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2025-2026学年湖北省武汉市第六中学高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.下列叙述正确的是( )
A. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
C. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
D. 若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为
4.若直线与直线平行，则( )
A. B. 或 C. D.
5.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是( )
A. 四棱锥的体积不变
B. 总有
C. 点在一条定线段不含端点上
D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为
7.在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点．
三棱锥中，点到面的距离为定值
过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
直线与面所成角的正弦值的范围为
当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
以上命题为真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 任意向量满足
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件
10.直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是( )
A. 直线关于点对称的直线经过点
B. 直线与的交点坐标为
C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为
D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为
11.对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三班的位同学在年期间网购文具的费用单位：百元和网购图书的费用单位：百元的情况如图所示，现将和为第组点将和归为第点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为给出下列四个结论：

直线比直线的分类效果好；
分类直线的斜率为；
该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第组点位于的同侧；
如果从第组点中去掉点，第组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是 ．
13.图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹所形成的长度是 ．
14.若恰有三组不全为的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两直线．
求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
已知两点，动点在直线运动，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．
求证：平面平面；
当取得最小值时，求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：
求直线的方程；
若的面积为，求的表达式；
若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知一条动直线，
求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：的周长为；的面积为，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，当取最小值时，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在三棱台中，点，分别为，的中点，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
点在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值．
参考答案
1.
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11.
12.
13.
14.，，
15.【详解】联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则，
故的最小值为．


16.【详解】因为平面，平面，所以，
因为四边形为菱形，所以
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由知平面，
因为平面，所以，，
又，平面平面，所以即为二面角的平面角，
当取得最小值时，有，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为在菱形中，，，
所以，，
又因为，所以，
又因为在中，，解得，
则在中，，
所以二面角的余弦值为．
解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直，
又当取得最小值时，有，
以为原点，分别为轴建空间直角坐标系，
因为在菱形中，，，
所以，为等边三角形，易得，，
则，，，，，
易知为平面的法向量，
又由得平面，平面，
所以，又因为，，平面，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
又，
所以二面角的余弦值为．

17.【详解】依题意，点，直线的斜率为，
由直线的点斜式方程，可得直线的方程为．
由题意，因为，
可得直线方程为，直线方程为，
联立方程组，解得，
因为，所以或，
又由，解得，，
所以
由弦长公式可得，
又由点到直线的距离为，
所以．
由题意，可得，
设，
令，即，函数在为单调递增函数，
所以当时，的最小值为，当时，的最大值为，
即，所以，
又且，
所以，可得的最小值为，
所以实数的取值范围是．

18.【详解】依题意直线方程为，
即，
即，
所以由，解得，故直线过定点．
依题意设直线方程为，将代入得
则，则，解得或．
其中不满足，满足．
所以存在直线，即满足条件．
由知直线过定点，而若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，所以直线的倾斜角，
所以，
所以，
令，
由于，所以，所以
所以．
则可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为此时直线方程为，即，
也即．

19.【详解】由棱台性质知，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，，
连接，因为为中点，所以，所以四边形为平行四边形，则，
因为，所以，，
又因为，，平面，平面，
所以平面．
因为，所以，则，
以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，，
，，
设平面的一个法向量为，
，令，得，故，
设直线与平面所成角为，
设为平面的法向量，
，
，令得，，
设，
因为点在侧面内，所以存在使得，
，
，，，
因为平面，所以，得，
将，，代入上式可得，
则，所以，
因为在侧面内，所以
当时，取得最小值，此时，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为
，，
，令得，，
设平面与平面所成的二面角为，
，，
所以平面与平面所成的二面角得正弦值为．

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