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专题十九　带电粒子在叠加场中的运动
例1　AC　[解析] 假设该微粒做匀变速直线运动,则该微粒的速度大小变化,洛伦兹力大小变化,垂直于速度方向的合力变化,微粒将做曲线运动,所以假设不成立,微粒只能做匀速直线运动,受到的合力为零,因微粒带正电荷时受到竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB,合力不可能为零,微粒不能做直线运动,所以微粒应带负电荷,它受到竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB,合力可以为零,选项A正确,B错误;由平衡条件有qvBcos θ=mg,qvBsin θ=qE,解得磁场的磁感应强度大小为B=,电场的场强大小为E=,选项C正确,D错误.
例2　AC　[解析] 由题意可得,带电小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力,电场力F=qE=mg,电场力与重力平衡,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,由于C点位置不确定,故运动轨迹可能有两种,即可能位于轨迹的上半圆和轨迹的下半圆,如图所示,可得轨迹半径R1满足cos 37°=,解得R1=5h,根据qBv1=m,联立解得v1=,轨迹半径R2满足h=R2+R2cos 37°,解得R2=h,根据qBv2=m,联立解得v2=,故A正确,B错误;根据T==可得带电小球两种情况的周期相等,两种情况下小球运动的圆心角分别为×2π+2πk、×2π+2πk,对应时间分别为t1=T+kT=,t2=T+kT=,k=0,1,2,3,….k取不同值可得运动时间不可能为和,故C正确,D错误.
例3　CD　[解析] 第一次粒子在磁场中运动,半径为r=L=,可知B=,运动时间t1==,第二次粒子在电场中运动,运动时间t2=,故t1>t2,A错误;第二次运动中,粒子在y方向上做匀变速直线运动,L=·,解得E=,故有E=2v0B,B错误;第三次运动过程中,带电粒子所受电场力Eq=,洛伦兹力qv0B=,在yOz平面内,如图所示,沿y轴方向有Eqsin θ=Eqsin 30°=qv0B,电场力沿z轴的分量为Eqcos θ,让粒子在z轴正向加速,故粒子的运动为从Q点以速度v0沿x轴正向做匀速直线运动以及沿z轴正向做匀加速直线运动的合运动,即匀变速曲线运动,C正确;粒子在z方向上有L=t2,解得t=,x方向上有x=v0t=L,y方向上的坐标为L,故出射点坐标为,D正确.
例4　(1)　(2)　方向沿x轴正方向(3),其中n=0,1,2,…
[解析] (1)根据题意,作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系可知,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=xNK=
在△OMN区域,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
在匀强加速电场中,由动能定理有U0q=mv2
联立解得U0=
(2)根据题意,作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图乙所示
根据几何关系可知,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r'=xNKcos 60°=
在△OMN区域,根据洛伦兹力提供向心力有qv'B=m
解得v'=
粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,粒子带正电,由左手定则可知,粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向,则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向,故△OMN之外第一象限区域的电场强度沿x轴正方向.
电场力与洛伦兹力大小相等,即
qv'B=Eq
联立解得E=
(3)在匀强加速电场中,由动能定理有Uq=mv″2
其中U=
解得v″=
在△OMN区域,根据洛伦兹力提供向心力有
qv″B=m
解得粒子在△OMN区域运动的轨迹半径r″=L
作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图丙所示
粒子从小孔K射出时,由几何关系有
sin θ=
解得θ=60°
利用配速法将粒子从小孔K射出时的速度v″分解出沿y轴方向的分量为v',根据第(2)问可知,粒子的一个分运动是以速度v'平行于y轴做匀速直线运动,则粒子将以v″的另一个分量为线速度做匀速圆周运动.
由于==sin θ,所以分解出的两个分速度恰好是沿x轴正方向和沿y轴正方向,分别为
vx″=v″cos θ
vy″=v″sin θ
粒子做匀速圆周运动的半径为ry=
周期为T=
粒子从小孔K射出后转动+n个圆周时离y轴最近,运动时间t=T,其中n=0,1,2,…
此时粒子所在位置的横坐标为x=cos 60°-ry
纵坐标为y=sin 60°+vy″t+ry
联立解得x=L,y=L,其中n=0,1,2,…
即粒子在运动过程中距离y轴最近位置的坐标为,其中n=0,1,2,…
例5　CD　[解析] 粒子在Ⅰ区域xOz平面内做圆周运动,轨迹如图甲所示,根据几何关系可知r1=2l,根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,可得Ⅰ区域磁感应强度的大小B=,故A错误;粒子在Ⅱ区域yOz平面做类平抛运动,z轴方向有l=v0t2,y轴方向有=a,加速度为a=,解得Ⅱ区域电场强度的大小E=,故B错误;粒子在M点沿y轴方向的分速度为vy=at2=v0,粒子进入Ⅲ区域后在xOy平面做圆周运动,轨迹如图乙所示,由几何关系可知+=(l-r2)2,解得r2=l,其周期为T==,故C正确;粒子进入Ⅲ区域后在xOy平面做圆周运动,沿z轴做匀加速直线运动,故粒子做螺旋线运动,螺距为L=v0nT+a(nT)2(n=1,2,3,…),可得L=nπl+l(n=1,2,3,…),故D正确.
甲
乙专题十九　带电粒子在叠加场中的运动
1.A　[解析] 根据运动的叠加原理可知,离子在竖直平面内做匀速圆周运动,沿水平方向做加速运动,则v1增大,v2不变;当离子速度平行于磁场方向的分量大小为2v1时,垂直于磁场方向的分量大小为v2.故选A.
