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2025-2026学年宁夏回族自治区银川一中高二上学期月考一
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过 ( 1, 3)， (2,0)两点的直线倾斜角为( )
A. 5 B. 3 C. 2 6 4 3 D. 3
2.“关于 ， 的方程： 2 + 2 + + 4 + 8 = 0 表示圆”是“ > 4”的( )
A.必要不充分条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若两平行直线 + + 2 = 0 与 2 4 + = 0( > 0)之间的距离是 5，则 + =( )
A. 2 B. 12 C. 12 D. 14
4.已知点 (1,2)，直线 ：( + 2) + (1 ) + 2 + 7 = 0( ∈ )，则 到 的距离的最大值为( )
A. 3 B. 10 C. 3 2 D. 5
2 25.若方程6 = 1 4表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( )
A. [4,5] B. (4,6) C. [5, + ∞) D. (5,6)
6.若直线 = + 与曲线 = 2 4 2有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是
A. 2 2, 2 B. 2 2, 2 C. 2 2, 2 D. 2 2, 2
7.若对圆( 1)2 + ( 1)2 = 1 上任意一点 ( , ), |3 4 + | + |3 4 9|的取值与 ， 无关，则实
数 的可能取值是( )
A. 4 B. 6 C. 4 D. 6
8 1.已知定点 2 , 0 ，圆 与 轴相切，直线 2 + 2 = 0 是圆 的一条对称轴．若圆 上存在两点 , 使得
∠ > 3，则圆 圆心的横坐标的取值范围是( )
A. ∞, 32 ∪
9
2 , + ∞ B.
1 11
2 , 2
C. (0,1) ∪ 3 1 172 , + ∞ D. 2 , 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 1： + 3 + 4 = 0， 2： + ( 2) + 2 5 = 0，则( )
A.若 = 1，则 1的一个方向向量为(3, 1) B.若 1 // 2，则 = 1 或 = 3
C.若 1 ⊥
3
2，则 = 2 D. 1恒过定点(0,4)
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10.已知直线 ：3 + 2 + = 0，圆 ： 2 + 2 + 4 + 14 = 0，则下列说法错误的是( )
A.若 = 5 + 13或 5 13，则直线 与圆 相切
B.若 = 5，则圆 关于直线 对称
C.若圆 ： 2 + 2 + 52 2
5
8 = 0 与圆 相交，且两个交点所在直线恰为 ，则 = 2
D.若 > 5，圆 上有且仅有两个点到 的距离为 1，则 5 + 13 < < 5 + 3 13
11.已知 ( 2,0), (6,0), (2,2) | | 1，点 满足| | = 3，设点 的轨迹为曲线 ， 为坐标原点，则下列说法正确
的是( )
A.过点 作曲线 的切线，切线长为 6 2
B.当 , , 三点不共线时，∠ = ∠
C.在 上存在点 ，使得| | = 2| |
D. | | + 3| |的最小值为 2 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线 2 + 3 = 4 与 轴和 轴的交点，则该椭圆的离心
率为 ．
13.过点 (4, 1)作圆 : 2 + 2 + 2 4 4 = 0 的切线，切点为 、 ，则过切点 ， 的直线方程为 ．
14.已知 为圆 : ( 3)2 + 2 = 1 116上的动点， 为圆 : ( 4)
2 + 2 = 4上的动点， 为直线 = 上的动
点，则| | + | |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的三个顶点是 (2,3)， (1,2)， (4, 4)．
(1)求 边上的高所在直线 1的方程;
(2)若直线 2过点 ，且点 ， 到直线 2的距离相等，求直线 2的方程．
16.(本小题 15 分)
已知直线 的方程为(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0．
