资源简介

(共23张PPT)
第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
·解题策略·
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
·解题策略·
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
π
题型二　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
·解题策略·
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
·解题策略·
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
题型三　匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
·解题策略·
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为(　　)
C
感谢观看(共24张PPT)
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
　第 1课时　两角差的余弦公式
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　两角差的余弦公式
cos(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α-β).
cos αcos β+sin αsin β
·疑难解惑·
(1)该公式对任意角都能成立.
(2)公式的结构:左端为两角差的余弦,右端为这两角的同名三角函数值积的和.
(3)公式的逆用仍然成立,即cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).
1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°等于(　　)
基础自测
B
C
3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为(　　)
[A]0 [B]1
[C]±1 [D]-1
B
【解析】 因为sin αsin β=1,sin α∈[-1,1],sin β∈[-1,1],只能sin α,sin β同时取1,或同时取-1,所以cos α=cos β=0,得cos αcos β=0,所以cos(α-β)=cos αcos β+
sin αsin β=0+1=1.故选B.
4.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β=　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　给角求值
[例1] 求下列各式的值:
·解题策略·
(1)求非特殊角的三角函数值时,通常把非特殊角转化为两个特殊角的和或差,然后利用公式求解.
(2)不符合两角差结构的三角式可以通过诱导公式变为符合公式结构的形式达到化简求值的目的.
(3)有些含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用公式求解,含有特殊角的三角式也可以考虑直接展开化简.
[变式训练] 求下列各式的值:
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°.
题型二　给值求值
·解题策略·
(1)直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值,注意利用角的范围确定三角函数值的符号.
(2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
题型三　给值求角
·解题策略·
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值时,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
感谢观看(共27张PPT)
第 2课时　诱导公式五、六
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　诱导公式五
y=x
cos α
sin α
知识点二　诱导公式六
cos α
-sin α
·轻松记忆·
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
『知识拓展』
基础自测
C
A
A
关键能力·素养培优
题型一　化简
·解题策略·
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
题型二　求值
B
0
·解题策略·
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
·解题策略·
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
题型三　诱导公式的综合应用
(1)化简f(α);
·解题策略·
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
感谢观看(共24张PPT)
第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　两角和的余弦公式
cos(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
知识点二　两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
·疑难解惑·
(1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开式可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开式可简记为“正余余正,符号相同”.
(2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序.
(3)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立.
1.sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°等于(　　)
基础自测
D
B
3.若sin(α+β)-2cos αsin β=cos(α-β),则下列结论一定正确的是(　　)
[A]tan(α-β)=1
[B]tan(α+β)=1
[C]tan(α-β)=-1
[D]tan(α+β)=-1
A
【解析】 由已知得,sin αcos β+cos αsin β-2cos αsin β=cos(α-β),即sin(α-β)=
cos(α-β),所以tan(α-β)=1.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　给角求值
C
·解题策略·
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
(3)一般地,选择正弦 、余弦的这四个公式之一都可以解答,但是根据题意应尽量选择使得角的变化最少的公式.
[变式训练] cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为(　　)
B
题型二　给值求值
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值.
·解题策略·
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是:①当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角;②当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差的形式,也可能继续考虑使用诱导公式.
(2)在此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
题型三　给值求角
·解题策略·
解决给值求角问题的方法
感谢观看(共40张PPT)
5.4.3　正切函数的性质与图象
1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　正切函数的图象与性质
正切函数 y=tan x
图象
R
π
奇函数
·疑难解惑·
·疑难解惑·
[A]最小正周期为4π的奇函数
[B]最小正周期为2π的奇函数
[C]最小正周期为4π的偶函数
[D]最小正周期为2π的偶函数
基础自测
B
C
3.(人教A版必修第一册P213练习T5改编)tan 138° 与tan 143°的大小顺序为
　　　　　　　　　　.(用“<”连接)
tan 138°关键能力·素养培优
题型一　正切函数的定义域、周期性与奇偶性
·解题策略·
A
D
题型二　正切函数的图象与对称性
D
·解题策略·
(2)正切函数图象的对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点,还有“渐近线”与x轴的交点,正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决有关图象问题的关键.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=4tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(　 　)
ACD
C
题型三　正切函数的单调性与应用
[例3] (北师大版必修第二册P63例5)比较下列各组中三角函数值的大小:
D
C
·解题策略·
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法:①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;②运用单调性比较大小.