2.D　[解析] 在电磁场区域中,小球在重力、电场力和洛伦兹力作用下竖直向下做直线运动,该直线运动一定是匀速直线运动,其受力方向一定如图所示,可知小球一定带正电,故A错误;小球做匀速直线运动,故小球穿过电磁场区域的过程中动能不变,故B错误;电场力与速度方向的夹角一直大于90°,可知电场力一直做负功,电势能增大,故 C错误;小球受力平衡,有qvB=,小球进入电磁场区域前,根据动能定理有mgh=mv2-0,解得小球进入电磁场区域前自由下落的高度为h=,故D正确.
3.ABC　[解析] 带正电的粒子受到沿y轴负方向的电场力,磁场方向垂直于纸面向里,根据左手定则可知,在原点时带电粒子受到沿y轴正方向的洛伦兹力,由于v0>,即qv0B>Eq,所以合力向上,带电粒子会在第一象限内做曲线运动;粒子向上运动,洛伦兹力不做功,电场力做负功,随着速度逐渐减小,若在最高点时洛伦兹力恰好减小至0,则粒子会在电场力作用下沿y轴负方向加速,洛伦兹力方向相反,形成A图;同理,若在最高点时洛伦兹力没有减小至0,且速度v>,则形成B图;若在最高点时洛伦兹力没有减小至0,且速度v<,则形成C图.
4.D　[解析] 小圆环从最高点运动到最低点的过程中,除重力做功外,还有电场力做功,机械能不守恒,故A错误;设小圆环所受重力和电场力的合力与竖直方向的夹角为θ,假设恰好能做完整的圆周运动,刚好到达等效最高点A,如图所示,根据动能定理得mgR-qERsin θ=m,且mgtan θ=qE,解得=2gR<0,所以假设不成立,即小圆环不能沿大圆环做完整的圆周运动,故B错误;小圆环从最高点运动到大圆环右侧与圆心等高位置过程中,根据动能定理得mgR+qER=m-0,解得小圆环运动到大圆环右侧与圆心等高位置时的速度v1=,故C错误;小圆环从最高点运动到大圆环最低点过程中,根据动能定理得mg·2R=m-0,解得小圆环运动到大圆环最低点时的速度v2=,故D正确.
5.ABD　[解析] 油滴a做圆周运动,故重力与电场力平衡,可知带负电,有mg=Eq,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,得R=,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,得3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,得mv=v1+v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡,分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确.
6.(1)　(2)　(3)60°
[解析] (1)带电粒子在cdef区域做直线运动,则有电场力与洛伦兹力平衡,可知粒子带正电,经cd边的中点速度水平向右,设粒子到达cd边的中点速度大小为v0,带电荷量为q,质量为m,由平衡条件则有qE=qv0B
解得v0=
(2)粒子从b点到cd边的中点的运动,可逆向看作从cd边的中点到b点的类平抛运动,设运动时间为t,加速度大小为a,由牛顿第二定律可得
qE=ma
由类平抛运动规律可得v0t=L
at2=
联立解得粒子的电荷量与质量之比
==
(3)粒子从ef中点射出到圆形区域做匀速圆周运动,设粒子的运动半径为R,由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m
解得R=L
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,由图可知,粒子沿半径方向射入,又沿半径方向射出,设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为α,由几何关系可知α=2θ
可得tan θ==
θ=30°
则有α=60°
7.(1)　　(2)　
(3)2.6v0　
[解析] (1)根据动能定理得
qU=m
解得U=
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动,根据题意某粒子从P点射入区域Ⅰ,并从Q点射入区域Ⅱ,故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R相等,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力
qBv0=m
解得R=
(2)带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ,由(1)可得,粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动,轨迹半径为R,因为在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等,所以粒子射入点、区域Ⅰ圆心O1、粒子出射点、轨迹圆心O'四点构成一个菱形,由几何关系可得,区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O'连线,则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线水平,根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出,粒子射入区域Ⅱ,仍做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力
qv0=m
解得R'=2R
如图甲所示,要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短,轨迹所对应的圆心角最小,可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短,即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径2R,根据几何知识可得此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动的轨迹所对应的圆心角都为60°,粒子在两区域磁场中运动周期分别为
T1==
T2==
故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间为
t=T1+T2=
甲
(3)如图乙所示,将速度v0分解为沿y轴正方向的速度v0及速度v',因为E=Bv0,可得qE=qBv0,故可知沿y轴正方向的速度v0产生的洛伦兹力与电场力平衡,粒子同时受到另一方向的洛伦兹力qBv',故粒子沿y轴正方向做旋进运动,根据几何关系可知
v'=2v0sin 53°=1.6v0
故当v'方向为竖直向上时粒子速度最大,最大速度为
vm=v0+1.6v0=2.6v0
根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离为
L=R'+R'sin 53°+2R+2R=6.88R=
乙专题十九　带电粒子在叠加场中的运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
2.常见的几种运动形式
运动性质 受力特点
匀速直线运动 粒子所受的合力为0
匀速圆周运动 除洛伦兹力外,另外两力的合力为零,qE=mg
类平抛运动 电场分解为互相垂直方向的两个分量,一个方向满足qvB=qE1,粒子一运动为匀速直线运动,同时另一运动为初速度为零的匀加速直线运动,则其合运动即为类平抛运动
一般的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子的运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
考向一　带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 (多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A,重力加速度为g,下列说法中正确的是 (　)
A.该微粒一定带负电荷
B.该微粒从O到A的运动可能是匀变速直线运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的场强大小为
[反思感悟] 　


考向二　带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2 (多选)[2024·江西南昌模拟] 在科学技术方面,人们常利用复合场控制带电小球的运动,如图所示,某空间中同时存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场,磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外,电场强度方向竖直向上.在复合场中A点,一质量为m、电荷量为q的带正电小球以一水平初速度进入复合场,小球经过A点右下方C(未画出)点时速度方向与水平方向的夹角为37°,重力加速度大小为g,已知电场强度大小E=.A、C两点间的高度差为h,不计阻力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则该带电小球从A点到C点的过程中 (　)
A.经过C点时速度大小可能为
B.经过C点时速度大小可能为
C.运动时间不可能为
D.运动时间可能为
考向三　带电粒子在叠加场中的类平抛运动
例3 (多选)[2024·湖南常德模拟] 如图所示,以棱长为L的正方体顶点O为原点建立三维坐标系O xyz,其中正方体的顶点P落在x轴上,顶点Q落在y轴上.一质量为m、电荷量为+q的带电粒子(重力不计)由Q点沿x轴正方向以初速度v0射入正方体,第一次只加沿z轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场,该粒子恰好能通过OQ的中点;第二次只加沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场,该粒子恰好能通过OP的中点;第三次同时加上与前两次等大的磁场和电场,其中磁场方向不变,将电场方向调整为与yOz平面平行,与z轴正方向成30°角、与y轴正方向成60°角.则 (　)
