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2025-2026学年湖北省十堰市八校教联体学校高二上学期 9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 1 = 2 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 = 0.8, = 0.3，则 ∪ =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3.样本数据 1,3,4,5,8,10,12,15 的下四分位数为( )
A. 3 B. 3.5 C. 10 D. 11
4.已知平面向量 = 3, 1 , = 0,2 ，则 + 在 上的投影向量为( )
A. 0,3 B. 3,6 C. 0, 6 D. 32 , 3
5.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 ， 是异面直线， ， ； // ， // ，则 //
6.下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续 5 次考试成绩均不低于 120 分”.现有甲、乙、丙三位
同学连续 5 次数学考试成绩的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲同学：5 个数据的中位数为 127，众数为 120；
②乙同学：5 个数据的中位数为 125，总体均值为 127；
③丙同学：5 个数据的中位数为 135，总体均值为 128，总体方差为 29.4；
则可以判定数学成绩优秀同学为( )
A.甲、丙 B.乙、丙 C.甲、乙 D.甲、乙、丙
7.直三棱柱 1 1 1， 1 = = 2，平面 1 ⊥平面 1 1，直三棱柱 1 1 1的体积为 4 6，
则 1 与平面 1 1所成的角为( )
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
8.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下，
累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被
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淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方
1
获胜的概率都为2，则( )
A.甲获得冠军的概率最大 B.甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C.丙获得冠军的概率最大 D.甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 1一组样本数据的方差 2 = [( 3)220 1 + ( 2 3)
2 + + ( 20 3)2]，则这组样本数据总和为 60
B.数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第 70 百分位数是 23
C.若一个样本容量为 8 的样本的平均数是 5，方差为 2.现样本中又加入一个新数据 5，此时样本的平均数
不变，方差变大
D.若样本数据 1， 2，…， 10的标准差为 8，则数据 2 1 1，2 2 1，…，2 10 1 的标准差为 16
10.已知 , 是随机事件，且 ( ) = 0.6, ( ) = 0.5，则下列说法正确的有( )
A. 与 可能为互斥事件
B.若 ( ∩ ) = 0.3，则 与 相互独立
C.若 ，则 ( ) = 0.5
D.若 与 相互独立，则 ∪ = 0.6
11.在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立，发送 0 时，收到 1 的概率为 (0 < < 1),收到 0 的概
率为 1 ；发送 1 时，收到 0 的概率为 (0 < < 1),收到 1 的概率为 1 .共有两种传输方案：单次传输
和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送 3 次．收到信号需要译码，
译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例
如，若依次收到 0，1，1，则译码为 1).则( )
A.采用单次传输方案，若依次发送 0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 1
B.采用三次传输方案，若发送 1，则收到的译码为 1 的概率为 1 2 1 + 2
C. 1采用单次传输方案，若随机发送一个信号(发送 0 和发送 1 的概率都是2 )，则收到的译码为 1 的概率为
1
2 + 1
D.当 0 < < 0.3 时，若发送 0，采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在三角形 中， = 3， = 4，∠ = 120 ，则 = ．
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13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 2 次，向上的点数分别记为 , ，则事件“ ≤ 1”的概率为 ．
14.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，则直线 1 与 所成角的余弦值
为 ；点 是正方体表面上的一动点，且满足 ⊥ 1 ，则动点 的轨迹长度是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在一个文艺比赛中，6 名观众代表和 9 名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这 6 名观众
代表对选手 的打分分别为 75，84，94，82，73，90，这 9 名专业人士对选手 的打分的平均分为 80.5，
方差为 32．
(1)求这 6 名观众代表对选手 的打分的平均分和方差；
(2)求这 6 名观众代表和 9 名专业人士对选手 的打分的平均分和方差．
16.(本小题 15 分)
某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分
100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组： 40,50 , 50,60 ，…， 90,100 ，整理得到如图所示的频
率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
(2)按照成绩从高到低选出样本中前 15%的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多
少分？
(3)在(2)的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取 6 名学生担任宣传队骨干，再从
这 6 人中随机选取 2 人担任正副队长，求正副队长中至少有 1 名学生成绩在 80,90 的概率．
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17.(本小题 15 分)
2
甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是3，乙答
1
对每道题目的概率都是2，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
(1)求甲、乙两人共答对 5 道题目的概率．
(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，平面 ⊥平面 ， 是边长为 2 的正三角形， =
2 3， 是 中点，过点 , , 的平面与 交于点 ．
(1)求证： // ；
(2)求证： ⊥ ；
(3)求二面角 的正切值．
19.(本小题 17 分)
乒乓球被称为中国的“国球”，在 2024 年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌. 11 分制
乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10: 10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜(比如：
比分为 12: 10，得 12 分者胜)，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率
2
为 ，乙发球时甲得分的概率为5，各球的结果相互独立.在某局双方 10：10 平后，甲先发球．
(1) 4若两人又打了 2 个球比赛结束且甲获胜的概率为15，求 的值；
(2)若 满足(1)中条件取值，记事件 =“两人又打了 4 个球该局比赛结束”，事件 =“两人又打了 2 ∈
个球该局比赛结束”．
( )求 ； ( )直接写出 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.49
14. 105 ；6 2
15. (1) 6 = 75+84+94+82+73+90解： 这 名观众代表对选手 的打分的平均分 1 6 = 83，
这 6 名观众代表对选手 的打分的方差为：
2 = (75 83)
2+(84 83)2+(94 83)2+(82 83)2+(73 83)2+(90 83)2
1 6 = 56．
(2) 6 9 = 83×6+80.5×9这 名观众代表和 名专业人士对选手 的打分的平均分 6+9 = 81.5，
这 6 名观众代表和 9 名专业人士对选手 的打分的方差为：
2
2 = 6× 56+(83 81.5) +9× 32+(80.5 81.5)
2
6+9 = 43.1．
16.(1)
解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为 1，
可得(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.025，
竞赛的平均成绩：(0.005 × 45 + 0.010 × 55 + 0.020 × 65 + 0.030 × 75 + 0.025 × 85 + 0.010 × 95) × 10 =
74
(2)
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解：由频率分别直方图的数据，可得：
成绩在[40,80)内的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65，
成绩在[40,90)内的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + 0.025) × 10 = 0.90，
所以成绩从高到低选出样本中前 15%的学生，最低分即为 85%分位数，设为 ，
0.020
可得 = 80 + 0.025 × 10 = 88 分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要 88 分.