题型四　正切函数图象与性质的综合应用
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
·解题策略·
解答正切函数图象与性质问题的注意点
CD
感谢观看(共29张PPT)
第3课时　两角和与差的正切公式
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　正切公式
知识归纳
·温馨提示·
(2)公式的符号变化简记为“分子同,分母反”.
『知识拓展』
1.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
2.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β);
基础自测
1.已知tan α=3,tan β=4,则tan(α-β)等于(　　)
B
B
A
1
关键能力·素养培优
[例1] (人教B版必修第三册P99例5)求下列各式的值.
(1)tan 75°;
题型一　给角求值
·解题策略·
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
·解题策略·
[变式训练] 求下列各式的值:
题型二　给值求值(角)
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
·解题策略·
(1)关于求值问题,应该先利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,应该先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
(2)tan(α+β).
[例3] (苏教版必修第二册P64例1)已知tan α,tan β 是方程x2+5x-6=0的两根,求tan(α+β)的值.
题型三　两角和与差的正切公式的综合应用
·解题策略·
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件.
BCD
感谢观看(共25张PPT)
第2课时　简单的
三角恒等变换(二)
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　辅助角公式
知识归纳
sin(x+φ)
·温馨提示·
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为(　　)
基础自测
A
B
B
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为　　　　.
25
【解析】 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=
25sin 2θ,所以当sin 2θ=1时,S取得最大值25.
关键能力·素养培优
题型一　辅助角公式的应用
·解题策略·
·解题策略·
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,
ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为(　　)
题型二　三角函数在平面几何中的应用
D
·解题策略·
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
感谢观看(共46张PPT)
第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　任意角
知识归纳
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图,
①始边:射线的 位置OA;②终边:射线的 位置OB;③顶点:射线的端点O.
记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”或“α”.
射线
旋转
图形
起始
终止
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做 旋转形成的角
逆时针
顺时针
没有
任何
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 .
4.角的加法
设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是 .
5.相反角及角的减法
把射线OA绕端点O按 方向旋转 的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为 ,α-β=α+ .
α=β
α+β
不同
相同
-α
(-β)
知识点二　象限角与终边相同的角
1.象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的 在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在 上,就认为这个角不属于任何一个象限.
终边
坐标轴
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=
},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与
的和.
α+k·360°,k∈Z
整数个周角
·疑难解惑·
(1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
『知识拓展』
角的终边位置 角的集合
终边落在x轴 非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴 非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
终边落在 x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在 y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
终边落在 坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
第一象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
基础自测
1.将-880°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　)
[A]160°+(-3)×360°
[B]200°+(-2)×360°
[C]160°+(-2)×360°
[D]200°+(-3)×360°
【解析】 -880°=200°+(-3)×360°.故选D.
D
2.(人教A版必修第一册P171练习T3改编)下列各角是第二象限角的是(　　)
[A]-120° [B]180° [C]-240° [D]400°
C
【解析】 因为-120°=-360°+240°,所以-120°是第三象限角;180°角的终边在x轴非正半轴上,不属于任何一个象限;因为-240°=-360°+120°,所以-240°是第二象限角;因为400°=360°+40°,所以400°是第一象限角.故选C.
3.下列各角中与985°终边相同的角为(　　)
[A]165° [B]265° [C]85° [D]-105°
B
【解析】 与985°终边相同的角为985°+k·360°(k∈Z),则当k=-2时,985°-360°×2=265°.故选B.
4.若角α=30°,把角α逆时针旋转20°得到角β,则α-β=　　　　.