A.第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等
B.电场强度和磁感应强度的大小满足E=v0B
C.第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动
D.第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为L,L,L
※　叠加场中的摆线类问题
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)中运动,若所受的洛伦兹力与电场力(或重力)不平衡而做曲线运动,则情境就会变得比较复杂,问题的焦点是洛伦兹力的大小和方向会不断地发生变化,粒子做的是较复杂的非匀变速曲线运动,这类问题的定量计算一般需要用到“配速法”.
常见情况 处理方法
初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv2B=mg,则粒子的运动可看作以v2做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动
初速度为v0,有重力 把初速度v0分解为v1和v2,且满足qv1B=mg,则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动的合运动
初速度为0,不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv2B=qE,则粒子的运动可看作以v2做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动
初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个斜向右上的速度v1和一个斜向左下的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv1B与重力及电场力的合力平衡,则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动的合运动
例4 [2024·山东卷] 如图所示,在xOy坐标系中,x>0,y>0区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场.磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,∠OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点.△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场.位于y轴左侧的粒子发生器在0(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0;
(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;
(3)当加速电压为时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标.
※　叠加场中的螺旋线类问题
1.模型建立
如图甲所示,带正电粒子的初速度大小为v0,方向与匀强磁场方向间的夹角为θ.
分析:以磁场的方向为x轴正方向建立如图乙所示的三维直角坐标系,可以将初速度v0分解为vx=v0cos θ,vy=v0sin θ.粒子因有分速度vy而受到xOz平面内的洛伦兹力,在x轴方向上不受力.粒子在x轴方向上以速度vx做匀速直线运动,在yOz平面内以速度vy做匀速圆周运动,这两个分运动是相互垂直的,其合运动的轨迹类似于弹簧(如图丙所示),这种运动称为等距螺旋线运动.
2.模型拓展
如图丁所示,在上述模型中加入与匀强磁场相同的匀强电场,则粒子在x轴方向上不受洛伦兹力,只受静电力.粒子在x轴方向上做初速度为vx,加速度为的匀加速直线运动;在yOz平面内仍做匀速圆周运动.其合运动的轨迹为不等距螺旋线.
例5 (多选)[2024·四川南充模拟] 如图所示,截面半径为l的圆柱形空腔位于三维坐标系O xyz中,分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域.0≤z≤l的Ⅰ区域内有沿y轴正方向的匀强磁场;l≤z≤+l的Ⅱ区域内有沿y轴正方向的匀强电场;Ⅲ区域内同时存在沿z轴正方向的匀强电场和匀强磁场,电场强度与Ⅱ区域相等.现有一带电粒子从点P(l,0,0),以大小为v0的速度垂直磁场进入Ⅰ区域,经点Q(0,0,l)沿着z轴进入Ⅱ区域,然后经过点M0,,l+l进入Ⅲ区域,粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出,最终从右边界上点N离开区域Ⅲ.已知粒子的质量为m,电荷量为+q,不计粒子重力,则 (　)
A.Ⅰ区域磁感应强度的大小B=
B.Ⅱ区域电场强度的大小E=
C.进入Ⅲ区域后粒子在xOy平面内分运动是圆周运动,其周期T=
D.进入Ⅲ区域后做螺旋线运动,螺距(相邻两螺旋线上对应点的距离)不相等专题十九　带电粒子在叠加场中的运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·河北石家庄模拟] 2023年4月12日,中国有“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置创造了当时最新的世界纪录,成功实现稳态高约束模式等离子体运行403秒.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一足够长的真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场,如图所示.若某带正电的离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子受到的重力.当离子速度平行于磁场方向的分量大小为2v1时,垂直于磁场方向的分量大小为 (　)
A.v2
B.2v2
C.3v2
D.4v2
2.[2024·河南郑州模拟] 如图所示,空间中存在有界正交的匀强电场和匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,电场的电场强度大小为E.在电磁场上方某处有一个电荷量大小为q、质量为m的小球由静止释放,结果小球恰能沿直线通过电磁场区域,已知重力加速度为g,空气阻力不计,则 (　)
A.小球可能带负电
B.小球穿过电磁场区域的过程中动能增大
C.小球穿过电磁场区域的过程中电势能减小
D.小球进入电磁场区域前自由下落的高度为
3.(多选)[2024·湖北武汉模拟] 空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁感应强度B的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场强度E的方向沿y轴负方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向运动,不计粒子重力.下列四幅描述该粒子运动轨迹的图中,可能正确的是 (　)
4.[2024·广东广州模拟] 如图所示,空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,方向水平向右;磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里.在正交的电磁场空间中有一竖直放置的光滑绝缘大圆环.一质量为m、带电荷量为+q的小圆环从大圆环的最高点由静止释放.已知大圆环半径为R,重力加速度为g.关于小圆环接下来的运动,下列说法正确的是 (　)
A.小圆环从最高点运动到最低点的过程中机械能一直守恒
B.小圆环恰好能沿大圆环做完整的圆周运动
C.小圆环运动到大圆环右侧与圆心等高位置时的速度为
D.小圆环运动到大圆环最低点时的速度为
5.(多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示.当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电荷量、质量均相同.Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示.Ⅱ的轨迹未画出.已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则 (　)
A.油滴a带负电,所带电荷量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
6.[2024·贵州卷] 如图所示,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场.一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区域.所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力.求:
(1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小;
(2)粒子的电荷量与质量之比;
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角.
