资源简介

2024-2025学年江西省景德镇一中高一上学期期末测试数学试卷(C)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 3sin cos , ∈ ，若 ( ) ≥ 1，则 的取值范围是( )
A. | + 3 ≤ ≤ + , ∈
B. |2 + 3 ≤ ≤ 2 + , ∈
C. | + 6 ≤ ≤ +
5
6 , ∈
D. |2 + ≤ ≤ 2 + 5 6 6 , ∈
2.已知角 , ∈ 0, π ，tan( + ) = 12，cos =
7 2
10 ，则 2 + =( )
A. π4 B.
π 4π 9π
3 C. 3 D. 4
3 π.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , , = 6 , = 6，若 有两解，则 的取值范围是( )
A. (3,6) B. (3 3, 6 3) C. (3 3, 6) D. (3,6 3)
4.如图，在 中，设 = , = , = 2 , = 4 ，则 =( )
A. 11 8 2 8 11 8 2 8 15 15 B. 3 15 C. 15 + 15 D. 3 + 15
5.若向量 , 的夹角为3，| 2
| = | + |，若 ⊥ ( + )，则实数 =( )
A. 1 1 3 32 B. 2 C. 2 D. 2
6.在 中，已知 sin sin = cos2 2，则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
7.已知函数 ( ) = + 5π的图象的一条对称轴是 = 3 ，则函数 ( ) = + 的最大值是( )
A. 2 2 B. 2 3 4 2 63 3 C. 3 D. 3
第 1页，共 9页
8 π.如图，在四边形 中， ⊥ , ∠ = ∠ = 3 , = 8, = 16，点 在边 上，且 ⊥ ，
点 为边 (含端点)上一动点，则 的最小值为( )
A. 36 B. 39 C. 45 D. 48
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin 2 π6 sin
4 + cos4 ，则下列关于函数 ( )的说法正确的是( )
A.函数 ( ) 2π在 3 , π 上单调递增
B. π函数 ( )的图象可以由 = sin2 图象向左平移12个单位长度得到
C. ( ) = π6
D.若函数 = ( ) + 12在[ , ]上至少有 11 个零点，则 的最小值为 5π
10.下列命题中，正确的是( )
A.在 中，若 sin < cos ，则 为钝角三角形
B. π已知函数 ( ) = sin + 3 cos ，则 ( )的最小正周期是2
C.在 中，若 cos = cos ，则 是等腰直角三角形
D. , ∈ 0, π 2sin( + ) = sin sin cos( + ) + sin( + )已知 2 ， ，则 sin sin cos cos 的最小值为 2 1
11.已知 外接圆的圆心为点 ，半径为 ，下列说法正确的是( )
A.若| | = 3，则 = 32
B.若 = + ，则 1在 上的投影向量为 2

C.若 = 1 + ( ∈ ) 1 3，当 取最小值2时， = 2
D. π若 为锐角三角形， = 1, = ，则 + 6
7的取值范围为 2 , 2 + 3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
12.已知向量 = (2,0)， = sin , 3 2 ，若 在 上的投影向量 =
1
2 , 0 ，则向量 与 的夹角为 ．
第 2页，共 9页
13.在 中，∠ 的平分线为 , 与 交于点 , cos∠ = 34， = 5, = 2，则 = ．
14.已知函数 ( ) = sin( + )(其中 > 0, | | < π2 ). 为 ( )
1 1
的最小正周期，且满足 3 = 2 .若函
数 ( )在区间 0, π 上恰有一个最大值一个最小值， 的取值范围是 ．
15.如图，边长为 4 的正方形 中，半径为 1 的动圆 的圆心 在边 和 上移动(包含端点 , , )，
是圆 上及其内部的动点，设， = + , ∈ R ，则 + 2 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
3
已知向量 = cos2 , 2 sin
1
2 cos ， = 1,
3 1
2 sin 2 cos ，设函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的最大值，及取得最大值时 取值的集合；
(2)设 ， 3 1， 为锐角三角形 的三个内角，若 cos = 5， ( ) = 4，求 cos 的值．
17.(本小题 12 分)
如图， 的内角 , , 的对边分别为 , , , 是边 的中点，点 在边 上，且满足 = 2 , 与