【解析】 因为角β是由角α逆时针旋转20°所得,所以β=α+20°=30°+20°=50°,所以α-β=30°-50°=-20°.
-20°
关键能力·素养培优
[例1] 写出下列说法所表示的角:
(1)顺时针拧螺丝2圈;
题型一　任意角的概念
【解】 (1)顺时针拧螺丝2圈,即旋转了2×360°=720°,顺时针旋转得到的角为负角,故转过的角是-720°.
(2)将时钟拨慢2 h 30 min,分针转过的角.
【解】 (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,分针拨慢2 h 30 min,是2.5周角,角度数是2.5×360°=900°,又分针是逆时针旋转,所以转过的角是900°.
·解题策略·
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
[变式训练] 如图(1),∠AOC=　　　　;如图(2),∠AOC=　　　　.
【解析】 题图(1)中∠AOC为正角,所以∠AOC=110°;题图(2)中∠AOC为负角,所以∠AOC=-70°.
110°
-70°
[例2] (多选)下列叙述不正确的是(　 　)
[A]三角形的内角是第一象限角或第二象限角
[B]钝角是第二象限角
[C]第二象限角比第一象限角大
[D]小于180°的角是钝角、直角或锐角
题型二　象限角
ACD
【解析】 直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;零角和负角也小于180°,故D不正确.故选ACD.
·解题策略·
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,结论正确需要证明,而结论不正确只需举一个反例即可.
[变式训练] (多选)已知A={α|α是第一象限角},B={α|α是锐角},C={α|α是小于90°的角},那么A,B,C的关系是(　 　)
[A]B=A∩C [B]B∪C=C
[C]B∩A=B [D]A=B=C
【解析】 A∩C除了包括锐角,还包括其他角,比如-330°角,故A错误;锐角是大于0°且小于90°的角,故B正确;锐角是第一象限角,故C正确;A,B,C中角的范围不一样,故D错误.故选BC.
BC
[例3] (湘教版必修第一册P157例1)在0°～360°内找出与下列各角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
(1)-80°;
题型三　终边相同的角
【解】 (1)因为-80°=280°-360°,所以在0°～360°内,与-80°角终边相同的角是280°,它是第四象限角.
(2)1 600°;
【解】 (2)因为1 600°=160°+4×360°,所以在 0°～360°内,与1 600°角终边相同的角是160°,它是第二象限角.
(3)-819°36′.
【解】 (3)因为-819°36′=260°24′-3×360°,所以在 0°～360°内,与-819°36′角终边相同的角是260°24′,它是第三象限角.
·解题策略·
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
[变式训练] 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
【解】 因为10 030°=27×360°+310°,所以与10 030°终边相同的角为β=k·360°+310°,k∈Z.　
(1)当k=-1时,β=-360°+310°=-50°,即最大的负角为-50°.
(2)最小的正角;
【解】 (2)当k=0时,β=310°,即最小的正角为310°.
(3)360°～720°内的角.
【解】 (3)当k=1时,β=360°+310°=670°,即在 360°～720°内的角为670°.
[例4] 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
题型四　终边在已知直线上的角及区域角的表示
【解】 (1)法一　在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.
法二　根据角的定义,0°角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=k·180°,k∈Z}.
(2)法一　由题图易知,在0°～360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,
k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
法二　根据角的定义,135°角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
(3)根据角的定义,45°角顺时针或逆时针每次旋转90°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=45°+k·90°,k∈Z}.
[典例迁移1] 终边在第一或第三象限的角的集合是
　　　　　 　　　　　.
【解析】 法一　因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°+k·360°,
k∈Z},终边在第三象限的角的集合为{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z},故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
法二　集合{α|0°<α<90°}中的任意一个角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得第一或第三象限的角,所以终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
{α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}
[典例迁移2] 已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
【解】 题图(1)中角x组成的集合为{x|k·360°-135°≤x≤k·360°+135°,k∈Z}.