7.[2024·海南卷] 如图,在xOy坐标系中有三个区域,圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点.半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍.区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1、O2连线与x轴平行,半圆与圆相切于Q点,QF垂直于x轴,半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ.区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、的匀强磁场,磁场方向均垂直纸面向外.区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器,可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0.改变发射器的位置,使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ.已知某粒子从P点射入区域Ⅰ,并从Q点射入区域Ⅱ.(不计粒子的重力和粒子之间的影响)
(1)求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R.
(2)在能射入区域Ⅲ的粒子中,某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短,求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t.
(3)在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,电场强度的大小E=Bv0,方向沿x轴正方向.此后,粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ,进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向成74°角.当粒子动能最大时,求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离.(共84张PPT)
专题十九 带电粒子在叠加场中的运动
题型一 带电粒子在叠加场中的运动
※题型二 叠加场中的摆线类问题
※题型三 叠加场中的螺旋线类问题
◆
作业手册
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备用习题
题型一 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存.
2.常见的几种运动形式
运动性质 受力特点
匀速直线运动 粒子所受的合力为0
匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零，
运动性质 受力特点
类平抛运动 电场分解为互相垂直方向的两个分量，一个方向满足
，粒子一运动为匀速直线运动，同时另一运
动为初速度为零的匀加速直线运动，则其合运动即为类
平抛运动
一般的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度
方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这
时粒子的运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
续表
考向一 带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 (多选)质量为、电荷量为的微粒以速度与水平方向成 角从 点
进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒
在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到 ，重力加
速度为 ，下列说法中正确的是( )
A.该微粒一定带负电荷
B.该微粒从到 的运动可能是匀变速直线运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的场强大小为
√
√
[解析] 假设该微粒做匀变速直线运动，则该微粒的速度大
小变化，洛伦兹力大小变化，垂直于速度方向的合力变化，
微粒将做曲线运动，所以假设不成立，微粒只能做匀速直
线运动，受到的合力为零，因微粒带正电荷时受到竖直向
下的重力、水平向左的电场力 和斜向右下方的洛伦兹
力 ，合力不可能为零，微粒不能做直线运动，所以微粒应带负电荷，
它受到竖直向下的重力 、水平向右的电场力和斜向左上方的洛伦兹
力 ，合力可以为零，选项A正确，B错误；
由平衡条件有 ， ，解得磁场的磁感应强度大小为，电场的场强大小为 ，选项C正确，D错误.
考向二 带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2 (多选)[2024·江西南昌模拟] 在科学技术方面，人们常
利用复合场控制带电小球的运动，如图所示，某空间中同时
存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为 、
方向垂 直纸面向外，电场强度方向竖直向上.在复合场中点，一质量为 、
电荷量为的带正电小球以一水平初速度进入复合场，小球经过点右下方
(未画出)点时速度方向与水平方向的夹角为 ，重力加速度大小为，
已知电场强度大小.、 两点间的高度差为，不计阻力，
, ，则该带电小球从点到 点的过程中( )
A.经过点时速度大小可能为
B.经过 点时速度大小可能为
C.运动时间不可能为
D.运动时间可能为
√
√
[解析] 由题意可得，带电小球在复合场中受重力、电场力
和洛伦兹力，电场力 ,电场力与重力平衡，在
洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由于 点位置不确定，
故运动轨迹可能有两种，即可能位于轨迹的上半圆和轨迹的
下半圆，如图所示，可得轨迹半径满足 ,解
得,根据，联立解得 ,轨迹半径
满足 ,解得,根据 ，
联立解得,故A正确，B错误；根据 可
得带电小球两种情况的周期相等，两种情况下小球运动的圆
心角分别为、 ，对应时间分
别为 ，
，,1，2,3, 取不同
值可得运动时间不可能为和 ，故C正确，D错误.