交于点 ．
(1)试用 , 表示 和 ；
(2) π若 = 3 , = 3,
= 15，求 ．
18.(本小题 12 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 4 cos = cos + cos ．
(1)若 = 4， 的面积为 15，求 ， 的值；
(2)若 sin = sin ( > 0)，且角 为钝角，求实数 的取值范围．
19.(本小题 12 分)
第 3页，共 9页
如图是函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < | | < π2 )图象的一部分
(1)求函数 ( )的解析式；
2
(2)若关于 ( ) π的方程 4 + 2 sin 2 6 2 + 2 = 0 在 0,
π
3 上有解，求实数 的取值范围．
20.(本小题 12 分)
锐角 面积为 ，角 , , 的对边分别为 , , ，且( 2 2)sin = 2 ．
(1)求证： = 2 ；
(2) + 求 的取值范围．
21.(本小题 12 分)
已知函数 = ( )， ∈ ，若对于任意实数 , , ∈ ， ( )， ( )， ( )都能构成三角形的三条边长，则
称函数 = ( )为 上的“完美三角形函数”．
(1)试判断函数 ( ) = cos2 + sin + 154是否为 上的“完美三角形函数”，并说明理由；
(2)设向量 = 2 sin , 2cos ， = cos , 2 cos ，若函数 ( ) = 2 + 1 为 0, π4 上的“完美三角
形函数”，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 ( ) = sin 2 + π π6 为 6 , ( 为常数)上的“完美三角形函数”.函数 ( )的图象上，是否存在不
同的三个点 1 1, 1 ( = 1,2,3)，满足 1 + 3 = 2 2， 1 + 3 = 3 2 ？若存在，求 cos 1 3
的值；若不存在，说明理由．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.π3
13.5 147
14. 11 , 176 6 ．
15. 1 54 , 3 +
5
4
2
16.解：(1)由题意可得： ( ) = = cos2 + 3 sin 12 2 cos = cos2 +
3
4 sin
2 32 sin cos +
1
4 cos
2
3 3 1
= cos2 + 8 1 cos2 4 sin2 + 8 1 + cos2
= 34 cos2
3 sin2 + 1 = 3 π 14 2 2 cos 2 + 6 + 2，
π
可知当 2 + 6 = 2 π, ∈ ，即 = π
π 1 3
12 , ∈ 时，函数 ( )取到最大值2 + 2 ，
( ) 1+ 3 π所以函数 的最大值为2 2 ，此时 取值的集合为 | = π 12 , ∈ ．
(2) 3 π 1 1 π 3因为 ( ) = 2 cos 2 + 6 + 2 = 4，即 cos 2 + 6 = 2 ，
∈ 0, π 2 + π ∈ π , 7π π 5π π且 2 ，则 6 6 6 ，可知 2 + 6 = 6 ，即 = 3，
3 π 4
又因为 cos = 5， ∈ 0,
2
2 ，则 sin = 1 cos = 5，
第 5页，共 9页
所以 cos = cos( + ) = cos cos + sin sin = 3 × 1 4 3 4 3 35 2 + 5 × 2 = 10 ．
17.解：(1)因为 = 2 ，所以 = = 2 3 ，
设 = = + 2 ，所以 = + 2 + 2 = + 4 3 3 3 3 ，
又 , , 4 3三点共线，所以3 + 3 = 1，解得 = 5，
= 3所以 5 +
2
5 ．
(2) 1 1因为 = + = + = 1 1 3 2 3 + 2
= 1 12 6
，

设 = = 12 + =
1
2 +
1 = 1 32 2 + 4 ，
又 , , 3 4 2 2三点共线，所以2+ 4 = 1，解得 = ，所以
= 5 5 + 5 ，
所以 = 1 1 2 + 2 = 1
2
1
2 2
2 6 5 5 5 15 + 15
，
又 = π , = 3, = 1 1 2 1 × 32 + 2 × 3 × 1 13 5，即5 15 15 2 = 5，
即 2 + 2 = 0，解得 = 1 或 = 2(舍去)．
18.解：△ 中，4 = + ，
∴ 4 = + = sin( + ) = ，
∴ = 14，
∴ = 1 cos2 = 154 ；
(1) = 4，
∴ 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 12 = 16①；
又△ 的面积为：
1 1 15△ = 2 = 2 4 = 15，
∴ = 8②；