题图(2)中角x组成的集合为{x|k·360°+30°≤x≤k·360°+60°,k∈Z}∪
{x|k·360°+210°≤x≤k·360°+240°,k∈Z}={x|2k·180°+30°≤x≤2k·180°+60°或(2k+1)·180°+30°≤x≤(2k+1)·180°+60°,k∈Z}={x|n·180°+30°≤x≤n·180°+60°,
n∈Z}.
·解题策略·
(1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(2)表示区域角的三个步骤.
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
注意:实线包括边界,虚线不包括边界.
培优拓展　判定nα或 所在的象限
【解】 因为α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以2α的终边位于第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
·反思总结·
n倍角和n分角的终边位置的确定方法
(1)不等式分类讨论法.
①利用象限角的概念或已知条件,写出角α的取值范围.
感谢观看(共40张PPT)
5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
第 1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用
“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
知识归纳
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
左
右
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
·疑难解惑·
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的
(　　)
基础自测
B
D
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象(　　)
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
A
【解析】 因为y=sin[3(x+1)]=sin(3x+3),所以只要将函数y=sin 3x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=sin(3x+3)的图象.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　三角函数图象的平移变换
·解题策略·
D
D
[A]f(x)=sin 2x　　
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x　
[D]f(x)=-cos 2x
题型二　三角函数图象的伸缩变换
伸长
3
·解题策略·
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
C
题型三　函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
·解题策略·
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
·解题策略·
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
题型四　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
描点连线,画图如下.
·解题策略·
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
·解题策略·
·解题策略·
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
感谢观看(共33张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α= ;
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
1
tan α
·疑难解惑·
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
D
A
A
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　.
1
【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
关键能力·素养培优
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
·解题策略·
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
·解题策略·
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
·解题策略·
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
-2
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
·解题策略·
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
·解题策略·
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
感谢观看(共40张PPT)
5.1.2　弧度制
1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
度
2.弧度制
长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作 .
3.角的弧度数的求法
一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
半径长
圆心角
弧度
弧度
正数
负数
0
·疑难解惑·
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
2π
360°
π
180°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
60°
180°
2π
·疑难解惑·
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
α·R
lR
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
D
C
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
C
π
关键能力·素养培优
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
题型一　弧度制的概念
【解析】 (1)因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以选项A,B,C说法不正确,D正确.故选D.
D
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
D
·解题策略·
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
A
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
题型二　角度制与弧度制的相互转化
②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;
②11°15′.
·解题策略·
角度与弧度的互化技巧
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;
(2)-15°;
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
题型三　利用弧度表示角
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
·解题策略·
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
D
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
D
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
·解题策略·
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π2
AD
感谢观看(共16张PPT)
第3课时　诱导公式的综合应用
1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　利用诱导公式证明恒等式
·解题策略·
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
题型二　诱导公式在解三角形中的应用
·解题策略·
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
题型三　三角函数的综合应用
(1)求sin(α+π)的值;
·解题策略·
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
感谢观看(共34张PPT)
5.5.2　简单的三角恒等变换
第1课时　简单的三角恒等变换(一)
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、
证明.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　半角公式
知识归纳
·疑难解惑·
知识点二　积化和差
sin αcos β
cos αsin β
cos αcos β
sin αsin β
知识点三　和差化积
(1)sin θ+sin φ= ;
(2)sin θ-sin φ= ;
(3)cos θ+cos φ= ;
(4)cos θ-cos φ= .
·疑难解惑·
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,
cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是(　　)
基础自测
D
C
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是(　　)
C
关键能力·素养培优
题型一　利用半角公式求值
(2)角α在第一象限.
