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1.5全称量词与存在量词
第2课时
数学
第一章 集合与常用逻辑用语
、情境引入，温故知新
1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？
全称量词：短语“所有的””任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符“ ”表示.
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x).
2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x).
探究一 全称量词命题的否定
阅读课本第28~29页，并回答下列问题
1.什么是命题的否定？
提示：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
2．写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
,.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示：（1）存在一个矩形不是平行四边形.
（2）存在一个素数不是奇数.
（3）存在x∈R，x+|x|＜0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
3.怎样表示全称量词命题的否定？
提示：全称量词命题： x∈M,p(x).
它的否定：∈M，(x).
4.全称量词命题的否定形式是什么？
提示：全称量词命题的否定是存在量词命题.
全称量词的否定：
命题类型 全称量词命题
形式 x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x)
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题
探究二 存在量词命题的否定
阅读课本第30页，并回答下列问题
1.写出下列命题的否定：
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
（3）,.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示：（1）所有实数的绝对值都不是正数.
（2）每一个平行四边形都不是菱形.
（3） x∈R，.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
2.怎样表示存在量词命题的否定？
3.存在量词命题的否定形式是什么？
提示：存在量词命题的否定是全称量词命题。
提示 存在量词命题: x∈M , p(x).它的否定: x∈M, p(x).
存在量词命题的否定
命题类型 存在量词命题
形式 x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x)
结论 存在量词命题的否定是全称量词命题
题型一 全称量词的否定
例1　命题“ x>1,2x+1>5”的否定为(　　)
A. x>1,2x+1<5
B. x<1,2x+1<5
C. x>1,2x+1 5
D. x<1,2x+1 5
C
解析 由全称量词命题的否定为存在量词命题得“ x>1,2x+1>5”的否定为“ x>1,2x+1 5”.故选C.
跟踪训练1　命题“ x>2,都有x2 3>0”的否定是 (　　)
A. x 2,使得x2 30
B. x>2,都有x2 30
C. x>2,使得x2 30
D. x 2,都有x2 3>0
C
解析 命题“ x>2,都有x2 3>0”的否定是“ x>2,使得x2 3 0”,故选C.
例2　命题“ x>0,x2+3x+2>0”的否定是(　　)
A. x>0,x2+3x+2 0
B. x>0,x2+3x+2 0
C. x 0,x2+3x+2 0
D. x 0,x2+3x+2 0
B
解析 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知,
命题“ x>0,x2+3x+2>0”的否定是“ x>0,x2+3x+2 0”.故选B.
题型二 存在量词命题的否定
跟踪训练2　若命题p: x∈R,x+2 0,则命题p的否定是(　　)
A. x∈R,x+2>0　　　　 B. x∈R,x+2 2
C. x∈R,x+2 0 D. x∈R,x+2>0
解析 因为命题p: x∈R,x+2 0是存在量词命题,
所以其否定是全称量词命题,即 x∈R,x+2>0,故选D.
D
跟踪训练3　命题p:“ x∈R,<0”的否定是　　 　.
解析 由存在量词命题的否定,命题p的否定为“ x∈R,>0或x=1”.
x∈R,>0或x=1
1.若命题p为 x>0,x2+1>0,则p为(　　)
A. x0,x2+10 B. x0,x2+1>0
C. x>0,x2+10 D. x>0,x2+10
解析 全称量词命题的否定,一变量词,二否结论,原命题的否定是 x>0,x2+10.故选D.
D
2.命题“ x∈R,x2>10”的否定为(　　)
A. x∈R,x210
B. x∈R,x210
C. x R,x210
D. x R,x210
B
解析 因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“ x∈R,x2>10”的否定为“ x∈R,x210”.故选B.
3.若命题p:存在实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0有实根,则命题p的否定是(　　)
A.存在实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0无实根
B.不存在实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0有实根
C.对任意实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0无实根
D.至多有一个实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0有实根
解析 命题p:存在实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0有实根,为存在量词命题,其否定为对任意实数m,使关于x的方程x2+mx 1=0无实根.故选C.
C
4.若命题p:实数的平方不全是非负数,则下列结论正确的是(　　)
A. p是假命题 B. p是存在量词命题
C. p是全称量词命题 D. p不是命题
解析 根据命题p的描述有“ x∈R，使x2<0”,易知为假命题,则 p为“ x∈R，都有x2 0”,为全称量词命题且为真命题.故选C.
C
5.若命题p: x∈{x|1 x 2},a x+1,命题q: x∈R,2x2+5x+a=0,p的否定是假命题,q是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析 由 x∈{x|1x2},a x+1,得a 3,因为p的否定是假命题,所以p是真命题,所以得a 3;
因为 x∈R,2x2+5x+a=0,即方程2x2+5x+a=0有实根,则Δ=25 8a 0,解得a .
又因为q是真命题,所以a .
因此,由p是真命题,q也是真命题,可得3 a .
3a
命题类型 全称量词命题
形式 x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x)
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题
命题类型 存在量词命题
形式 x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x)
结论 存在量词命题的否定是全称量词命题
必做题：完成教材第31页练习第1,2题.
选做题：完成教材第31~32页习题1.5.

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