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2025-2026学年江西省南昌市第二中学高一上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是( )
A. 三角形 B. 正方形 C. 扇形 D. 圆
2.若在实数范围内有意义，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
3.计算：( )
A. B. C. D.
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.一个不透明的袋子中装有个红球与个黑球，每个球除颜色外都相同从中任意摸出个球，下列事件为必然事件的是( )
A. 至多有个球是红球 B. 至少有个球是红球
C. 至多有个球是黑球 D. 至少有个球是黑球
6.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为若点都在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，平分，，为垂足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴我国出土汉代玉器的下列纹样，是轴对称图形或中心对称图形的有( )
A. B. C. D.
10.如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是( )
A. B. C. D.
11.如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点不重合给出下面四个选项，则正确的有( )
A. 与的面积一定相等 B. 与的面积可能相等
C. 一定是锐角三角形 D. 可能是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.分解因式： ．
13.如图，将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为若的面积为，的面积为，则 ．
14.如图，在平行四边形中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边于点若直线将平行四边形的面积平分，则线段的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某社团计划开展手工制作活动，制作需使用两款材料包，购买份款材料包和份款材料包需元，购买份款材料包和份款材料包需元．
问购买一份款材料包和一份款材料包各需多少元？
该社团打算购买两款材料包共份，总费用不超过元，则至少购买款材料包多少份？
16.本小题分
某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长简称：停车时长的情况超市的管理部门随机采集了该停车场的个停车时长数据单位：分钟，并将数据整理，绘制了统计图表：
组别 停车时长分钟 组内平均停车时长分钟
根据以上信息，解答下列问题：
请补全条形统计图；这个数据的中位数落在______组；
求本次采集的这个数据的平均数；
如果超市想对停车时长不超过分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内辆车中，有多少辆车免收停车费？
17.本小题分
如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点．

求证：；
若，求的长．
18.本小题分
如图，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为连接，直线与交于点．

与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
如图，连接，若的中点分别为求证：三点共线；
已知，随着及旋转角的变化，若存在以为顶点的四边形，其面积为，求的最大值．
19.本小题分
已知二次函数过点．
求二次函数解析式；
已知在二次函数图象上不同的两个点．
若，求证：；
若的值为整数，求的所有可能取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：设购买一份款材料包和一份款材料包各需元和元，
则，解得
答：购买一份款材料包和一份款材料包各需元和元
设购买款材料包份，则，
解得，为整数，最小为，
答：至少购买款材料包份

16.解：组的频数为，
补全条形统计图如下：
中位数是数据从小到大排列后第个和个数据的平均数，第个和个数据都在组，
这个数据的中位数落在组
这个数据的平均数为分钟．
估计该停车场内辆车中，有辆车免收停车费

17.解：如图，连接，
与相切于点，，，
是的直径，，
，，，
，；
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，，
，，，
，，
，，
，，
，，，
，
同上可得：，
，
，，
，，，
，，
．

18.解：，理由如下：
由旋转的性质可得，
过作于，过点作的延长线于，
则，
因，则，则，
故，
又因，则，则，
则；

延长至，使得，连接，
因为中点，则为的中位线，则，
由旋转的性质可得，，
则，，
则，则，则四点共圆，
故，
连接，
因在中，点是的中点，则，同理可得，
又在中，点是的中点，则，同理可得，
则，则四边形是菱形，则，
则，
则四边形是平行四边形，故，
又，故，，三点共线；

由得，由旋转的性质可得，
则
，等号成立时，
因，则，等号成立时，
中，，则，
则的最大值为．


19.解：因为二次函数过点，
而关于直线对称，所以，则，
代入点得到，所以，即二次函数解析式为．
因为在二次函数的图象上，
所以是方程的不相等的两个根，
即是方程的不相等的两个根，
则，即，
且，，
所以，
因为，所以，则；
(ⅱ)因为
，
由知，，，，
可得，
所以，
因为为整数，故是的因数，
则的值可能有，
则的值可能为，又因为，
所以的所有可能取值为．

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