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2025-2026学年华东师范大学第二附属中学高一上学期9月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.下列命题中正确的( )
A. 与表示同一个集合；
B. 方程的所有解的集合可表示为；
C. 由，，组成的集合可表示为或；
D. 很小的实数可以构成集合．
3.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.设是均含有个元素的集合，且，记，则中元素个数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集为，集合，则 ．
6.若集合，则
7.“若，则”为 命题．填“真”、“假”
8.设，若集合，则 ．
9.已知集合，，若，则实数 ．
10.已知集合，，那么 ．
11.若集合，，则 ．
12.设集合满足，则满足条件的有 个．
13.已知全集，且，，，则集合 ．
14.已知集合各元素之和等于，则实数
15.已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”给出如下集合：
； ；
； ．
其中是“对称对点集”的序号为 写出所有正确的序号
16.记表示不超过的最大整数，现已知集合是正整数集的子集，且满足：，并有如下性质：若，则，则集合的非空子集的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
集合，．
若，求，；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知全集，
命题甲：已知集合；
命题乙：已知集合，且．
求；
若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
判断集合是否为封闭集，并说明理由；
判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.假
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.【详解】对于集合，解得：或，所以，
因为，所以，那么可能是，也可能是，或，
对于
当时，方程变为，方程无解，此时，满足；
当时，解方程，解得，即，
若，则，解得；若，则，解得；
若，则不可能同时等于，这种情况不成立；
综上，实数的取值范围
因为，所以，那么可能是，也可能是，或，
对于集合，
其方程的判别式
当时，，即，解得：；
当是单元素集时，，即，解得：或，
当时，方程变为，
解得，此时，满足，
当时，方程变为，
解得，此时，不满足，舍去；
当时，是方程的两个根，
根据韦达定理可得
，即
解第一个方程得，解第二个方程得，两个方程的解不一致，这种情况不成立．
综上，实数的取值范围．

18.【详解】若，，．
则，．
因为是的必要条件，所以．
所以．

19.【详解】因为，所以，
当时，由，得，符合，
当时，由得，解得，即，
综上，的取值范围为；
当时，，此时，不符合题意；
当时，由得或，所以，
当时，，要使得，则，解得，
当时，，要使得，则，解得，
综上，的取值范围为．

20.【详解】由得或；
当命题乙是真命题时，方程无正数解，
当方程无解时，即，得，解得；
当方程有唯一解时，即，得，解得或，
当时，此时方程为，解得，不符合条件；
当时，此时方程为，解得，符合条件；
当方程有两个解时，即，得，解得或，
当两个解为负时，则满足，解得，
所以
综上所述，实数的取值范围是．
当命题甲是真命题时，由题意得，解得，可知当命题甲是假命题时，或；
由可知命题乙是真命题时，，可知当命题乙是假命题时，；
当甲为真且乙为假时，，当甲为假且乙为真时，，
综上所述，命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为．

21.【详解】对于集合因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，
所以集合不是封闭集．
对命题：令，
令，则，
因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集，
取，则，而，
因此集合不是封闭集，命题是假命题；
对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集，
则，同理，因此，
所以是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题．
非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
设，在中任取一个，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合，
所以的补集不是封闭集．

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