点，粒子偏转角度越大
C.点越远离 点，粒子运动时间越短
D.只要点在、之间，粒子仍然从 点离开磁场
√
√
[解析] 由题意，粒子从点进入磁场从 点离开，由
左手定则可以确定粒子带正电，故A正确；由题意知
当粒子从点入射时，从 点离开磁场，则粒子做圆周
运动的半径等于磁场圆弧区域的半径，根据磁会聚的
原理(一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动
的半径相同的圆形磁场区域时，这些粒子将从同一点射出圆形磁场)，当
入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示，从点、 、
、以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点 射出，从图中看
出，点越靠近点，偏转角越小，时间越短，离 点越远，偏转角越大，
时间越长，故D正确，B、C错误.
5.(多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，在矩形的区
域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，已知磁感
应强度大小为，与长度之比为 .一个质量为
A.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
B.带电粒子的入射速度越大，则在磁场中运动的位移越大
C.带电粒子的入射速度越大，则在磁场中运动的时间越长
D.带电粒子可以从 边界离开磁场
、电荷量为的带正电粒子(重力忽略不计)从点沿着 方向射入磁场，
下列关于带电粒子在磁场中运动的说法正确的是( )
√
√
[解析] 由几何关系可知，与的夹角 ，粒子运
动的轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子运动轨迹对应的
最大圆心角 ，粒子在磁场中做圆周运动的周期
，则粒子在磁场中运动的最长时间 ，
故A正确；带电粒子的入射速度越大，则在磁场中运动的弧
所对的弦长越长，故在磁场中运动的位移越大，但是粒子在
磁场中运动的圆弧所对的圆心角可能不变或者减小，故运动时间可能不变
或者减小，故B正确，C错误；带电粒子沿着 方向垂直射入磁场，受到
的洛伦兹力斜向下，故粒子不可能从 边界离开磁场，故D错误.
6.(多选) [2024·山东青岛模拟] 如图所示为一圆形区域， 为圆心，半径为
， 为边界上的一点，区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出)，磁
感应强度大小为.电荷量为、质量为的相同带电粒子、 (不计重力) 从
点先后以相同的速率射入磁场，粒子正对圆心射入，粒子 射入
磁场时的速度方向与粒子射入时的速度方向成 角，已知粒子与粒子
在磁场中运动的时间之比为 ，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
B.
C.
D.粒子、离开磁场时的速度方向也成 角
√
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
，而速度，解得运动半径，故A正确；
因粒子 正对圆心射入，又，故粒子在磁场中的运动时间为 ，运动圆弧对应的圆心角为 ，两粒子在磁场中运动的
周期相等，为 ，运动时间之比为， 故粒子
在磁场中的运动时间为 ，
即运动圆弧对应的圆心角为 ，由几何关系可知，运动圆弧对应的圆心与、 三点的连线构成等边三角形，所以 ，故B错误，C正确；作图可知粒子 、 离开磁场时速度平行，是“磁发散”模型，故D错误.
7.(多选)[2024·河南开封模拟] 如图所示，在等腰直角三角形 内充满
着磁感应强度大小为 、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出).一群
质量为、电荷量为、速度为的带正电粒子垂直 边射入磁场，已知
从边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于
边.不计粒子重力和粒子间的相互作用.下列判断中正确的是( )
A.等腰三角形中边的长度为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从中点射入的粒子离开磁场时的位置与 点的距离为
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
√
√
[解析] 依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，
轨迹圆的圆心在点.且其轨迹与 边相切.根据几
何关系可知 ，粒子在洛伦兹力作用下
做匀速圆周运动，有 ，联立可得
，故A正确；粒子在磁场中做匀速圆周
运动的周期为 ，根据A选项分析，粒子最长
轨迹所对应的圆心角为 ，则有 ，
故B正确；从 中点射入的粒子，其轨迹为上面所
分析的粒子轨迹向下平移 ，得到此轨迹圆
的圆心在 点的正下方，如图所示，由几何关系可
知，离开磁场时的位置与 点的距离必然小于轨迹
半径 ，故C错误；若仅将磁场反向，则粒子
在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为 的轨
迹，故最长时间将变小，故D错误.
8.[2024·浙江温州模拟] 如图所示，竖直平面内有一
平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为未知 .坐
标原点 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四
象限 范围内均匀地辐射出质量为、电荷量为
的正离子.在轴上固定一能吸收离子的收集板，
点坐标为，点坐标为，当辐射的离子速率为 时离子打在收
集板上的位置最远到点，最近到 点.不计离子的重力及离子间的相互作
用的影响，求：
(1) 恰好打到 点的离子在磁场中运动的时间；
[答案] 或
[解析] 由题意可知，沿轴正方向出射的离子，
经半圆到达 点由此可得
可知通过 点的离子有两个出射方向
如图甲所示，一个轨迹转过的圆心角为 ，即
另一个轨迹转过的圆心角为 ，即 ，
离子做匀速圆周运动
周期
即
解得，
(2) 能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.
[答案]
[解析] 如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与轴正方向成 角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为
9.[2024·江西九江模拟] 如图所示，半径为 的圆形区域的圆
心位于直角坐标系的坐标原点 ，该圆形区域内有垂直于坐
标平面的匀强磁场(未画出)，在区域存在沿 轴负方
向的匀强电场，场强大小为，磁场区域外右侧有宽度为的粒子源，、
为粒子源两端点，、连线垂直于轴，粒子源中点位于轴上，且均
匀持续向 轴负方向发射质量为、电荷量为、速率为 的粒子，
已知从粒子源中点发出的粒子，经过磁场后，恰能从圆与轴负半轴的交
点 处沿 轴负方向射出磁场.不计粒子重力及粒子间的相互作用，求：
[解析] 由题意可知，从粒子源中点 发射的粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周，设轨迹半径为，由几何关系易知
由洛伦兹力提供向心力有
联立得 ，方向垂直纸面向里
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小及方向；
[答案] ，方向垂直纸面向里
(2) 从进入磁场开始计时，至第3次经过 轴，粒子经历的最长时间；
[答案]
[解析] 由于所有粒子的轨迹半径均为，故粒子全部经由 点离开磁场，其中进入第三象限的粒子受电场力向左偏，不再经过 轴，进入第四象限的粒子受电场力在水平方向上先匀减速再反向匀加速，共3次经过 轴.
设粒子进入磁场时与点连线和轴正方向夹角为 ，由几何关系易知，粒子进入第四象限时速度方向与轴负方向夹角亦为 .
在磁场中运动周期
则粒子在磁场及电场中运动的时间
又
结合粒子源长度为，可知
则 时，
(3) 粒子离开点进入电场后，再次经过轴时离 点的最大距离.
[答案]
[解析] 粒子离开点到再次经过轴，距离 点的距离
其中
代入得
时,取极大值，故
热点题型探究
题型一 例1.D 变式1.CD
题型二 例2.AC 变式2.B
题型三 例3.BD 变式3.C
题型四 例4.BC
基础巩固练
1.D 2.D 3.BC 4.AD
综合提升练
5.AB 6.AC 7.AB 8.（1）或 （2）
拓展挑战练
9.（1），方向垂直纸面向里 （2） （3）

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