·解题策略·
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
·解题策略·
D
题型二　利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
·解题策略·
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:
cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
【解】 (2)原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin(90°-10°)=sin 30°cos 10°-
cos 30°sin 10°+sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°-cos 10°=2sin 30°cos 10°-
cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
题型三　三角函数式的化简
·解题策略·
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
题型四　三角函数式的证明
·解题策略·
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
·解题策略·
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
感谢观看(共30张PPT)
第2课时　单调性与最值
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
单调递增
单调递减
[-π+2kπ,2kπ]
[2kπ,π+2kπ]
2kπ
π+2kπ
·疑难解惑·
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
1.下列命题中正确的是(　　)
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
基础自测
D
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
C
C
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(2)sin 265°和cos 165°;
·解题策略·
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是(　　 )
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
AC
题型二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
C
·解题策略·
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来
求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
C
·解题策略·
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
感谢观看(共40张PPT)
5.4.2　正弦函数、
余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 ,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数.
叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
非零常数T
f(x+T)=f(x)
非零常数T
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
(2)余弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
最小的正数
周期函数
2π
周期函数
2π
·疑难解惑·
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 ,余弦函数是 .
奇函数
偶函数
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是
(　　)
基础自测
D
2.函数f(x)=sin xcos x是(　　)
[A]奇函数　 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数　 [D]无法确定
A
【解析】 f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)=sin xcos x是奇函数.故选A.
B
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为　　　　.
2
【解析】 因为f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期函数且2是它的一个周期.
关键能力·素养培优
题型一　正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(3)y=|cos x|,x∈R.
【解】 (3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
·解题策略·
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
题型二　正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
【解】 (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数.
·解题策略·
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
题型三　利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
·解题策略·
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
1
培优拓展　奇偶性、对称性和周期的关系
4
·反思总结·
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
·反思总结·
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　　)
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50
C
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x),即f(x)=-f(x-2),①
则f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,在①中,令x=x+2,得f(x+2)=-f(x)=f(x-2),
则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,即f(4)=f(0)=0,
则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+0+(-3)+0=0,
所以f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)+…+f(50)-f(1)=[f(1)+f(2)+…+f(48)]+
f(4×12+1)+f(4×12+2)-f(1)=12×0+f(1)+f(2)-f(1)=f(2)=0.故选C.
感谢观看(共31张PPT)
5.7 三角函数的
应用
1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
知识归纳
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
振幅
初相
·疑难解惑·
基础自测
D
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是(　　)
D
D
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
30
关键能力·素养培优
题型一　三角函数在物理中的应用
·解题策略·
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
题型二　三角函数在生活中的应用
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
·解题策略·
解三角函数应用问题的基本步骤
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
题型三　三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y
(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
·解题策略·
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
感谢观看(共29张PPT)
5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式二、三、四
1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于 对称,如图所示.
原点
2.公式:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= .
-sin α
-cos α
tan α
知识点二　诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
x
2.公式:sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= .
-sin α
cos α
-tan α
2.公式:sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,tan(π-α)= .
知识点三　诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
y
sin α
-cos α
-tan α
·温馨提示·
·轻松记忆·
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
B
D
C
1
关键能力·素养培优
题型一　给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
·解题策略·
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°=　　　　.
-1
题型二　给值(式)求值
·解题策略·
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
B
A
题型三　利用公式进行化简
·解题策略·
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
感谢观看(共34张PPT)
5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
纵坐标
横坐标
tan α
·疑难解惑·
(1)三角函数值是比值,是一个实数.
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
(3)若角α的终边与单位圆交于一点P,则点P的坐标为P(cos α,sin α).
『知识拓展』
知识点二　三角函数值的符号
如图所示.
正弦:第 象限为正,第 象限为负.余弦:第 象限为正,第 象限为负.正切:第 象限为正,第 象限为负.
一、二
三、四
一、四
二、三
一、三
二、四
知识点三　诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 .即
sin(α+k·2π)= ,
cos(α+k·2π)= ,
tan(α+k·2π)= ,其中k∈Z.
相等
sin α
cos α
tan α
基础自测
C
C
2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点(-5,12),则cos α等于(　　)
[A]sin α>0且cos α>0
[B]sin α>0且cos α<0
[C]sin α<0且cos α>0
[D]sin α<0且cos α<0
C
4.计算sin(-330°)cos 390°=　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　三角函数的定义及应用
[典例迁移1] (苏教版必修第一册P178例1)如图,已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的正弦、余弦、正切值.
