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1.2　集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　子集
知识归纳
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示: (或B A).读作“A B”(或“B包含A”).
任意一个
A B
包含于
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即 .
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么 .
A A
A C
·疑难解惑·
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二　集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则 .
任何一个
任何一个
A=B
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
·疑难解惑·
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三　真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集.
x A
A B
真包含于
3.Venn图表示:
·温馨提示·
知识点四　空集
1.定义:一般地,我们把 的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的真子集.
不含任何元素
子集

·疑难解惑·
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是(　　)
A
2.下列四组集合中集合相等的是(　　)
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
B
【解析】 对于A选项,M≠N;对于B选项,M=N;对于C选项,M为点集,N为数集,则M≠N;对于D选项,M为数集,N为点集,则M≠N.故选B.
3.下列四个集合中是空集的是(　　)
B
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
4.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
A
【解析】 因为N M,所以N的所有可能情况为{1,2},{1,3},{2,3},所以a+b不可能等于2.故选A.
关键能力·素养培优
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本
色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
题型一　子集与真子集的概念
(2)写出所有由一个元素构成的子集:{R},{B},{G};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:{R,B},{R,G},{B,G};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:{R,B,G}.
·解题策略·
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
题型二　集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
【解】 (1)A={1,3,5,7, …},B={3,5,7, …},故B A.
(2)A={x|0【解】 (2)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
【解】 (3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
【解】 (4)正三角形即为等边三角形,是三条边都相等的三角形,等腰三角形是有两条边相等的三角形,故A B.
·解题策略·
判断集合间关系的常用方法
B
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
题型三　由集合间的关系求参数范围
·解题策略·
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
培优拓展　子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
【解】
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为(　　)
[A]4 [B]16 [C]38 [D]60
B
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第2课时　补　集
1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定的集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Venn图或数轴表达集合的关系和运算,提升直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　全集
知识归纳
1.定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集.
2.记法:全集通常记作 .
所有元素
U
·温馨提示·
“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.
知识点二　补集
1.定义:对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.
2.符号表示: ={x|x∈U,且x A}.
3.图形表示:
不属于集合A
UA
·疑难解惑·
(1)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A相对于全集U的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.
(2) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且 UA U;③ UA是U中不属于A的所有元素构成的集合.
知识点三　补集的运算性质
性质 说明
( UA)∪A=U 任何集合与其补集的并集为全集
( UA)∩A= 任何集合与其补集的交集为空集
U( UA)=A 任何集合补集的补集为集合本身
UU= , U =U 全集的补集为空集,
空集的补集为全集
·温馨提示·
用实数集R和有理数集Q及补集符号 表示无理数集为 RQ.
基础自测
1.已知全集U={x∈N|x≤6},集合A={1,3,4},则 UA=(　　)
[A]{2,3,6} [B]{0,5,6}
[C]{0,2,5,6} [D]{2,5,6}
C
【解析】 U={x∈N |x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},则 UA={0,2,5,6}.故选C.
2.(人教A版必修第一册P13练习T2改编)已知集合A={x|x是菱形或矩形},
B={x|x是矩形},则 AB等于(　　)
[A]{x|x是菱形}
[B]{x|x是内角都不是直角的菱形}
[C]{x|x是正方形}
[D]{x|x是邻边都不相等的矩形}
B
【解析】 根据菱形与矩形的定义, AB={x|x是内角都不是直角的菱形}.
故选B.
3.设全集U={1,2,3,5,7},集合A={1,a-2,7}, UA={3,5},则a的值是(　　)
[A]4 [B]5 [C]7 [D]9
A
【解析】 由U={1,2,3,5,7}以及 UA={3,5}可得A={1,2,7},
即A={1,2,7}={1,a-2,7},所以a-2=2,解得a=4.故选A.
4.已知全集U={x|-1[A]0∈A [B]1 A
[C]2∈A [D]3 A
B
【解析】 由U={x|-1则0 A,1 A,2 A,3∈A,故B项正确,A,C,D项均错误.故选B.
