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2024-2025 学年江西省宜春市第一中学高一上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = ≤ 1 或 ≥ 3 ， = log2 ≤ 1 ，则集合 ∩ =( )
A. ( ∞,1] B. (0,1] C. [1,2] D. ( ∞,0]
2.设 ∈ π 1，则“ = 6”是“sin = 2”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30,31,37, , 42,60；乙组：28, , 33,44,48,70，若这两组数据的
第 30 百分位数，第 50 百分位数都分别对应相等，则 + =( )
A. 60 B. 65 C. 70 D. 71
4.若函数 ( ) = ( 3) 是幂函数，则函数 ( ) = log ( + ) + 1(其中 > 0 且 ≠ 1)的图象过定点( )
A. ( 3,1) B. (2,1) C. ( 3,0) D. (3,1)
5.一个容器装有细沙 cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， min 后剩余的细沙量为 =
e cm3 ，经过 4min 后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前
后共需经过的时间为( )
A. 8min B. 12min C. 16min D. 18min
6.已知定义域为 的函数 ( ) = 2 + cos +3sin 2+cos ( , ∈ R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为 6，
则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知 0 < < < 3，则下列不等式一定正确的是( )
A. ( + 1) > 1 B. log ( + 1) > 1
C. cos π + > cos π + D. cos π2 < cos
π
2
8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲 乙之间进行，老师在黑板上写出 2,3,4, ，2024 共 2023 个正整
数，然后随意擦去一个数，接下来由乙 甲两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去
一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数(如 2 和 3)，则判甲胜；否则(如 2 和 4)，判乙胜，按
照这种游戏规则，甲获胜的概率是( )
A. 1011 1012 1013 10142023 B. 2023 C. 2023 D. 2023
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.命题 : > 2， 2 3 4 < 0 的否定为 ≤ 2， 2 3 4 ≥ 0
B.若 1, 2都是第一象限角，且 1 > 2，则 sin 1 > sin 2
C.函数 ( )的定义域是[ 2,2]，则函数 ( + 1)的定义域为[ 3,1]
D. 4 π函数 ( ) = sin + sin (0 < < 2 )的最小值为 4
10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字 表示第一次抛掷骰子的点数，数字 表示第二次抛掷骰子的
点数，用( , )表示一次试验的结果．记事件 = “ + = 7”，事件 = “ ≤ 3”，事件 = “ 5 ≡ 1”，
[注：余数运算 ≡ ( ≠ 0)表示整数 除以整数 所得余数为 .则( )
A. ( ) = 736 B. 与 为对立事件 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.已知 ( )是定义在 R 上的偶函数，且对任意 ∈ ，有 (1 ) = (1 + )，当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 +
2，则( )
A. ( )是以 4 为周期的周期函数
B.点( 3,0)是函数 ( )的一个对称中心
C. 2025 + 2026 = 2
D.函数 = ( ) log2( + 1)有 3 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到 10 个 类样本，30 个 类样本.若 类样本的平均数为 5.5，
总体的平均数为 4，则 类样本的平均数为 ．
13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧
就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为 2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
14.设 min , 表示实数 , 中的最小值，若函数 ( ) = min 2 2 + 4 + 2,2 ，函数 ( ) = ( ) 2
( ) + 1 有六个不同的零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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(1) log 9 log 8 + cos 4π化简： 4 3 3 + lg0.01 + 2