[典例迁移2] 若角α的终边经过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
·解题策略·
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角α的大小,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
·解题策略·
[例2] (1)“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　)
[A]充要条件
[B]必要不充分条件
[C]充分不必要条件
[D]既不充分也不必要条件
题型二　三角函数函数值的符号
A
(2)(多选)给出的下列函数值中符号为负的是(　 　)
ACD
·解题策略·
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.
[变式训练] (1)已知点P(tan α,sin α)在第四象限,则角α在(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
C
(2)sin 2cos 3tan 4的值(　　)
[A]小于0　 [B]大于0
[C]等于0 [D]不存在
A
[例3] 计算下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)·sin 750°;
题型三　诱导公式一的应用
·解题策略·
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中α∈[0,2π).
(2)转化:根据诱导公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)tan 765°-sin 810°-cos 1 470°;
感谢观看(共33张PPT)
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
(0,1)
(π,-1)
(2π,1)
·温馨提示·
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
基础自测
B
【解析】 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,
x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.故选B.
A
B
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B] [C]　 　　 [D]
【解析】 由y=cos(-x)=cos x知,其图象和y=cos x 的图象相同.故选B.
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为　　　　.
3
【解析】 分别作出f(x)=sin x,g(x)=cos x在区间[-2π,π]上的图象,如图所示,
由图象可知f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]上的交点个数为3.
关键能力·素养培优
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　 　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
ABC
【解析】 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象观察可知A,B,C均正确.故选ABC.
·解题策略·
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是( 　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
AB
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
【解】 (1)按五个关键点列表:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
【解】 (2)按五个关键点列表:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
·解题策略·
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
【解】 (1)由题知y=2-sin x,x∈[0,2π],
列表如下:
根据表格画出图象如下:
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
【解】 (2)y=2cos x-1,x∈[0,2π],
列表如下:
作出图象,如图所示.
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为　　 　　.
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为　　　　　　　　　　　　　　　.
B
AB
[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
C
【解析】 画出图象如图所示,由lg 1=0,lg 10=1,cos x∈[-1,1],可得f(x)=lg x 与g(x)=cos x的图象的交点个数为3.故选C.
·解题策略·
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
·解题策略·
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.
感谢观看(共18张PPT)
第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
·解题策略·
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
1
题型二　正弦函数、余弦函数的对称性
·解题策略·
·解题策略·
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
题型三　函数性质的综合应用
A
·解题策略·
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
ABD
AD
感谢观看(共28张PPT)
第4课时　二倍角的正弦、余弦、
正切公式
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　倍角公式
知识归纳
名称 公式 条件 简记符号
二倍角的 正弦公式 sin 2α= α∈R S2α
二倍角 的余弦 公式 cos 2α =cos2α-sin2α = = α∈R C2α
2sin αcos α
2cos2α-1
1-2sin2α
·疑难解惑·
(1)这里的倍角专指二倍角,遇到“三倍角”“四倍角”等名词时,“三”“四”等字不可省去.
『知识拓展』
常见二倍角公式的变形:
cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α);1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=
(sin α±cos α)2.
基础自测
B
D
C
关键能力·素养培优
[例1] 求下列各式的值:
题型一　给角求值
·解题策略·
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
(2)2sin 20°cos 20°-2cos225°;
题型二　给值求值
·解题策略·
(1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系.
(1)若f(B)=2,求B的大小;
题型三　倍角公式的综合运用
(2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
·解题策略·
(1)要结合之前所学的公式,进行合理的角的变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式.
(2)要结合三角函数值及角的取值范围求角.
(3)在三角形中最多只有一个直角或钝角,角的正弦值均为正,余弦和正切值并不一定为正.
[变式训练] 已知sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
感谢观看

展开更多......

收起↑