关键能力·素养培优
[例1] 若集合A={x|-1≤x<1},当U={x|x≤2}时, UA=　　　　　　　　　　;当U={x|-4≤x≤1}时, UA= .
题型一　补集的运算
{x|x<-1或1≤x≤2}
{x|-4≤x<-1或x=1}
【解析】 当U={x|x≤2}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 UA={x|x<-1或1≤x≤2}.
当U={x|-4≤x≤1}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 UA={x|-4≤x<-1或x=1}.
·解题策略·
求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观求解.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点值是否能取到.
[变式训练] 已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B=　　 　　.
{2,3,5,7}
【解析】 法一(定义法)　因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法)　满足题意的Venn图如图所示,由图可知B={2,3,5,7}.
题型二　集合交、并、补的综合运算
[例2] (北师大版必修第一册P10例8)设全集U=R,A={x|x<5},B={x|x>3},求:
(1) R(A∩B);
【解】 (1)在数轴上表示出集合A,B,如图(1),
则A∩B={x|x<5}∩{x|x>3}={x|3所以 R(A∩B)={x|x≤3或x≥5}.
图(1)
(2) R(A∪B);
【解】 (2)由图(1)可知A∪B={x|x<5}∪{x|x>3}=R,所以 R(A∪B)= .
图(1)
(3)( RA)∩( RB);
【解】 (3)在数轴上表示出集合 RA, RB,如图(2),
即 RA={x|x≥5}, RB={x|x≤3},所以( RA)∩( RB)={x|x≥5}∩{x|x≤3}= .
图(2)
(4)( RA)∪( RB).
【解】 (4)由图(2)可知( RA)∪( RB)={x|x≥5}∪{x|x≤3}={x|x≤3或x≥5}.
图(2)
·解题策略·
集合交、并、补的综合运算的方法
[变式训练] 已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,
( UA)∩( UB),A∩( UB),( UA)∪B.
【解】 法一(直接法)　由已知易求得A∩B={4},
A∪B={3,4,5,7,8}, UA={1,2,6,7,8}, UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二(Venn图法)　画出Venn图,如图所示,
可得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},
( UA)∩( UB)={1,2,6},A∩( UB)={3,5},
( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
[例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2题型三　由补集求解参数
【解】 法一(直接法)　由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},得 UA={x|x<-m}.
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2.所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
法二(集合间的关系)　由( UA)∩B= ,可知B A,
又B={x|-2结合数轴得-m≤-2,即m≥2.所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
[典例迁移1] 已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若 U( UB)={0,1},求实数a的值;
(2)若 UA={3,4},求实数a的值.
[典例迁移2] 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
【解】 (2)假设A∩B=A,则A B,结合数轴得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.
·解题策略·
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集的有关运算求参数问题, 可以先求出补集,然后结合交集、并集的运算求解,也可以结合补集的意义转化为元素与集合的关系或集合的包含关系,连续数集一般利用数轴求解.
(2)求解数学问题时,若从问题的正面不易求解,可考虑问题的反面,也就是
“正难则反”的策略.这种策略运用的是补集思想,其一般思路是:设全集为U,求其子集A,若直接求A较为困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.
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1.3　集合的基本运算
第1课时　并集和交集
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,提升数学运算的核心素养.2.能使用Venn图或数轴表达集合的并集与交集的运算,提升直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　并集
知识归纳
1.定义:一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.
2.符号表示: ={x|x∈A,或x∈B}.
3.图形表示:
属于集合A或属于集合B
A∪B
·疑难解惑·
(1)A∪B仍是一个集合.
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A同时x B;②x∈A同时x∈B;③x A同时x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解要同时注意集合元素的互异性.
知识点二　交集
1.定义:一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的交集.
2.符号表示: ={x|x∈A,且x∈B}.
3.图形表示:
属于集合A且属于集合B
A∩B
·疑难解惑·
(1)A∩B仍是一个集合.
(2)定义中“所有”的解释:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B= .