1+log23；
cos 3π+ sin π
(2)已知角 终边上一点 ( 4,3)，求 211π 的值．sin 2 sin 2π
16.(本小题 15 分)
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为： = [ ]( ∈ R)，用[ ]表示不超过 的最大整数，例如：
[1.3] = 1, [2] = 2, [ 1.2] = 2．
(1)已知 ∈ (2,3)，正数 , 满足 + = [ ] 1，求 +
1
+1的最小值；
(2) 1设方程 2 = 0 的解集为 ，集合 = 2
2 11 + 15 2 ≥ 0 ，若 ∪ = ，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和 2035 年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加
强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯
片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值 (70 ≤ < 100)为衡量标准，性能指标的等级划分如表：
90 ≤ 85 ≤ 80 ≤ 75 ≤ 70 ≤ 性能指标值 < 100 < 90 < 85 < 80 < 75
等级
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为 5
频率
画频率分布直方图.设“ = ”，
组距
2 25
当 5 ≤ < 5 + 5 时( 为正整数)， = 300 , ≤ 17满足：
220 , > 17
(1)试确定 的所有取值，并求 ；
(2)从样本性能指标值不小于 85 的产品中采用分层随机抽样的方法抽取 5 件产品，然后从这 5 件产品中一
次性随机抽取 2 件产品，并求出 2 件都是 等级的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1 ( > 0, ≠ 1)是定义域为 的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若 (1) < 0，不等式 2 + + (1 ) < 0 在 ∈ [2,3]上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 (1) = 3 12，且函数 ( ) =
2 + 2 2 ( )在 ∈ [1, + ∞)上最小值为 2，求实数 的值．
19.(本小题 17 分)
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已知函数 ( )的定义域为 ，对于给定的正整数 ，若存在[ , ] ，使得函数 ( )满足：函数 ( )在[ , ]
上是单调函数且 ( )的最小值为 ，最大值为 ，则称函数 ( )是“倍缩函数”，区间[ , ]是函数 ( )的
“ 倍值区间”．
(1)判断函数 ( ) = 3是否是“倍缩函数”？(只需直接写出结果)
(2)证明：函数 ( ) = ln + 3 存在“2 倍值区间”；
(3)设函数 ( ) = 8 14 2+1， ∈ 0, 2 ，若函数 ( )存在“ 倍值区间”，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3.5
13.1 3π
14.(2, 52 )
15.解：(1)log49 log38 + cos
4π
3 + lg0.01 + 2
1+log23 = log 3 × 3log 1 log 32 32 2 2 + 2 × 2
2
= 3 52+ 6 =
13
2；
(2) 3由题可知 tan = 4，
cos 3π2 + sin π 2= sin 3则
sin 11π sin 2π ( cos )( sin )
= tan = 4．
2
16.解：(1)由题意，正数 , 满足 + = 2，则 + ( + 1) = 3，
1 1 1 1 1 1 +1 4
因此 + +1 = 3 [ + ( + 1)]( + +1 ) = 3 (2 + + +1 ) ≥ 3，
+1 3
当且仅当 = +1，即 + 1 = = 2时取等号，
所以当 = 3 , = 1 1+ 1 42 2时， +1取得最小值3．
(2) 12 = 0 0 ≤
1
，则 2 < 1
1 3 1
， 2 < < 2，即 = 2 ,
3
2 ，
令 2 2 11 + 15 2 = 0 1 = 3 ,
5
2 = 2
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法一：当 1 ≤ 2时， = ( ∞, 1] ∪ [ 2, + ∞)；当 2 < 1时， = ( ∞, 2] ∪ [ 1, + ∞)，
1 ≤ 3 ≤ 3
由 ∪ = R 2 2 1 1 1 1，则
1 ≤ 5 ≤ 3
，解得 6 ≤ ≤ 2，即 的范围是[ 6 , 2 ]．
2 2 2
方法二：当 = 0 时， = R，此时 ∪ = 成立；
当 < 0 时， 1 < 2，此时 = ( ∞,3 ] ∪
5
2 , + ∞ ，
< 0
1
又 ∪ = 1，则 3 ≥ 2，解得 ≤ < 0；
5 6
2 ≤
3
2
当 > 0 时， 1 >
5
2，此时 = ∞, 2 ∪ [3 , + ∞)，
> 0
5 1
又 ∪ = ，则 2 ≥ 2，解得 0 < ≤
1
2，
3 ≤ 32
综上， 16 ≤ ≤
1
2，即 ∈
1
6 ,
1
2 ；
17.解：(1)根据题意，70 ≤ < 100，按组距为 5 可分成 6 个区间，
