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2025年湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中的无理数为（　　）
A. -3 B. 0 C. D.
2.科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能.1纳米=10-9米，200纳米用科学记数法表示为（　　）
A. 200×10-9米 B. 2×10-9米 C. 2×10-7米 D. 200×10-7米
3.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，甲、乙两支仪仗队员的平均身高相同时，设两支队员身高数据的方差为、S乙2，则下列关系正确的是（　　）
A. B. C. D. 无法确定
5.下列计算，正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. 2a2-a2=1 C. a8÷a2=a4 D. （-2a）3=-8a3
6.如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作MA⊥y轴，垂足为A，若△OAM的面积为2，则k的值为（　　）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
7.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm,那么AP的长度为（　　）cm.
A.
B.
C.
D.
8.如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n都经过点（-1，0），抛物线的对称轴为x=1，那么下列说法正确的是（　　）
A. ac＞0
B. b2-4ac＜0
C. a-b+c＞0
D. x=-1是方程ax2+bx+c=mx+n的解
10.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（　　）
A. （1014，0） B. （1016，0） C. （2，1016） D. （2，1014）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若分式有意义，则x的取值范围是 .
12.因式分解：a2b+a= ______.
13.如图，请你写出一个条件使得l1∥l2（不再标注其他字母或数字），你写的条件是______.
14.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增.已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是______.
15.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，连接OD.若∠BOD=70°，则∠C的度数为______.
16.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上.以原点O为位似中心，将△ABC按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是 .
17.如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=80°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，交AB于点E，则∠AED= ______.
18.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，点E为直线BC上一动点，连接AE，DE，若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：.
20.(本小题8分)
先化简，再求值.，其中x=2．
21.(本小题8分)
某校想了解九年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表：
被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A 90≤x≤100 a
B 80≤x＜90 16
C 70≤x＜80 8
D x＜70 4
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为84.5分.
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为______，n= ______；
（2）小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学.”你认为他的说法正确吗？请说明理由.
（3）成绩不低于80分的学生食品安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有500人，试估计九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数.
22.(本小题8分)
如图，一次函数y=x+4与反比例函数的图象交于A（-3，a），B（b,3）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当x＜0时，写出关于x的不等式的取值范围；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积.
23.(本小题8分)
2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek,使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB数据所需时间少5小时.
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用8小时至少完成56TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E为AB的中点，连接EC交BD于点F，BC=2BE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若cos∠ABD=，AB=6，求BF的长.
25.(本小题8分)
如图1，已知抛物线经过点B（-2，0），C（6，0），与y轴交于点A，顶点为D.
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接AD，CD，AC，若点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，且 ，求点P的横坐标；
（3）当α≤x≤5时，y的取值范围是m≤y≤n,且m+n=-11，求a的值.
26.(本小题10分)
如图1，△ABC内接于⊙O，作AD⊥BC于点D.
（1）连结AO，BO.求证：∠AOB+2∠DAC=180°；
（2）如图2，若点E为弧AC上一点，连结BE交AD于点F，若∠BAD=2∠CAD，∠DBF+4∠CAD=90°，连结OF，求证：OF平分∠AFB；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G为BC上一点，连结EG，∠BGE=2∠C.若，BD+EG=3，求DF的长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x≠3
12.【答案】a（ab+1）
13.【答案】∠1=∠2（答案不唯一）
14.【答案】20%
15.【答案】55°
16.【答案】（4，2）或（-4，-2）
17.【答案】40°
18.【答案】2
19.【答案】．
20.【答案】解：原式=÷
=
=，
当x=2时，
原式==．
21.【答案】40，72；
不正确，理由见解析；
350人．
22.【答案】；
x＜-3或-1＜x＜0；
4
23.【答案】解：（1）设乙数据中心的数据迁移速度为x TB/小时，则甲数据中心的数据迁移速度为5x TB/小时，
由题意得：-=5，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴5x=5×2=10，
答：甲数据中心的数据迁移速度为10TB/小时，乙数据中心的数据迁移速度为2TB/小时；
（2）设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作（8-y）小时，
由题意得：10y+2（8-y）≥56，
解得：y≥5，
答：甲数据中心至少需要工作5小时．
24.【答案】证明见解析；
．
25.【答案】解：（1）已知抛物线经过点B（-2，0），C（6，0），将点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∵，
∴顶点坐标为：D（2，-8）；
（2）已知抛物线与y轴交于点A，
当x=0时，得：y=-6，
∴A（0，-6），
∴设直线AC的解析式为y=kx-6，把C（6，0）代入，得：
6k-6=0，
解得：k=1，
∴直线AC：y=x-6，
如图2，取AD的中点E，连接CE，过点E作AC的平行线EF，交y轴于点F，则：，
∵，
∴S△PAC=S△ACE，
∴点E到AC的距离等于点P到AC的距离，
由（1）知：D（2，-8），
∴E（1，-7），
∴设直线EF的解析式为y=x+t,把E（1，-7）代入，得：
-7=1+t,
解得：t=-8，
∴直线EF：y=x-8，
当x=0时，y=-8，
∴F（0，-8），
∴AF=8-6=2，
∴将直线AC向上平移2个单位长度得到y=x-4，点P即为直线y=x-4与抛物线的交点，
令，
解得：或；
故点P的横坐标为：；
（3）∵，
则抛物线图象开口向上，对称轴为直线 x=2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当x=2时，y有最小值为-8，
∵α≤x≤5，
∴当x=a时，，当x=5时，，
∵，
∴当a≤2时，，
解得：或（舍去）；
当a＞2时，则：，
解得：a=1（舍去）或a=3；
综上所述：或a=3．
26.【答案】∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∴2∠C+2∠DAC=180°，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠AOB+2∠DAC=180°；
设∠CAD=α，
∵∠BAD=2∠CAD，∠DBF+4∠CAD=90°，
∴∠BAD=2α，∠FBD=90°-4α，
∴∠BFD=4α，
∴∠ABF=∠BAD=2α，
∴BF=AF，
在△AOF和△BOF中，
，
∴△AOF≌△BOF（SSS），
∴∠BFO=∠AFO，
∴OF平分∠AFB；

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