考向三 带电粒子在叠加场中的类平抛运动
例3 (多选)[2024·湖南常德模拟] 如图所示，以棱长为的正方体顶点 为
原点建立三维坐标系，其中正方体的顶点落在轴上，顶点 落
在轴上.一质量为、电荷量为的带电粒子(重力不计)由点沿 轴正方
向以初速度射入正方体，第一次只加沿 轴负方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场，该粒子恰好能通过的中点；
第二次只加沿 轴负方向、电场强度大小为的匀强电场，该粒子恰好能通
过 的中点；第三次同时加上与前两次等大的磁场和电场，其中磁场方向
不变，将电场方向调整为与平面平行，与轴正方向成 角、与轴正
方向成 角.则( )
A.第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等
B.电场强度和磁感应强度的大小满足
C.第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动
D.第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为,,
√
√
[解析] 第一次粒子在磁场中运动，半径为
，可知，运动时间 ,
第二次粒子在电场中运动，运动时间 ，故
，A错误；第二次运动中，粒子在 方向上做匀
变速直线运动，，解得 ，故
有 ，B错误；第三次运动过程中，带电粒子
所受电场力，洛伦兹力 ，
在平面内，如图所示，沿轴方向有 ，电场
力沿轴的分量为 ,让粒子在 轴正向加速，故
粒子的运动为从点以速度沿 轴正向做匀速直线运
动以及沿 轴正向做匀加速直线运动的合运动，即匀
变速曲线运动，C正确；粒子在方向上有
，解得，方向上有， 方向上的
坐标为，故出射点坐标为 ，D正确.
※题型二 叠加场中的摆线类问题
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)中运动，若所受的洛伦
兹力与电场力(或重力)不平衡而做曲线运动，则情境就会变得比较复杂，
问题的焦点是洛伦兹力的大小和方向会不断地发生变化，粒子做的是较复
杂的非匀变速曲线运动，这类问题的定量计算一般需要用到“配速法”.
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 _____________________________________________________________ 把初速度0分解为一个向左的速度 和一个向
右的速度，和 大小相等，且满足
，则粒子的运动可看作以 做匀速
直线运动和以 做匀速圆周运动的合运动
_____________________________________________________________
常见情况 处理方法
初速度为 ，有重力 _____________________________________________________________ 把初速度分解为和 ，且满足
，则粒子的运动可看作以 做匀速
直线运动和以 做匀速圆周运动的合运动
________________________________________________________________________________
续表
常见情况 处理方法
初速度为0，不计重力 _______________________________________________________________ 把初速度0分解为一个向左的速度 和一个向
右的速度，和 大小相等，且满足
，则粒子的运动可看作以 做匀速
直线运动和以 做匀速圆周运动的合运动
_____________________________________________________________
续表
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 ___________________________________________________________________ 把初速度0分解为一个斜向右上的速度 和一
个斜向左下的速度，和 大小相等，且满
足 与重力及电场力的合力平衡，则粒子的
运动可看作以做匀速直线运动和以 做匀速
圆周运动的合运动
_________________________________________________________________
续表
例4 [2024·山东卷] 如图所示，在坐标系中，
区域内充满垂直纸面向里、磁感应强
度大小为 的匀强磁场.磁场中放置一长度为的挡板，
其两端分别位于、 轴 上、两点， ，
挡板上有一小孔位于中点. 之外的第一象限区域存在恒定匀强电
场.位于 轴左侧的粒子发生器在的范围内可以产生质量为 、
电荷量为的无初速度的粒子.粒子发生器与 轴之间存在水平向右的匀强
加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度
不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子
重力及粒子间相互作用力.
(1) 求使粒子垂直挡板射入小孔的加速电压 ；
[答案]
[解析] 根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔 的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在区域，根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中，由动能定理有
联立解得
(2) 调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔 射出后恰好做匀速直线
运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
[答案] ; 方向沿 轴正方向
[解析] 根据题意，作出粒子以最小的速度从小孔 射出的运动轨迹如图乙所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在 区域，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
粒子从小孔 射出后恰好做匀速直线运动，粒子带正电，由左手定则可知，粒子经过小孔 后受到的洛伦兹力沿轴负方向，则粒子经过小孔 后受到的电场力沿轴正方向，故 之外第一象限区域的电场强度沿 轴正方向.
电场力与洛伦兹力大小相等，即
联立解得
(3) 当加速电压为时，求粒子从小孔 射出后，运动过程中距离 轴最
近位置的坐标.
[答案] ,其中,1,2,
[解析] 在匀强加速电场中，由动能定理有
其中
解得
在 区域，根据洛伦兹力提供向心力有
解得粒子在区域运动的轨迹半径
作出从小孔 射出的粒子的运动轨迹如图丙所示
粒子从小孔 射出时，由几何关系有
解得
利用配速法将粒子从小孔射出时的速度分解
出沿轴方向的分量为 ，根据第(2)问可知，粒子的一个分运动是以速度
平行于 轴做匀速直线运动，则粒子将以 的另一个分量为线速度做匀
速圆周运动.由于 ，所以分解出的两个分速度恰好是沿轴
正方向和沿 轴正方向，分别为
粒子做匀速圆周运动的半径为
周期为
粒子从小孔射出后转动个圆周时离轴最近，运动时间 ，
其中,1,2,
此时粒子所在位置的横坐标为
纵坐标为
联立解得,,其中,1,2,
即粒子在运动过程中距离轴最近位置
的坐标为 ，
其中,1,2,
※题型三 叠加场中的螺旋线类问题
1.模型建立
如图甲所示，带正电粒子的初速度大小为，方向与匀强磁场方向间的夹
角为 .