(1)求证：不论 为何值，直线 必过定点 ；
(2)过点 的直线 1交坐标轴正半轴于 , 两点，当 面积最小时，求 的周长．
17.(本小题 15 分)
已知圆 2 + 2 = 4 上一定点 (2,0)， (1,1)为圆内一点， ， 为圆上的动点．
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(1)求线段 的中点的轨迹方程;
(2)若∠ = 90 ，求线段 的中点的轨迹方程．
18.(本小题 17 分)
已知圆 过 1, 7 ， 6,2 3 ，且圆心 在 轴上．
(1)求圆 的周长；
(2)若直线 过点 (2,10)，且被圆 截得的弦长为 4 3，求直线 的方程；
(3)过点 且不与 轴重合的直线与圆 相交于 ， ， 为坐标原点，直线 ， 分别与直线 = 8 相交于 ，
，记 的面积为 1， 的面积为 2，求 1 的最大值．2
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
6
的离心率为 3 , 1、 2分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点 2的距离
为 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 3 2斜率为 1 的直线 被椭圆 截得的弦长为 2 ，求直线 的方程；
(3) 3设直线 与椭圆 交于 、 两点，坐标原点 到直线 的距离为 2 ，求 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 53 /
1
3 5
13.5 3 + 2 = 0
14.174
15.解：(1) 4 2 1因为 = 4 1 = 2，所以 边上的高所在直线 1的斜率为2，
所以 1边上高所在直线为 3 = 2 ( 2)，即 2 + 4 = 0．
(2)因为点 ， 到直线 2的距离相等，所以直线 2与 平行或过 的中点，
①当直线 2与 平行，
2 3所以 2 = = 1 2 = 1，所以 2: + 4 = 4，即 8 = 0．
( 3 5②当直线 2过 的中点 2 , 2 )，
4 5
所以 = 2 13 13 3 = 5，所以 2: + 4 = 5 ( 4)，即 13 + 5 32 = 0．4 2
综上：直线 2的方程为 8 = 0 或 13 + 5 32 = 0．
16.【详解】(1)由(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0 可得， (2 + 7) + + 4 = 0，
2 + 7 = 0,
= 3,令 + 4 = 0 = 1, 所以直线 过定点 (3,1)．
(2)由(1)知，直线 1恒过定点 (3,1)，
由题意可设直线 1的方程为 1 = ( 3)( < 0)，直线 1与 轴、 轴正半轴的交点分别为 , ，
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令 = 0，得 = 1 3
1
；令 = 0，得 = 3 ．
所以 = 1的面积 2 (1 3 ) 3
1
=
1
2 ( 9 ) +
1 1 1
+ 6 ≥ 2 2 ( 9 ) + 6 = 6，
9 = 1 1当且仅当 ，即 = 3时等号成立，此时 面积最小，
(6,0), (0,2)，| | = 62 + ( 2)2 = 2 10，
的周长为 6 + 2 + 2 10 = 8 + 2 10．
所以当 面积最小时， 的周长为 8 + 2 10．
17.解：(1)设线段 的中点为 ( , )，由中点坐标公式可知，点 的坐标为(2 2,2 )，
因为点 在圆 2 + 2 = 4 上，所以(2 2)2 + (2 )2 = 4，故线段 的中点的轨迹方程为( 1)2 + 2 = 1;
(2)设线段 的中点为 ( , )，则在 △ 中，| | = | |，
设 为坐标原点，连接 ，则 ⊥ ，所以| |2 = | |2 + | |2 = | |2 + | |2，
所以 2 + 2 + ( 1)2 + ( 1)2 = 4，
故线段 的中点的轨迹方程为 2 + 2 1 = 0．
18.【详解】(1)由圆心 在 轴上，设圆的方程为( )2 + 2 = 2，
(1 )2 + 7 = 2
又圆 过 1, 7 ， 6,2 3 得 ,
(6 )2 + 12 = 2
解得 = 4， = 4，所以圆的方程为( 4)2 + 2 = 16，
其周长为 2π = 8π；
(2)因为直线与圆 截得的弦长为 4 3，
2
所以圆心 到直线 的距离为 16 2 3 = 2，