知识点三　并集、交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
A∪A= A∩A=
A∪ = A∩ =
A B A∪B=B A B A∩B=A
A
A
A

基础自测
1.(人教A版必修第一册P12练习T1改编)若集合M={0,2,4},N={-1,0,2,3},则M∪N=(　　)
[A]{0,2} [B]{-1,2,3}
[C]{-1,0,2,4} [D]{-1,0,2,3,4}
D
【解析】 M∪N={-1,0,2,3,4}.故选D.
2.已知集合A={x|-2≤x<0},B={-2,-1,0,1},则A∩B等于(　　)
[A]{-2,-1,0,1} [B]{-1,0,1}
[C]{-2,-1} [D]{-2,-1,0}
C
【解析】 B中元素满足-2≤x<0的只有-2,-1,所以A∩B={-2,-1}.故选C.
3.已知集合A={x|-2[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【解析】 由题意可得2a-1=3,且2a+6≥5,解得a=2.故选B.
B
4.已知集合A={a,a2},B={1,4},若1∈A,则 A∪B中所有元素之和为(　　)
[A]2 [B]3
[C]4 [D]5
C
【解析】 由1∈A得a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.
若a=1,则a2=1,不符合题意;
若a=-1,则A={-1,1},则A∪B={-1,1,4},
所以A∪B中所有元素之和为4.故选C.
关键能力·素养培优
[例1] 已知集合A={x|1≤x-1<3},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(　　)
[A]{x|2≤x≤3} [B]{x|3≤x<4}
[C]{x|x≥2} [D]{x|x>4}
题型一　并集的运算
C
【解析】 由题意,A={x|2≤x<4},B={x|x≥3},由数轴可得A∪B={x|x≥2}.故选C.
·解题策略·
求集合的并集的方法
(1)若集合中元素个数有限,求并集时多根据并集的定义求解.
(2)若集合是无限连续的数集,可利用数轴分析法求解,注意端点应为实心点还是空心点.
(3)求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合.
[变式训练] 已知集合M={-1,0,1},N={x∈R|x(x-2)=0},则M∪N=(　　)
[A]{0} [B]{-1,1}
[C]{0,1,2} [D]{-1,0,1,2}
D
【解析】 N={x∈R|x(x-2)=0}={0,2},又 M={-1,0,1},故M∪N={-1,0,1,2}.
故选D.
题型二　交集的运算
[例2] (北师大版必修第一册P8例5)求下列每一组中两个集合的交集:
(1)A={x|x是不大于10的正奇数},B={x|x是12的正因数};
【解】 (1)因为A={x|x是不大于10的正奇数}={1,3,5,7,9},
B={x|x是12的正因数}={1,2,3,4,6,12},
所以A∩B={1,3,5,7,9}∩{1,2,3,4,6,12}={1,3}.
(2)C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}.
【解】 (2)依题意知C∩D={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}.
[典例迁移1] 若集合A={x|-5[A]{x|-3[B]{x|-5[C]{x|-3[D]{x|-5【解析】 在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分,即A∩B={x|-3A
[典例迁移2] 已知集合A={(x,y)|x2+y2=2},B={(x,y)|x+y=2},则A∩B=(　　)
[A]{1,1} [B]{(1,1)}
[C]{x=1,y=1} [D]
B
·解题策略·
(1)集合交集的运算类似于并集的运算,其方法为定义法和数形结合法.
(2)求一元一次不等式组的解集,相当于求集合的交集,熟练之后可以不利用数轴,直接使用记忆口诀“同大取大,同小取小”.
(3)二元一次不等式组的解集中的元素为有序实数对.
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|3m-5≤x≤2m+7},C={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∩B=A,求实数m的取值范围;
题型三　由集合的交、并运算求参数
(2)若A∪C=A,求实数m的取值范围;
【解】 (2)若A∪C=A,则C A,当C= 时,有m+1>2m-1,解得m<2,符合题意;
当C≠ 时,有-2≤m+1≤2m-1≤5,解得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为{m|m≤3}.
(3)若A∩C= ,求实数m的取值范围.
【解】 (3)当m+1>2m-1,即m<2时,C= ,符合题意;当C≠ 时,有54.综上,实数m的取值范围为{m|m<2或m>4}.