分析：以磁场的方向为 轴正方向建立如图乙所示的三维直角坐标系，可
以将初速度分解为 ， .粒子因有分速度 而受
到平面内的洛伦兹力，在轴方向上不受力.粒子在轴方向上以速度
做匀速直线运动，在平面内以速度 做匀速圆周运动，这两个分运动
是相互垂直的，其合运动的轨迹类似于弹簧(如图丙所示)，这种运动称为
等距螺旋线运动.
2.模型拓展
如图丁所示，在上述模型中加入与匀强磁场相同的匀强电场，
则粒子在轴方向上不受洛伦兹力，只受静电力.粒子在轴
方向上做初速度为，加速度为的匀加速直线运动；在
平面内仍做匀速圆周运动.其合运动的轨迹为不等距螺旋线.
例5 (多选)[2024·四川南充模拟] 如图所示，截面半径为 的圆柱形空腔位
于三维坐标系中，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域. 的Ⅰ区域内
有沿轴正方向的匀强磁场；的Ⅱ区域内有沿 轴正方向
的匀强电场；Ⅲ区域内同时存在沿 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电
场强度与Ⅱ区域相等.现有一带电粒子从点，以大小为 的速度垂
直磁场进入Ⅰ区域，经点沿着轴进入Ⅱ区域，然后经过点
,, 进入Ⅲ区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点离开区域Ⅲ.已知粒子的质量为，
电荷量为 ，不计粒子重力，则( )
A.Ⅰ区域磁感应强度的大小
B.Ⅱ区域电场强度的大小
C.进入Ⅲ区域后粒子在 平面内分运动
是圆周运动，其周期
D.进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，螺距 (相邻两螺旋线上对应点的距离)不相等
√
√
[解析] 粒子在Ⅰ区域 平面内做圆周运动，轨迹
如图甲所示，根据几何关系可知 ，根据
洛伦兹力提供向心力有 ，可得Ⅰ区域磁
感应强度的大小 ，故A错误；粒子在Ⅱ区域
平面做类平抛运动，轴方向有， 轴方向有，加速度为 ，解得Ⅱ 区域电场强度的大小 ，故B错误；
粒子在点沿 轴方向的分速度为 ，粒子进入Ⅲ区域后在
平面做圆周运动，轨迹如图乙所示，由几何关系
可知 ，解得 ，其周期为
，故C正确；粒子进入Ⅲ区域后在
平面做圆周运动，沿 轴做匀加速直线运动，故粒子
做螺旋线运动，螺距为 ，可得 ，故D正确.
带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选)在竖直平面内建立直角坐标系如图所示，曲
线是抛物线 位于第一象限的部分，第一象限无
电场和磁场，在曲线上不同点以一定的初速度向
轴负方向水平抛出质量为、带电荷量为 的小球，
小球下落过程中都会通过坐标原点 ，之后进入第三
象限的匀强电场和匀强磁场区域(图中未画出)，结果小球恰好在竖直面内
做匀速圆周运动，并且都能打到 轴负半轴上.已知匀强磁场的磁感应强度
大小为，重力加速度取 ，则下列说法正确的是 ( )
A.第三象限的电场强度大小为 ，方向竖直向下
B.小球的初速度为
C.第三象限的磁场方向一定是垂直于纸面向外
D.要使所有的小球都能打到 轴的负半轴，所加磁
场区域的最小面积是
√
√
[解析] 设小球释放点的坐标为 ，由平抛运动规
律可知，，联立可得 ，由
题意可知，解得 ，B正确；小球在
第三象限做匀速圆周运动，则电场与重力平衡，有
，解得 ，方向竖直向上，A错误；
根据题意结合左手定则可判断，第三象限的磁场方向垂直于纸面向里，
C错误；
设小球进入第三象限时的速度为，与轴负方向的夹角为 ，则有
，洛伦兹力提供向心力，有 ，解得
，小球在磁场中的偏转角恒为 ，运动轨
迹的弦长 ，即弦长恒定不变，要使
所有的小球都能打到 轴负半轴上，所加磁场区域的
最小面积为 ，D正确.
2.[2022·重庆卷] 2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的
纪录.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学
将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀
强磁场(如图所示)，电场强度大小为，磁感应强度大小为 .若某电荷量
为 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小
为，垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子重力，则( )
A.电场力的瞬时功率为
B.该离子受到的洛伦兹力大小为
C.与 的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
√
[解析] 根据功率的计算公式可知 ，则电场
力的瞬时功率为，A错误；由于与磁场 方向
垂直的分速度为 ，则根据洛伦兹力的计算公式有
，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子
在竖直面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则增大， 不
变，与 的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力大小不变，电
场力大小也不变，且洛伦兹力方向与电场力方向始终垂直，则合力大小不
变，该离子的加速度大小不变，D正确.
※ 叠加场中的摆线类问题
3.[2023·江苏卷] 霍尔推进器某局部区域可抽象成
如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强
电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度
为.质量为、电荷量为的电子从点沿 轴正
方向水平入射.入射速度为时,电子沿轴做直线运动;入射速度小于的
时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合
力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
(1) 求电场强度的大小 ;
[答案]
[解析] 由题知，入射速度为时，电子沿 轴做直线运动,则电场力与洛伦
兹力平衡，有，解得
3.[2023·江苏卷] 霍尔推进器某局部区域可抽象成
如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强
电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度
为.质量为、电荷量为的电子从点沿 轴正方
(2) 若电子入射速度为,求运动到速度为时位置的纵坐标 ;
[答案]
向水平入射.入射速度为时,电子沿轴做直线运动;入射速度小于的 时，
电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大
小相等.不计重力及电子间相互作用.