(3)
由题意得，样本中宣传队学生的人数为 100 × 0.15 = 15，
其中成绩在[80,90)的学生人数为 100 × (90 88) × 0.025 = 5，
成绩在[90,100]的学生人数为 100 × (100 90) × 0.010 = 10，
从样本中按分层抽样的的方法抽取 6 人，则成绩在[80,90)的学生有 2 人，记为 , ，
在[90,100]的学生有 4 人，记为 , , , ，
从中选 2 人担任正副队长的样本空间为：
= {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
, ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )，( , ), ( , ), ( , ), ( )}，
记事件 =“正副队长中至少有 1 名学生成绩在[80,90)”，则：
= {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}，
9
由古典摡型的概率计算公式，可得 ( ) = 15 = 0.6．
17.解：(1)设 1 =“甲答对 3 道题目”， 2 =“甲答对 2 道题目”，
1 =“乙答对 3 道题目”， 2 =“乙答对 2 道题目”，
根据独立事件的性质，可得，
( ) = 2 2 21 3 × 3 × 3 =
8
27，
( 2 2 1 42) = 3 × 3 × 3 × 3 = 9，
( 1 1 1 11) = 2 × 2 × 2 = 8，
( 2) = 3 × (
1 3 3
2 ) = 8，
设 为“甲、乙两人共答对 5 道题目”，
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则 = ( 1 2) ∪ ( 2 1)，
因为 1 2与 2 1互斥， 1与 2， 2与 1分别相互独立，
( ) = ( 1 2) + ( 2 1) = ( 1) ( 2) + ( ) ( ) =
8 3 4 1 1
2 1 27 × 8 + 9 × 8 = 6，
所以甲、乙两人共答对 5 1道题目的概率6；
(2) =“甲通过面试”， =“乙通过面试”， 与 相互独立，
( ) = 1 ( ) = 1 13 ×
1 × 1 = 263 3 27，
1 1 1 7
( ) = 1 ( ) = 1 2 × 2 × 2 = 8
=“甲、乙两人只有一人通过面试”，
则 = ( ) ∪ ( )，
因为 与 互斥，
与 ， 与 分别相互独立，
( ) = ( ∪ ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )
26 1 1 7 11
= 27 × 8 + 27 × 8 = 72
11
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 72．
18.解：
(1)证明：因为底面 是菱形，所以 / / ，因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 // ；
(2)由(1)知 // ， / / ，所以 // ，因为 是 中点，所以 是 中点，因为△ 是正三角
形，所以 ⊥ ，因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，因为 // ，所以 ⊥ ；
(3)解：
过 作 ⊥ 于 ，连接 ，由(2)知 ⊥平面 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
⊥ ，因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，
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所以 ⊥ ，所以∠ 就是二面角 的平面角，在正三角形 中， = 3， = 1，在△
中， = = 2， = 2 3，所以∠ = 30 ，在 △ 中， = 12，在 △

中，tan∠ = =
2 3，所以二面角 的正切值为 2 3．
19.解：(1)记 表示打第 个球是甲胜，
两人又打了 2 个球比赛结束且甲获胜即 1， 2，各球的结果相互独立，
( 2 2 4 21) = ， ( 2) = 5，∴ ( 1 2) = ( 1) ( 2) = 5 = 15， = 3；
(2)( ) ( ) =
2
3，
2
为奇数; ( ) = 5， 为偶数，
= 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4，
1 2 3 4， 1 2 3 4， 1 2 3 4， 1 2 3 4互斥，各球的结果相互独立．
( 1 2 3 4) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) =
2 3 2 2
3 5 3 5 =
24
225，
( 1 2 3 4) = ( 1) ( 2) ( 3) ( ) =
2 3 1 34 3 5 3 5 =
18
225，
( 1 2 3 4) = ( 1) ( 2) (
1 2 2
3) ( 4) = 3 5 3
2 = 85 225，
( 1 2 1 3 61 2 3 4) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) = 3 5 3 5 = 225，
( ) = ( 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4 ∪ 1 2 3 4)
= ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3
56
4) = 225；
( ) ( ) = ( 2 · 3 + 1 2 1 2 2 1 3 7 83 5 3 . 5 ) ( 3．5 + 3．5 ) = 15 ·( 15 )
1， ∈ ．
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