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2025-2026学年四川省绵阳市三台县博强外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A. x2+1=0 B. x+=1
C. ax2+bx+c=0 D. （x+1）（x-1）=x2+x+1
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线为（　　）
A. y=（x+2）2 B. y=（x-2）2 C. y=x2-2 D. y=x2+2
3.已知拋物线y=-x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（　　）
A. 2 B. C. D.
4.如图，⊙O的半径为3，圆心O到AB的距离为2，则弦AB的长为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
5.关于x的一元二次方程x2-kx=1的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
6.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x1+x2=（　　）
A. -2 B. 2 C. 3 D. -3
7.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0，它的解是（　　）
A. x1=1，x2=3 B. x1=1，x2=-3 C. x1=-1，x2=3 D. x1=-1，x2=-3
8.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 12.1（1+2x）=14.4 B. 12.1（1+x）2=14.4
C. 14.4（1-x）2=12.1 D. 12.1+12.1x+12.1（1+x）2=14.4
9.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为（x+a）2=b的形式，则2a+b的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
11.若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　）
A. a＜6 B. a＞-6 C. a＞-6且a≠-4 D. a＜6且a≠-4
12.若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，且a2+b2=12，则k的值是（　　）
A. -1 B. 3 C. -1或3 D. -3或1
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
13.若y=（m+1）xm2-2m-1-x+3是关于x的二次函数，则m的值为______.
14.如图，在⊙O中，，∠1=45°，则∠2的度数为 .
15.已知m为一元二次方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式2m2-6m+2023的值为______.
16.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是______个.
17.已知关于x的方程（a-1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
18.关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______.
19.已知矩形ABCD的一条边长为5，对角线AC、BD相交于点O，若AO、CO的长是关于x的方程x2+2（m-1）x+m2+11=0的两个根，则矩形的面积为 .
三、解答题：本题共7小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题11分)
（1）用配方法解方程：4y2+8y-1=0；
（2）选择适当的方法解方程：3x（x-1）=2-2x.
21.(本小题11分)
已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根.
（1）求a的取值范围.
（2）是否存在实数a,使x1x2-2=x1+x2成立？
22.(本小题11分)
已知a，b关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0的两个实数根．
（1）若k=3时，求a2b+ab2的值；
（2）若等腰ABC的一边长c=1，另两边长为a、b，求ABC的周长．
23.(本小题11分)
某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元.经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件120元时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件.为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价x元.
（1）请写出日销售量y（单位：件）与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围）
（2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利1200元？
（3）该商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由.
24.(本小题11分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm.若点P从点A出发沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发.（1）问几秒后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）△PBQ的面积能否为10cm2？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由.
25.(本小题17分)
定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1-x2|=|x1 x2|，则称此类方程为“差积方程”.例如：是差积方程.
（1）下列方程是“差积方程”的是______；
①6x2-5x+1=0
②3x2+8x+4=0
③x2-4x=0
（2）若方程x2-（m+2）x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；
（3）当方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明.
26.(本小题14分)
如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG=CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】3
14.【答案】45°
15.【答案】2025
16.【答案】8
17.【答案】a＜2且a≠1
18.【答案】
19.【答案】5
20.【答案】，；
x1=1，
21.【答案】a≥0且a≠6；
不存在
22.【答案】解：（1）将k=3代入原方程，
得：x2-5x+6=0
解上述方程得：x1=2，x2=3
因式分解，得：a2b+ab2=ab（a+b）．
代入方程的解，得：a2b+ab2=ab（a+b）=2×3×（2+3）=30
（2）①当c与a，b其中一个相等时，不妨设a=c=1
将a=1代回原方程，得k=1
解得：b=2，
此时a+c=b，不满足三角形三边关系，不成立
②当a=b时，=[-（k+2）]2-8k=0，
解得：k=2
解得：a=b=2，C△ABC=2+2+1=5
综上所述：C△ABC=5
23.【答案】y=2x+20；
20元；
不能，（2x+20）（120-80-x）=2000，
x2-30x+600=0，
∵Δ=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴原方程无解，
∴不能平均每天盈利2000元
24.【答案】解：（1）设ts后，△PBQ的面积为8cm2，
则PB=（6-t）cm,BQ=2tcm,
∵∠B=90°，
∴，
解得t1=2，t2=4，
∴2s或4s时，△PBQ的面积为8cm2；
（2）不能，理由如下：设y秒时，△PBQ的面积为10cm2，
，
即 y2-6y+10=0，
∴Δ=b2-4ac=（-6）2-4×10=-4＜0，
∴原方程无实数根，即△PBQ的面积不能是10cm2．
25.【答案】解：（1）①②．
（2）m=或m=-2．
（3）∵ax2+bx+c=0 （a≠0），
解得x1=，x2=，
∵ax2+bx+c=0 （a≠0）是差积方程，
∴|x1-x2|=|x1 x2|，
即||=||，
即b2-4ac=c2．
26.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG=∠BCG=90°，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠GBC=∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE；
（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，
∴DF=EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，
∴CF=EF，
∴∠E=∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE=∠ACB=45°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠FBE=∠DBE=22.5°，
∴∠E=90°-∠FBE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠FCE=67.5°，
∴∠ACF=180°-∠FCE-∠ACB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠ACF=∠FEC，
∴CF平分∠ACE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB=2，
∵G为DC中点，
∴CG=GD=CD=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG===，
设GF=x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2-BF2=DF2，DG2-GF2=DF2，
∴（2）2-（+x）2=12-x2，
解得：x=，
∴DF2=12-（）2=，
∴DF=，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG=DE=，
∴EF=DE-DF=-=．
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