分别是[70,75), [75,80)，[80,85), [85,90)，[90,95), [95,100)，
因为 70 ≤ < 100，且 5 ≤ < 5 + 5， ∈ N ，
所以 的取值集合为 14,15,16,17,18,19 ．
2 25
每个小区间对应的频率值为 5 = 60 , ∈
14,15,16,17
．
5 220 , ∈ 18,19
3+5+7+9
所以 60 + 5 × 2
2 + 2 = 30 + 2 = 1 = 15 ，解得 50．
(2) 1 3依题意 等级产品的频率为 5 × 250 × 2 + 2 = 5，
2×17 25 3等级产品的频率为 60 = 20，
3 3
所以 等级产品和 等级产品的频率之比为5 : 20 = 4: 1，
所以从样本性能指标值不小于 85 的产品中采用分层随机抽样的方法抽取 5 件产品，
等级产品的件数为 4，分别记为 1， 2， 3， 4，
等级产品的件数为 1，记为 ．
从这 5 件产品中任意抽取 2 件产品，所有的可能情况有 1, 2 ， 1, 3 ， 1, 4 ，
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1, ， 2, 3 ， 2, 4 ， 2, ， 3, 4 ， 3, ， 4, ，共 10 种．
事件“抽取的 2 件产品都是 等级”包含的可能情况有 1, 2 ，
1, 3 ， 1, 4 ， 2, 3 ， 2, 4 ， 3, 4 ，共 6 种，
故所求概率为 = 6 310 = 5．
18.解：(1)因为 ( ) = + 1 ( > 0, ≠ 1)是定义域为 的奇函数，所以 (0) = 0，
所以 1 + ( 1) = 0，所以 = 0，经检验，当 = 0 时， ( )为 上的奇函数．
(2)由(1)知： ( ) = 1 ( > 0, ≠ 1)，
因为 (1) < 0，所以 1 < 0，又 > 0 且 ≠ 1，所以 0 < < 1，
则函数 = 与 = 1 均为 上的单调递减函数，
1
所以 ( ) = 是 上的单调递减函数，
又 ( )是定义域为 的奇函数，
所以 2 + + (1 ) < 0 2 + < ( 1) 2 + > 1，
> 1 + 1 ， ∈ [2,3]，max
令 ( ) = 1 + 1，又 ( )在区间[2,3]上单调递减，
所以 ( ) 3的最大值为 (2) = 2，
3
所以 > 2．
(3) (1) 1由 知： ( ) = ( > 0, ≠ 1)，
因为 (1) = 3 1 3 12，所以 = 2，解得 = 2 或 = 2 (舍去)，
2
所以 ( ) = 22 + 122 2 2
1 12 = 2 2 2 2
12 + 2，
令 = ( ) = 2 12 ，则 ( ) =
2 2 + 2，
( ) = 2 1 3因为 2 在 上为增函数，且 ≥ 1，所以 ≥ (1) = 2，
因为 ( ) = 22 + 122 2 ( )在 ∈ [1, + ∞)上最小值为 2，
所以 ( ) = 2 2 + 2 3在 2 , + ∞ 上的最小值为 2，
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因为 ( ) = 2 2 + 2 = ( )2 + 2 2的对称轴为 = ，
3
所以当 ≥ 2时， ( )min = ( ) = 2
2 = 2，解得 = 2 或 = 2(舍去)，
3
当 < 2时， ( )
3 17
min = 2 = 4 3 = 2 =
25
，解得 12 >
3
2 (舍去)，
综上可知： = 2．
19.解：(1)取 = 1, = 1, = 1，
∵ ( ) = 3在[ 1,1]上单调递增，
∴ ( ) = 3在[ 1,1]上的最小值为 ( 1)，最大值为 (1)，且 ( 1) = 1 = 1 × ( 1), (1) = 1 = 1 × 1，
故函数 ( ) = 3是“倍缩函数”．
(2)取 = 2，
∵函数 ( ) = ln + 3 在[ , ]上单调递增，
ln + 3 = 2
若函数 ( ) = ln + 3 存在“2 倍值区间”，等价于存在 0 < < ，使得 ln + 3 = 2 成立，
等价于 ln + 3 = 2 至少有两个不相等的实根，
等价于 ( ) = ln 2 + 3 至少有两个零点，
∵ e 3 = 2e3 < 0, (1) = 1 > 0, (2) = ln2 1 < 0，且 ( )在定义内连续不断，
∴ ( )在区间 e 3, 1 , (1,2)内均存在零点，
故函数 ( ) = ln + 3 存在“2 倍值区间”．
(3) 1 8 8 8 1 4 对 , 1 2 1 2 1 21 2 ∈ 0, 2 ，且 1 < 2，则 1 2 = = ，4 21+1 4 2+1 4 2 22 1+1 4 2+1
∵ 0 ≤ < ≤ 11 2 2，则 1
2
2 < 0,1 4 1 2 > 0,4 1 + 1 > 0,4 22 + 1 > 0，
∴ 1 2 < 0，即 1 < 2 ，
1
故函数 ( )在 0, 2 上单调递增，
8
2 =
若函数 ( )存在“ 倍值区间”，即存在 0 ≤ < ≤ 1 , ∈ 2 ，使得
4 +1
8 成立，
4 2+1 =
8 1
即4 2+1 = 在 0, 2 内至少有两个不相等的实根，
∵ = 0 8 8 1是方程4 2+1 = 的根，则4 2+1 = 在 0, 2 内有实根，
∈ 0, 1 8若 2 ，则4 2+1 ∈ [4,8)，即 ∈ [4,8)，且 ∈
，
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∴ = 4,5,6,7，即 ∈ 4,5,6,7 ．
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