①若直线 的斜率不存在时，直线 与圆 交点为 2, ± 2 3 ，
直线与圆 截得的弦长为 4 3，故直线 = 2 符合题意；
②若直线 斜率存在时，设 : 10 = ( 2)，整理得 : + 10 2 = 0，
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|10+2 | 12
所以圆心 到直线 的距离为 = 2，解得 = ，
2+1 5
则直线 : 10 = 125 ( 2)，即直线 12 + 5 74 = 0，
综上所述，直线 的方程为 = 2 或 12 + 5 74 = 0；
(3)因为原点 在圆( 4)2 + 2 = 16 上，直线 过圆心 ，且与 轴所在直线不重合，
，∠ = π2，设直线 的斜率为 ( ≠ 0)，则直线 的方程为 = ，
=
由 2 2 2 + 2 8 = 0，得 1 + 8 = 0，
8
= 0 = 2
解得 1+ = 0或 , = 8 1+ 2
8 8 则点 的坐标为 1+ 2 , 1+ 2 ，
1
又直线 的斜率为 ，则直线
1
的方程为 = ，
= 1
由 ，得 1 + 2 2 8 2 = 0，
2 + 2 8 = 0
= 8
2
= 0 1+ 2解得 = 0或 , = 8 1+ 2
8
2
, 8 则点 的坐标为 1+ 2 1+ 2 ，
由题可知： (8,8 ) 8, 8， ，

故 1 =
| || |
| || | =
| | | |
2 | | | |
，
8 8 2
| | 2 1 | | 2
又因为 = = 1+ = ， = = 1+ 2 | | 8 1+ 2 | | 8
= 1+ 2，
1 =
2 1 1 1
所以 2 4+2 2+1
= 2 1 ≤ = 4， + 2+2 2 1 2 2+2
1
当且仅当 2 = 2，即| | = 1 时等号成立，
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所以 1
1
的最大值为 ．2 4
19. 6【详解】(1)设椭圆的半焦距为 ，依题意 = 2 + 2 = 3，而 = 3 ，
2
解得 = 2, = 1，所以椭圆 的方程为 23 + = 1．
(2)设直线 : = + ，直线 与椭圆的交点为 1, 1 , 2, 2 ，
= +
联立方程 2 2 2
3 +
2 ，消去 得 4 + 6 + 3 3 = 0，= 1
则 = 36 2 16 3 2 3 > 0，解得 2 < < 2，
+ = 3
2
可得 1 2 2 ,
3 1
1 2 = 4 ，
2 2
| | = 1 + 12 + 2 4 = 2 3 4 × 3 1则 1 2 1 2 2 4
= 62 4
2 = 3 22 ，解得 =± 1，
所以直线 方程为 = ± 1．
(3) 3设 1, 1 , 2, 2 ，当 ⊥ 轴时，直线 : =± 2 ，
=± 3 3
由 2 ，得| | = ，则| | = 3；
2 + 3 2 = 3 2
当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 = + ，即 + = 0，
| | 3 3
依题意， = ，则 2 = 2 + 1 ，
1+ 2 2 4
= +
联立 2 2 2 2+ 2
，得 3 + 1 + 6 + 3 3 = 0，
3 = 1
则 = 36 2 2 4 3 2 + 1 3 2 3 = 36 2 12 2 + 12 > 0，
2
1 + =
6 3 1
2 3 2+1 , 1 2 = 3 2+1 ，
2 2 2
当 ≠ 0 时，| | = 1 + 2 + 2 4 = 1 + 2 36 12 12 1 1 2
3 2+1 2 3 2+1
12 2 +1 3 2 +1 2 3 2 +1 9 2 +1
= 3 2 +1 2 = 3 2 +1 2
= 3 + 12
2 12 12
9 4+6 2+1 = 3 + ≤ 3+ = 2，9 2+ 12+6 2 9 2
1
2
+6
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当且仅当 9 2 = 1 3 2，即 =± 3 时等号成立；
3
当 = 0 3 =±时，直线 : =± 22 ，由 , 2 + 3 2 = 3
得| | = 32 ，则| | = 3；
综上所述，| |max = 2，
则 1 3 1 3 3的面积 = 2 | | × 2 ≤ 2 × 2 × 2 = 2 ，
所以 3面积的最大值 2 ．
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