·解题策略·
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,让有关参数在数轴上运动起来.有三个注意点:一是注意把集合的运算转化为包含关系,二是注意讨论空集,三是注意参数端点值的取舍(等号问题单独看).
(2)首先将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组),然后解方程(组)或不等式(组),从而确定参数的值或取值范围.
[变式训练] 已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a(1)若A∪B=R,求实数a的取值范围;
【解】 (1)利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1,即实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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1.4.2　充要条件
1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 　充要条件
知识归纳
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为充要条件.
p q
q p
p q
充分必要条件
知识点二　条件关系判定的常用结论
·疑难解惑·
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
A
【解析】 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
2.“10”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
B
【解析】 因为当“10”,当“x>0”时不一定满足“14”,所以“10”的充分不必要条件.故选B.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
C
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是(　　)
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
B
关键能力·素养培优
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”
“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的　　　　　 　　;
题型一　四种条件关系的判断与探求
充分不必要条件
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　 　　　　　;
【解析】(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”.
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的
　　　　 　　;
必要不充分条件
充要条件
【解析】 (3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　 　　　　　　.
既不充分也不必要条件
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有(　　)
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
D
【解析】 对于A,因为{x|0对于B,因为{x|-1对于C,设A={x|1所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D.
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要
条件.
·解题策略·
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
·解题策略·
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二　充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.[提示:a3+b3=
(a+b)·(a2-ab+b2)]
必要性(q p):因为a+b=1,所以b=1-a,
所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
·解题策略·
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;
二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
题型三　条件关系的应用
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
·解题策略·
应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.
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1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　全称量词命题的否定
知识归纳
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) 全称量词命题的
否定是 命题
x∈M,﹁p(x)
存在量词
知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) 存在量词命题的
否定是 命题
x∈M,﹁p(x)
全称量词
·知识辨析·
常见正面词语的否定举例:
正面词语 等于(=) 大于(>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于(≠) 不大于 (≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多
有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有
n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是(　　)
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
B
【解析】 由题意知,“ x>2,x2+1≤0”的否定为“ x>2,x2+1>0”.故选B.
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　)
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
C
【解析】 p的否定为“ x∈Z,x2<6x+5”.故选C.
3.命题“小数都是无理数”的否定为(　　)
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
C
【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C.
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是
(　　)
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
D
【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D.
关键能力·素养培优
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
题型一　全称量词命题的否定
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
【解】 (2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
【解】 (3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
·解题策略·
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
·解题策略·
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)每个三角形至少有两个锐角;
【解】 (2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
【解】 (3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题.
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
【解】 (4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
题型二　存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+4≠0.原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)一元二次方程不总有实数根;
【解】 (2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题.
·解题策略·
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
【解】 (1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”.
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
【解】 (2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数”.
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
【解】 (3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1>0”.
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
题型三　由含量词命题的否定求参数
【解】 (1)法一　由题意得,p的否定: x∈{x|4≤x≤9},x≥a+4,为真命题,
则9≥a+4,即a≤5,
故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
法二　当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时,
实数a的取值范围为{a|a≤5}.
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5.
法一　当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}.
法二　当p和q至少有一个是真命题时,
实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},即{a|a>-4}.
·解题策略·
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,得{x|0由命题q是假命题,得q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,
且m≠0,所以m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
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第2课时　集合的表示
1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　列举法
知识归纳
把集合的所有元素 出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
一一列举
·疑难解惑·
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ,这种表示集合的方法称为描述法.
{x∈A|P(x)}
·疑难解惑·
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
·疑难解惑·
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<
-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
·疑难解惑·
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
C
【解析】 解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,解集为{1,2}.故选C.
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
C
【解析】 因为集合M={1,5,9,13,17},根据集合中5个元素的特点知x=1+4n,
n∈N,n≤4,所以{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}.故选C.
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
A
【解析】 由元素的互异性可知|a|≠-a,所以a>0.故选A.
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
3
【解析】 集合M中有3个元素,分别是(2,-2),2,-2,注意(2,-2)是一个元素.
关键能力·素养培优
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
题型一　用列举法表示集合
【解】 (1)A={-5,-4,-3,-2,-1}.
