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2025-2026学年四川省成都实验外国语学校融通班九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于x的方程x2+2x+m=0有两个根为x1、x2，则x1+x2=（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
3.若等腰三角形的三边长均满足方程x2-7x+10=0，则此三角形的周长为（　　）
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定
4.《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 2（1+x）2=8.9 B. 2（1+x）+2（1+x）2=8.9
C. 2（1+x）+2（1+2x）=8.9 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8.9
5.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+和2-，则原方程是（　　）
A. x2+4x-15=0 B. x2-4x+15=0 C. x2+4x+15=0 D. x2-4x-15=0
6.已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）-18=0，则x2+4x的值为（　　）
A. 3 B. 3或-6 C. -3或6 D. 6
7.设关于x的方程x2+（a-2）x+5-a=0在2＜x＜4范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A. -6＜a＜-2 B. -6＜a＜-4 C. D.
8.在△PMN中，PM=3PN，PH⊥MN于点H，PH=3，则MN的最小值为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9.下列关于函数y=（c2-1）x2+2cx+1（c为常数）的说法正确的是（　　）
A. 该函数的图象G与x轴始终有两个交点
B. 该函数的图象G与x轴有一个或两个交点
C. 该函数的图象G过一定点
D. 该函数的图象的对称轴为直线
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点位于（-2，0），（-3，0）两点之间.下列结论正确的有（　　）
A. bc＜0
B. 2a-b＜0
C. 若x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，则-3＜x1 x2＜0
D. 若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则b2-4ac=12
11.若函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0）和（m,0），则下列判断正确的是（　　）
A. abc＞0
B. 4a+c＜2b
C.
D. am2+（2a+b）m+a+b+c＜0
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知α，β是一元二次方程x2-2x-2024=0的两个实数根，则α2+2β+αβ的值为 .
13.如图，把边长为5的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M，若BQ：AQ=4：1，则AM= ______.
14.阅读：求方程x2+2x-8=0的正整数解.小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为x2=-2x+8（*），可知x为偶数，令x=2y（y为正整数）代入（*）得y2=-y+2，即y（y+1）=2，由y为正整数可知y=1，所以，原方程的正整数解为x=2.请你在下列两个问题中任选一个作答.问题①：方程x3+4x2-96x+256=0的正整数解是______；问题②：方程3x2+5y2=288的正整数解是______.（注意：如果你解答了两个问题，则按照第一个问题的解答评分）
四、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
解下列方程：
（1）x（x+5）=24；
（2）2（x-1）2-8=0；
（3）（y+3）（1-3y）=1+2y2；
（4）（1997-x）2+（x-1996）2=1.
16.(本小题12分)
阅读下列材料：
已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2-1）=80，试求2m2+n2的值.
解：设2m2+n2=y,
则原方程可化为（y+1）（y-1）=80，即y2=81；
解得y=±9.
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为______.
（2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2-3）=27，求x2+y2的值.
（3）解方程x2-3|x|+2=0.
17.(本小题14分)
定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”.如2x2-7x+3=0的“友好方程”是3x2-7x+2=0.
（1）写出一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”______；
（2）已知一元二次方程x2+3x-10=0的两根为x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根x3= ______，x4= ______.根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为______；
（3）已知关于x的方程2024x2+bx+c=0的两根是x1=-1，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c（x-1）2+bx-b=-2024的两根.
18.(本小题14分)
定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如都是“纵三倍点”.
（1）有下列函数：①y=-2x+1；②y=-x（x+1）；③y=x2+x+1.其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是______（填序号）；
（2）已知抛物线y=x2+mx+n（m,n均为常数）与直线y=x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式；
（3）若抛物线是常数，a＞0）上有且只有一个“纵三倍点”，令w=b2-2b+6a,求w的最值.
19.(本小题14分)
我们约定；我们将关于x的二次函数G1：y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）与G2：y=-ax2-bx-c称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数G1：y=ax2+bx+c与G2：y=-x2-bx+1互为“匀称二次函数”，求a,b,c的值；
（2）二次函数G1：y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数），二次函数G2与G1互为“匀称二次函数”，直线y=a与G1、G2有且只有3个交点，且交点分别为点A（x1，y1）、点B（x2，y2）、点C（x3，y3），x1＜x2＜x3，请求出线段AC的长度；
（3）二次函数G1：y=ax2-（0＜a＜3），二次函数G2与G1互为“匀称二次函数”，过G2的顶点作直线l：y=x+，在直线l上任意取一点G，过点G作x轴的垂线，与G1、G2分别交于点E、F（点G，E，F不重合），EG-EF的最大值为4，求a的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】x=4 ，
15.【答案】x1=3，x2=-8；
x1=-1，x2=3；
，；
x1=1997，x2=1996
16.【答案】3，4，5，6； 6； x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2．
17.【答案】10x2-3x-1=0；
，，互为倒数；
关于x的方程c（x-1）2+bx-b=-2024的两根为x=0或x=2025．
18.【答案】①③；
y=x2-3x+8；
w最小=1
19.【答案】a=1，b为任意实数，c=-1；
；
．
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