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2025-2026学年山东省潍坊第一中学高二上学期8月开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.下列说法正确的是( )
A. 底面是矩形的平行六面体是长方体
B. 正四面体的高为其棱长的倍
C. 用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形
D. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
6.若，且是第三象限角，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，，，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
10.已知是所在平面内一点，，，，则下列说法正确的是( )
A. 外接圆的半径为
B. 内切圆的半径为
C. 若是的外心，则在上的投影向量为
D. 若是的垂心，则在上的投影向量为
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，是线段上的动点，则( )
A. 存在点，使平面
B. 与为异面直线
C. 线段的最小值是
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱柱的高为，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 ．
13.已知，且，则 ．
14.设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式已知，则 ；若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数的部分图像，如图所示．

求函数的解析式；
将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间．
17.本小题分
已知直三棱柱，，，分别是边，的中点．

证明：平面；
若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值．
18.本小题分
如图，已知的内角，，所对的边分别为，，，面积记为，且，是的中点，点在线段上且，线段与线段交于点．
求角的大小；
若，求的值；
若，且点是的重心，求线段的最小值．
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.【答案】
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3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】由正弦定理可得：
由两角和的正弦公式．
因为在中，，则，
所以，
因为，所以，即，
又因为，所以．
已知，，，根据余弦定理代入可得：
，化简可得，
解得或舍
根据三角形面积公式可得．

16.【答案】【详解】由题图得，
因为，．
由，得，
所以，解得．
又因为，当时，．
又由，得．
故．
将的图像向右平移个单位，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图像．
由，，得，
当时，；当时，，
因为，所以函数在区间上的单调递增区间为，

17.【答案】【详解】证法一：如下图所示，取中点，连接，，
是的中点， 为的中位线，
且，
又且，且，
四边形为平行四边形，．
又平面，平面，平面；

证法二：如下图所示，取中点，连接，，
是的中点，为中位线，，
又平面，平面，平面．
在三棱柱中，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
，平面，平面平面，
又平面，平面；

如下图所示，连接，
是直三棱柱，平面，
平面，．
，，平面，
平面，就是在平面内的射影，
即为与平面所成的角．
，
，当且仅当时等号成立．
在中，．
故的最大值为．


18.【答案】【详解】因为，则，
可得，
则，可得，
又因为，则，
则，所以；
由题意可得：，，
由、、三点共线得，
由、、三点共线可得，
则，解得
可得，可得
所以；
由重心定义得，则，
又因为，可得，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
即，所以线段的最小值为．

19.【答案】【详解】因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以．
由知，
所以
，
即．
因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由得
．
令，则
因为，所以，则
又，
即，
所以，．
已知恒成立，即对恒成立．
因为时，，所以对恒成立．
令，单调递增，
当时，．
所以，即实数的取值范围是．

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