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
【解】 (2)因为方程x2+x=0的解为x=-1或x=0,所以B={-1,0}.
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
【解】 (4)正奇数有1,3,5,7,…,所以D={1,3,5,7,…}.
·解题策略·
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
【解】 (1){红色,黄色}.
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
【解】 (2){-3,-2,-1,0,1,2}.
(3)15的正约数组成的集合;
【解】 (3){1,3,5,15}.
【解】 (4){(1,2)}.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
【解】 (1){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
【解】 (2){(x,y)|y=2x2+1,x∈R}.
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
【解】 (3){y|y≥1,y∈R}.
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
【解】 (4){(x,y)|x<0且y>0,x∈R,y∈R}.
·解题策略·
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
(2)不等式2x-3>5的解集.
【解】 (2)由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x∈R|x>4}.
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
题型三　由集合元素个数求参数
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
·解题策略·
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.
【解】 因为集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,
当k=0时,A={x|-8x+16=0}={2},符合题意;
当k≠0时,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,k的取值范围为{k|k≥1或k=0}.
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1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,提升数学抽象的核心素养.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法,提升逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　全称量词与全称量词命题
知识归纳
全称 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称 量词 命题 定义 含有 量词的命题,叫做全称量词命题
一般形式 对M中 x,p(x)成立
符号表示 ,p(x)
所有的
任意一个

全称
任意一个
x∈M
知识点二　存在量词与存在量词命题
存在 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量 词命题 定义 含有 量词的命题,叫做存在量词命题
一般形式 M中的元素x,p(x)成立
符号表示 ,p(x)
存在一个
至少有一个

存在
存在
x∈M
·疑难解惑·
从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的.存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.
基础自测
1.下列命题中的存在量词命题是(　　)
[A]所有能被3整除的整数都是奇数
[B]每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
[C]有的三角形是等边三角形
[D]任意两个等边三角形都相似
C
【解析】 对于A,含有量词“所有”,为全称量词命题,故A错误;对于B,含有量词“每一个”,为全称量词命题,故B错误;对于C,含有量词“有的”,为存在量词命题,故C正确;对于D,含有量词“任意”,为全称量词命题,故D错误.故选C.
2.(人教A版必修第一册P28练习T1改编)下列命题为全称量词命题的是
(　　)
[A]有一个偶数是素数
[B]有的有理数的立方是无理数
[C]存在一个三角形,它的三个角都是锐角
[D]任意三角形的内角和都是180°
D
【解析】 对于选项A,为存在量词命题;对于选项B,为存在量词命题;对于选项C,为存在量词命题;对于选项D,为全称量词命题.故选D.
3.下列命题与“ x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是(　　)
[A]有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立
[B]有些实数x,使得x2+1≥1成立
[C]不存在实数x,使得x2+1<1成立
[D]有无数个实数x,使得x2+1≥1成立
C
【解析】 与“ x∈R,x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数x,使得x2+1<1成立”.故选C.
4.将“存在一个实数x,使2x2-1≥0”用“ ”或“ ”符号简记为　　　　　　　.
x∈R,2x2-1≥0
【解析】 含有存在量词,选择符号“ ”,简记为 x∈R,2x2-1≥0.
关键能力·素养培优
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有些实数是无理数;
题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断
【解】 (1)含有存在量词“有些”,所以命题(1)是存在量词命题.
(2)每一个正方形都是平行四边形;
【解】 (2)含有全称量词“每一个”,所以命题(2)是全称量词命题.
(3) x∈R,x2+4x+4≤0;
【解】 (3)含有存在量词“ ”,所以命题(3)是存在量词命题.
(4) x∈N,2x是偶数;
【解】 (4)含有全称量词“ ”,所以命题(4)是全称量词命题.
(5)方程2x+1=0有整数解.
【解】 (5)省略存在量词,可以改写为“ x∈Z,2x+1=0”,所以命题(5)是存在量词命题.
·解题策略·
(1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.
(2)要注意有些全称量词命题与存在量词命题中的量词是省略的,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
[变式训练] 指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)任意实数x都能使|x|+1>0成立;
【解】 (1)“任意”是全称量词; x∈R,|x|+1>0.