[解析] 电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平
面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不
做功，且电子入射速度为 ，则电子受到的电场力
大于洛伦兹力，电子向上偏转，根据动能定理有
，解得
3.[2023·江苏卷] 霍尔推进器某局部区域可抽象成
如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强电
场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 .
质量为、电荷量为的电子从点沿 轴正方向水
(3) 若电子入射速度在 范围内均匀分布,求能到达纵坐标
位置的电子数占总电子数 的百分比.
[答案]
平入射.入射速度为时,电子沿轴做直线运动;入射速度小于的 时，电
子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小
相等. 不计重力及电子间相互作用.
[解析] 若电子以速度 入射时，设电子能到达的最
高点位置的纵坐标为 ，则根据动能定理有
，由于电子在最高点与在最
低点所受的合力大小相等，则在最高点有 ，在最低点有
，联立有， ，要让电子到达纵坐标
位置，即，解得 ，若电子入射速度在
范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的电子数占总电子数 的
.
作业手册
1.[2024·河北石家庄模拟] 2023年4月12日，中国有“人造太阳”之
称的全超导托卡马克核聚变实验装置创造了当时最新的世界纪录，
A. B. C. D.
成功实现稳态高约束模式等离子体运行403秒.为粗略了解等离子体在托卡
马克环形真空室内的运动状况，某同学将一足够长的真空室内的电场和磁
场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场，如图所示.若某带正
电的离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 ，
垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子受到的重力.当离子速度平行
于磁场方向的分量大小为 时，垂直于磁场方向的分量大小为( )
√
[解析] 根据运动的叠加原理可知，离子在竖直平面内做匀速圆周运动，
沿水平方向做加速运动，则增大， 不变；当离子速度平行于磁场方
向的分量大小为 时，垂直于磁场方向的分量大小为 .故选A.
2.[2024·河南郑州模拟] 如图所示，空间中存在有界正交的匀强电场和匀
强磁场，磁场的磁感应强度大小为,电场的电场强度大小为 .在电磁场上
方某处有一个电荷量大小为、质量为 的小球由静止释放，结果小球恰
能沿直线通过电磁场区域，已知重力加速度为 ，空气阻力不计，则
( )
A.小球可能带负电
B.小球穿过电磁场区域的过程中动能增大
C.小球穿过电磁场区域的过程中电势能减小
D.小球进入电磁场区域前自由下落的高度为
√
[解析] 在电磁场区域中，小球在重力、电场力和洛伦兹力作用下竖直向下做直线运动，该直线运动一定是匀速直线运动，其受力方向一定如图所示，可知小球一定带正电，故A错误；
小球做匀速直线运动，故小球穿过电磁场区域的过程中动能不变，故B错误；
电场力与速度方向的夹角一直大于 ，可知电场力一直做负功，电势能增大，故 C错误；小球受力平衡，有 ，小球进入电磁场区域前，根据动能定理有 ，解得小球进入电磁场区域前自由下落的高度为
，故D正确.
3.(多选)[2024·湖北武汉模拟] 空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁感应
强度的方向垂直于纸面(平面)向里，电场强度的方向沿 轴负方向.
一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点以速度
沿 轴正方向运动，不计粒子重力.下列四幅描述该粒子运动轨迹的图中，
可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 带正电的粒子受到沿 轴负方向的电场力，磁场方向垂直于纸面向
里，根据左手定则可知，在原点时带电粒子受到沿 轴正方向的洛伦兹力，
由于，即 ，所以合力向上，带电粒子会在第一象限内做
曲线运动；粒子向上运动，洛伦兹力不做功，电场力做负功，随着速度逐
渐减小，若在最高点时洛伦兹力恰好减小至0，则粒子会在电场力作用下
沿 轴负方向加速，洛伦兹力方向相反，形成A图；同理，若在最高点时
洛伦兹力没有减小至0，且速度 ，则形成B图；若在最高点时洛伦兹
力没有减小至0，且速度 ，则形成C图.
4.[2024·广东广州模拟] 如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为 ，方向水平向右；磁感应强度大小为 ，方向垂直于纸面向里.在正交的电磁场空间中有一竖直放置的光滑绝缘大圆环.一质量为、带电荷量为 的小圆环从大圆环的最高点由静止释放.已知大圆环半径为，重力加速度为 .关于小圆环接下来的运动，
下列说法正确的是( )
A.小圆环从最高点运动到最低点的过程中机械能一直守恒
B.小圆环恰好能沿大圆环做完整的圆周运动
C.小圆环运动到大圆环右侧与圆心等高位置时的速度为
D.小圆环运动到大圆环最低点时的速度为
√
[解析] 小圆环从最高点运动到最低点的过程中，除
重力做功外，还有电场力做功，机械能不守恒，故A
错误；设小圆环所受重力和电场力的合力与竖直方
向的夹角为 ，假设恰好能做完整的圆周运动，刚
好到达等效最高点 ，如图所示，根据动能定理得
，且 ，解得
，所以假设不成立，即小圆环不能沿大圆环做完
整的圆周运动，故B错误；小圆环从最高点运动到大圆环右侧与圆心等高
位置过程中，根据动能定理得
，解得小圆环运动到大圆环
右侧与圆心等高位置时的速度 ，
故C错误；小圆环从最高点运动到大圆环最低点过程
中，根据动能定理得 ，解得小
圆环运动到大圆环最低点时的速度 ，故D正确.
