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2024-2025学年江西省宜丰中学等多校高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为( )
A. B. C. D.
4.某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：

则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知函数的零点分别是，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B.
C. D.
10.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
11.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则( )
A. 方程有且仅有个解 B. 方程有且仅有个解
C. 方程有且仅有个解 D. 方程有且仅有个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个幂函数满足以下条件：定义域为；为增函数．则 ．
13.已知互不相等的个正整数从小到大排序为若它们的和为，且这个数据的极差是中位数的倍，则这个数据的第百分位数为 ．
14.已知函数的零点为，的零点为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知二次函数．
当取何值时，不等式对一切实数都成立？
若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球除标注的金额不同外，其余均相同，其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额．
当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率；
当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由．
18.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
解关于的不等式．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点的“界函数”．
判断函数是否为点的“界函数”并说明理由；
若函数是点的“界函数”，求证：；
若函数是点的“界函数”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：由题意知，
，
若，则，
所以，
所以．
由得，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以为的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，
即的取值范围是．

16.解：因为为二次函数，所以，
又因为不等式对一切实数都成立，
所以，解得．
当在上仅有一个零点时，由，解得，
此时零点为，符合题意；
当在上有两个零点时，，即且，
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，由零点存在定理，则，即，解得
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为

17.解：因为，即只摸次球，
红包总金额不高于元，即为元或元，
从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为，
故甲员工所获得的红包金额不高于元的概率为．
当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”，
因为，所以．
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
所以；
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
因为，所以，
所以，
所以事件不相互独立．

18.解：是奇函数，理由如下：
由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数．
在上是单调递增函数．
证明如下：
任取，设，则
．
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数．
由知是上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
当时，不等式为，这时解集为；
当时，解不等式得到；
当时，解不等式得到．
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

19.解：当，即时，，
又，所以函数是点的“界函数”．
证明：由函数是点的“界函数”，且函数为增函数，
当时，函数的值域为，
因为，所以，
所以，解得，所以．
解：因为函数是点的“界函数”，
所以，都有．
当，即时，在上单调递增，
又当时，；
当时，，
所以在上的值域为，
所以，
所以，解得，又，所以这种情况不符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，；
当时，．
若，
即时，在上的值域为，
所以，
所以，解得，又，
所以；
若，
即时，在上的值域为，
所以，
所以，解得，又，所以；
当，即时，在上单调递减，
又当时，；
当时，，
所以在上的值域为，
所以，
所以，解得，又，
所以这种情况不符合题意．
综上，的取值范围是．

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