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
【解】 (2)“所有”是全称量词; a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立;
【解】 (3)“存在”是存在量词; x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)至少有一个实数m,使得m与m的倒数之和等于1.
题型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[例2] (湘教版必修第一册P20~21例7和例8)判断下列命题的真假:
(1) x∈R,x2+2>0;
【解】 (1)因为 x∈R,x2≥0,从而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.因此(1)是真命题.
(2) x∈N,x4≥1;
【解】 (2)因为0∈N,且当x=0时,x4≥1不成立,因此(2)是假命题.
(4) a≥3,a2=3a-2;
【解】 (3)因为1∈Z且12=3×1-2,因此(3)是真命题.
(4) a≥3,a2=3a-2;
【解】 (4)因为a2=3a-2只有两个实数根a=1或a=2,所以当a≥3时a2≠3a-2.因此(4)是假命题.
(5)设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点,在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC.
【解】 (5)以A,B,C为顶点构成一个三角形,三角形总有外接圆,设P是△ABC的外心,则PA=PB=PC.因此(5)是真命题.
·解题策略·
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需找出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个
反例”).
(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
[变式训练] (多选)下列命题为真命题的是( 　　)
[A] x∈Q,|x| Z
[B] x∈Z,使x同时被3和4整除
[C] x∈R,|x+1|>1
[D] x∈N,2x2-3x+1=0
BD
【解析】 对于A,当x=1时,|x|=1∈Z,故A错误;
对于B,当x=12时,x可同时被3和4整除,B正确;
对于C,当x=0时,|x+1|=1,故C错误;
对于D,当x=1时,2x2-3x+1=0,故D正确.故选BD.
[例3] (1)已知命题p: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若p为真命题,求实数a的取值
范围;
题型三　由含量词命题的真假求参数
【解】 (1)法一　命题p为真命题,转化为当x∈{x|1≤x≤4}时,x≥a恒成立,
因此x min≥a,即a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}.
法二　命题p为真命题,转化为{x|1≤x≤4} {x|x≥a},所以a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)已知命题q: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若q为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (2)法一　命题q为真命题,转化为x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解,
因此xmax≥a,即a≤4.
故实数a的取值范围为{a|a≤4}.
法二　命题q为真命题,转化为{x|1≤x≤4}∩{x|x≥a}≠ ,所以a≤4.
故实数a的取值范围为{a|a≤4}.
·解题策略·
求解含量词命题中的参数取值范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或aymin(或a·解题策略·
(3)有些命题的真假问题转化为集合间的关系后求解更加简单.
(4)与二次函数有关的问题可以结合图象,利用判别式求解.
[变式训练] 已知关于x的方程ax2-(a2+2a-1)x-a-2=0.
(1)若命题“ a∈R,使方程只有一个实数根”为真命题,求a的值;
(2)若命题“ a∈M,方程至少有一个大于1的根”为真命题,求集合M.
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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第1课时　集合的概念
1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　元素与集合的概念
知识归纳
1.元素:一般地,我们把 统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些 组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是 的.
研究对象
元素
一样
·疑难解惑·
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 .
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 .
a∈A
a A
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 有理 数集
符号 N 或N+ Z Q R
整数集
实数集
N*
·温馨提示·
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
C
【解析】 “接近于0的数”是不确定的元素,故不能组成集合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
B
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【解析】 R表示实数集,①正确;Z表示整数集,②正确;N*表示正整数集,③错误;Q表示有理数集,④错误.故选B.
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有　　　　个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有　　　　个.
5
【解析】 “maths”中5个字母互不相同,共有5个元素m,a,t,h,s;“element”中的字母“e”重复出现3次,只能算1个元素,所以共有5个元素e,l,m,n,t.
5
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a=　 .
±2
【解析】 由题意得a2=4,a=±2.
关键能力·素养培优
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　 　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
题型一　集合的基本概念
BCD
【解析】 对于A,“美丽的”标准不明确,不符合确定性,无法构成集合,A错误;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性,可以构成集合,B正
确;对于C,不小于3的自然数具有确定性,可以构成集合,C正确;对于D,我省2025年参加高考的学生具有确定性,可以构成集合,D正确.故选BCD.
