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绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）零诊考试
数学试题
命题： 考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则
A． B．
C． D．
4．若函数在处取得极大值，则实数
A． B． C．1 D．2
5．设，则
A． B． C． D．
6．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则
A． B． C．或1 D．或1
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据，满足. 已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为
（参考数据：）
A． B．1 C． D．
8．已知函数，若正数a满足，则a的取值范围为
A． B．
C．或 D．
多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．若等比数列的前项和为，公比为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
11.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是
A． B．在区间上单调递减
C． D．
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数的定义域为 ．
13．设，则的最小值为 ．
14．已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
16．已知正项数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
18．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时，.
19．设实系数一元二次方程①，有两根，
则方程可变形为，展开得②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根，则有③
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
（2）已知函数恰有两个零点.
（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；
（ii）求的取值范围
绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）零诊考试
数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A A C A B ABC BD ABD
二、填空题
12． 13．4 14.
14．【详解】由在上单调递增，且过点，
在上，在上单调递减，在上单调递增，
结合解析式，其大致图象如图，
随变化，的图象只在轴上平移，
令过且平行于的直线为，
则，所以，故，
联立与，消去y得，
所以或，
对任意，都有成立，由图知，在上不单调，必有，
需保证，时有，
所以，
，整理得，所以，
综上，实数的取值范围是.
三、解答题
15．（1）由不等式的解集为知：关于的方程的两根为和，且
由根与系数关系，得，∴，
所以原不等式化为，
当时，原不等式化为，且，解得或；
∴当时，原不等式的解集为；
（2）假设存在满足条件的实数，
由（1）得：，∴，
∴，
令，，则∴对称轴为：，
又，∴，，∴函数在递减，
∴时，最小为：，解得：
16．（1）当时，，解得．
当时，由，得，
则，则．
因为，所以，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，
则．
（2）由（1）可知，
则
．
17．（1）当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
18．（1）由题设，则且，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增；
（2）由题设，令，则，
对时，恒成立，且，只需，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，；
（3）由（2）取，在上，
令，，则，即，
所以，则，得证.
19．（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得.
（2）（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.

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