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北海市第一中学2025年秋季学期2023级第一次月考数学科试题
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一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求)
1.下面几对图形中，相似的是( )
2.下列各组长度的线段(单位： cm)中，成比例线段的是( )
A.1, 2, 3, 4 B.1, 2, 3, 6
C.2, 3, 4, 5 D.1, 3, 5, 10
3.如图, 直线AD//BE//CF, 分别交直线m, n于点A, B, C, D,E, F, 若AB=3, BC=4, EF=5, 则DE的长是( )
A.5
B.4.5
C.3.25
D.3.75
4.已知关于x的一元二次方程： 有两个相等的实数根，则c =( )
A.4 B.2 C.1 D.-4
5.已知: 如图, 在△ABC中, ∠ADE =∠C, 则下列等式成立的是( )
6.用配方法解方程 时，配方结果正确的是( )
7.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为-2，当 时，x的取值范围是( )
A. x<-2或x>1 B. x<-2或0C.-2 1 D.-28.如图，P是反比例函数图象上第一象限内一点，若矩形PEOF的面积为3则反比例函数的表达式是( )
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AB =4,BD =2,则CD的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
10.若 ab<0，则正比例函数y=ax与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
11.以原点O为位似中心, 作△ABC的位似图形△AB'C',△ABC与△AB'C的相似比为1:3,若点C的坐标为(4，1)，则点C 的坐标为( )
A. (12,3) B. (-12,3)或(12,-3)
C. (-12,-3) D. (12,3)或(-12,-3)
12.如图，在宽为20米、长为32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540 平方米，设道路的宽x米.则可列方程为( )
A. 32×20-32x-20x=540
B.(32-x)(20-x)=540
C.32x+20x=540
二、填空题：(本题共4小题，每小题3分，共12分)
13.关于x的一元二次方程( 2=0中, m= .
14.验光师通过检测发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 度.
15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”, 如图, P为AB的黄金分割点(AP > PB), 如果AB的长度为10cm,那么AP的长度为 cm(结果保留根号).
16.如图,有一块三角形余料ABC,它的边BC=18cm,高AD =12cm现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 cm.
三、解答题(本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)选择适当的方法解下列方程：
18.(本小题10分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按1:2把△ABC放大后得到△AB'C'.
(1)画出△ABC的位似图形△AB'C'.
(2)直接写出△ABC与四边形B'C'CB面积的比: 。
19.(本小题10分)如图，嘉嘉和淇淇用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A，C, E三点共线.经测量, BC=1m, DE=1.5m, BD=5m, 求小河的宽度.
20.(本小题10分)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数. 的图象交于点A(-3,m+8), B(n,-6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积.
21.(本小题10分)公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540 个，且从四月份到六月份月增长率相同。
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元
22.(本小题12分)法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为x ，x ，那么两个根的关系为. 习惯上把这个结论称作“韦达定理”.
小明在探究二次项系数为1 的一元二次方程. 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为： 借此结论，小明进行对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究。
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根(都不为0)，且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
方根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根(都不为0)，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”.
(1)请你判断：方程 是 (填“倍根方程”或“方根方程”)；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程 使得这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少
23.(本小题12分)如图, 在矩形ABCD中, AB =8, BC =4, 点P为AB边上一动点(不与点A, B重合), DP交AC于点E.
(1)求证: △APE∽△CDE.
(2)当PD⊥AC时, 求线段PA的长度.
(3)当点P在线段AC的垂直平分线上时，求 的值.
(备用图)

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