·解题策略·
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　 　)
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的集合
AD
【解析】 由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以集合P与Q相等,而B,C中P,Q的元素不相同,所以集合P与Q不相等.故选AD.
题型二　元素与集合的关系
ACD
·解题策略·
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:


∈

∈

(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a　　　Q.
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
题型三　由集合中元素的特征求参数
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【解】(2)不能.理由如下:若-5∈A,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,
不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-2-3=-5,不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
·解题策略·
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.
【解】 (1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由(1)(2)可知都不符合题意.
综上,x=-1.
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1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　充分条件与必要条件
知识归纳
项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件
q不是p的 条件

充分
必要
充分
必要
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个
充分条件
必要条件
·疑难解惑·
(1)p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)若p q,则p是q的充分条件,或q是p的必要条件,或q的充分条件是p,或p的必要条件是q.
(3)充分、必要条件不唯一.
基础自测
1.下列式子中,不是x≤2的充分条件的是(　　)
[A]x<1 [B]x<3
[C]-1B
2.使x>1成立的一个必要条件是(　　)
[A]x>0 [B]x>3
[C]x>2 [D]x<2
A
【解析】 只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出.故选A.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A B,则“x∈B”是“x∈A”的
　　　　(填“充分”或“必要”)条件.
必要
【解析】 因为A B,所以由x∈B不能推出x∈A,充分性不成立.
反之,若x∈A,则x∈B.
故“x∈B”是“x∈A”的必要条件.
4.若“x=2”是“x{a|a>2}
【解析】 若“x=2”是“x2.
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版必修第一册P31例1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些
(1)p:x=2,q:x2-x-2=0;
题型一　充分条件的判断
【解】 (1)因为p q,所以p是q的充分条件.
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
【解】 (3)因为p q,所以p是q的充分条件.
(4)p:四边形是平行四边形;q:四边形的对角线互相平分.
【解】 (4)因为p q,所以p是q的充分条件.
·解题策略·
p是q的充分条件的判断方法
(1)确定谁是条件,谁是结论:p是q的充分条件中,p是条件,q是结论.
(2)尝试从条件p推出结论q:若条件p能推出结论q,则p是q的充分条件,否则p就不是q的充分条件.
[变式训练] 指出下列命题中,p是不是q的充分条件.
(1)p:x为自然数,q:x为整数;
【解】 (1)若x为自然数,则x一定为整数,即p q,故p是q的充分条件.
(3)p:a2+b2=0,q:a+b=0.
【解】 (3)a2+b2=0 a=b=0 a+b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
题型二　必要条件的判断
[例2] (苏教版必修第一册P31例2)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些
(1)p:|x|=1,q:x=1;
【解】 (1)因为q p,所以p是q的必要条件.
(2)p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
【解】 (3)因为q p,所以p是q的必要条件.
(4)p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分.
【解】 (4)因为q p,所以p是q的必要条件.
·解题策略·
p是q的必要条件的判断方法
(1)把p是q的必要条件转化为q是p的充分条件,这里q是条件,p是结论.
(2)若q是p的充分条件,则p是q的必要条件,若q不是p的充分条件,则p不是q的必要条件.
[变式训练] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是不是q的充分条件 p是不是q的必要条件
(1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB;
【解】 (1)因为p q,且q p,所以p是q的充分条件,p也是q的必要条件.
(2)已知x∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0;
(3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2;
(4)p:△ABC是等腰三角形,q:△ABC是直角三角形.
[例3] 已知集合A={x|2a≤x≤a+1},B={x||x-1|≤2},若“x∈A”是“x∈B”成立的充分条件,求实数a的取值范围.
题型三　由充分(必要)条件求参数
·解题策略·
此类题一般转化为集合的关系求解,设满足条件p, q的元素分别对应集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
(1)若p是q的充分条件,则A B.
(2)若p是q的必要条件,则B A.
[变式训练] 已知p:a-4{a|-1≤a≤5}
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