5.(多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向
里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为.一质量为 的带
电油滴，在纸面内做半径为的圆周运动，轨迹如图所示.当 运动到最低
点时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电荷量、质量均相同.Ⅰ在 点时
与的速度方向相同，并做半径为 的圆周运动，轨迹如图所示.Ⅱ的轨迹
未画出.已知重力加速度大小为 ，不计空气浮力与
阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则( )
A.油滴带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为 ，周期
为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
√
√
√
[解析] 油滴 做圆周运动，故重力与电场力平衡，
可知带负电，有，解得 ，故A正确；
根据洛伦兹力提供向心力有，得，
解得油滴 做圆周运动的速度大小为 ，故 B正确；
设小油滴Ⅰ的速度大小为 ，得，解得 ，周期为 ，故C错误；
带电油滴 分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的
速度为，取油滴 分离前瞬间的速度方向为正方向，
得 ，解得 ，由于分离后
的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后
小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确.
6.[2024·贵州卷] 如图所示，边长为的正方形 区域及矩形区域内均存在电场强度大小为 、方向竖直向下且与边平行的匀强电场， 右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为 的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为 、方向垂直纸面向里的匀强磁场.
一带电粒子从 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入 区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域.所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力.求：
(1) 粒子沿直线通过 区域时的速度大小；
[答案]
[解析] 带电粒子在 区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经 边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为 ，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有
解得
6.[2024·贵州卷] 如图所示，边长为的正方形
区域及矩形区域内均存在电场强度大小为 、
方向竖直向下且与边平行的匀强电场， 右边有
(2) 粒子的电荷量与质量之比；
[答案]
一半径为且与相切的圆形区域，切点为 的
中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为 、方向垂直纸
面向里的匀强磁场.一带电粒子从 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，
经边的中点进入 区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域.所有
区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力.求：
[解析] 粒子从点到 边的中点的运动，可逆向看作从边的中点到点的类平抛运动，设运动时间为 ，加速度大小为 ，由牛顿第二定律可得
由类平抛运动规律可得
联立解得粒子的电荷量与质量之比
6.[2024·贵州卷] 如图所示，边长为的正方形
区域及矩形区域内均存在电场强度大小为 、
方向竖直向下且与边平行的匀强电场， 右边有
(3) 粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角.
[答案]
一半径为且与相切的圆形区域，切点为 的
中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为 、方向垂直纸
面向里的匀强磁场.一带电粒子从 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，
经边的中点进入 区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域.所有
区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力.求：
[解析] 粒子从 中点射出到圆形区域做匀速圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由
图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半
径方向射出，设粒子射出圆形区域时速
度方向与进入圆形区域时速度方向的夹
角为 ，由几何关系可知
可得
则有
7.[2024·海南卷] 如图，在 坐标系中有三个区域，
圆形区域Ⅰ分别与轴和轴相切于点和 点.半圆形区
域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍.区域Ⅰ、Ⅱ的圆心、连
线与轴平行，半圆与圆相切于 点，垂直于轴，半圆的直径 所在的
直线右侧为区域Ⅲ.区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为、 的匀强磁场，磁
场方向均垂直纸面向外.区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可
将质量为、电荷量为 的粒子由电场加速到.
改变发射器的位置，使带电粒子在范围内都沿着 轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ.已知某粒子从 点射入区域Ⅰ，并从 点射入区域Ⅱ.(不计粒子的重力和粒子之间的影响)
(1) 求加速电场两板间的电压和区域Ⅰ的半径 .
[答案] ;
[解析] 根据动能定理得
解得
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，根据题意某粒子
从 点射入区域Ⅰ，并从 点射入区域Ⅱ，故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径 相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得
(2) 在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该
粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间 .
[答案]
[解析] 带电粒子在范围内都沿着 轴正方向以相同的速度 沿纸面射入区域Ⅰ，由(1)可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，轨迹半径为 ，因为在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，所以粒子射入点、区域Ⅰ圆心 、粒子出射点、轨迹圆心四点构成一个菱形，
由几何关系可得，区域Ⅰ圆心 和粒子出射点
连线平行于粒子射入点与轨迹圆心 连线，
则区域Ⅰ圆心和粒子出射点连线水平，
根据磁聚焦原理可知粒子都从 点射出，
粒子射入区域Ⅱ，仍做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得
如图甲所示，要使粒子在区域Ⅱ中运动的
时间最短，轨迹所对应的圆心角最小，
可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短，
即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径 ，
根据几何知识可得此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动的轨迹所对应的圆心角都为 ，粒子在两区域磁场中运动周期分别为
故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的
总时间为
(3) 在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里，电场强度的大小，方向沿 轴正方向.此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与轴负方向成 角.当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在
的位置到 轴的距离 .
[答案] 2.;
[解析] 如图乙所示，将速度分解为沿 轴正方向的速度及速度，因为 ，可得，故可知沿轴正方向的速度 产生的洛伦兹力与电场力平衡，粒子同时受到另一方向的洛伦兹力，故粒子沿 轴正方向做旋进运动，根据几何关系可知
故当 方向为竖直向上时粒子速度最大，
最大速度为
根据几何关系可知此时所在的位置到 轴的距离为
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