由①②组成方程组，解得 = 4， = 2 或 = 2， = 4；
(2)当 = ( > 0)， = ，
第 6页，共 9页
∴ 2 = 2 + 2 2 = ( )2 + 2 2 14 = (
2 12 + 1)
2；
又 为钝角，则 2 + 2 < 2，
即( 2 12 + 1) +
2 < 1，解得 0 < < 14；
1
所以 的取值范围是(0, 4 )．
19.解：(1)由图可得 = ( )max = 2，
π π 2π 2π
函数 ( )的最小正周期为 = 4 × 3 12 = π，则 = = π = 2，
所以 ( ) = 2sin(2 + ) π，因为 12 = 2sin +
π
6 = 2，
则 sin + π6 = 1，因为 0 < | | <
π π π π
2，所以 + 6 = 2，解得 = 3，
π
所以 ( ) = 2sin 2 + 3 ．
2
(2) ( )由 4 + 2 sin 2
π
6 2 + 2 = 0，
π
可得sin2 2 + 3 + 2 sin 2 +
π π3 2 2 + 2 = 0，
π
即sin2 2 + 3 2 cos 2 +
π
3 2 + 2 = 0，
即 1 cos2 2 + π3 2 cos 2 +
π
3 2 + 2 = 0，
cos2 2 + π + 2 cos 2 + π + 2 3 = 0 ∈ 0, π即 3 3 ，其中 3 ，
∈ 0, π π因为 3 ，则3 < 2 +
π
3 < π
π
，令 = cos 2 + 3 ∈ 1,
1
2 ，
1
则有 2 + 2 + 2 3 = 0，则关于 的方程 2 + 2 + 2 3 = 0 在 1, 2 上有解，
2
由 2 + 2 + 2 3 = 0 可得 2 = 3 +1，
3 2
令 = + 1 ∈ 0, 2 ，则 2 =
3 ( 1) 2
= + 2，
因为 = 2 ， = 2
3
在 0, 2 上均为减函数，
所以函数 ( ) = 2 + 2 0,
3
在 2 上为减函数，且当 趋向于 0 时， ( )趋向于正无穷大，
则 ( ) > 3 = 11 2 > 11 11 112 6，所以 6，解得 > 12，故实数 的取值范围是 12 , + ∞ ．
第 7页，共 9页
20.解：(1)由( 2 2)sin = 2 可得( 2 2)sin = 2 × 12 sin ，
∵ ∈ 0, π , ∴ sin ≠ 0，故 2 2 = ，
2 2 2 2
cos = + = + +
2+ 2= cos =
2 2
2 2 2 ， 2 = 2 = 2 ，
2 2 2 2 2
由于 cos2 = 2cos2 1 = 2 + 1 = + +2 1 = + +2 1 = + 2 2 2 2 2+ 2 1 = 2 = cos ，
由于 为锐角三角形，因此 2 ∈ 0, π , ∈ 0, π2 ，故 = 2 ．
(2) + = sin +sin = sin2 +sin π 3 = 2sin cos +sin cos2 +sin2 cos 2 sin sin sin = 2cos + cos2 + 2cos = 4cos
2 +
2cos 1，
0 < < π2
0 < 2 < π π π 2 3由于 2，所以6 < < 4，故 2 < cos < 2 ，
0 < π 3 < π2
2
4cos2 + 2cos 1 = 4 cos + 1 54 4 ∈ 2 + 1, 3 + 2 ．
21.解：1) ( )是 上的“完美三角形函数”．
15 19 1 2
( ) = cos2 + sin + 4 = sin
2 + sin + 4 = sin 2 + 5
因为 1 ≤ sin ≤ 1，所以 ( )max = 5, ( )
11
min = 4．
所以 2 ( )min > ( )max．
因为“2 ( )min > ( )max”是“ = ( )为 上的“完美三角形函数”的充要条件，
所以函数 ( ) = cos2 + sin + 154是 上的“完美三角形函数”．
(2)因为 ( ) = 2 + 1，
所以 ( ) = 2 sin cos + 4 cos2 2 + 1
= sin2 + 2 cos2 + 1 = 5 sin(2 + ) + 1．
sin = 2 5 , cos = 5且 5 5 ．

因为 ∈ 0, 4 ，所以 2 + ∈ , + 2 ．
所以 sin(2 + ) 1 5的最大值为 ，最小值为 5 ．
①当 > 0 时， ( )max = 5 + 1, ( )min = + 1
第 8页，共 9页
+ 1 > 0
由 2( + 1) > 5 + 1，得 0 < < 5 + 2．
②当 = 0 时， ( ) = 1，满足题意．
③当 < 0 时， ( )max = + 1, ( )min = 5 + 1
5 + 1 > 0 2 5+1由 ，得 < < 0．
2( 5 + 1) > + 1 19
2 5+1
综上，实数 的取值范围是 19 , 5 + 2 ．
(3)因为 ( ) = sin 2 + 6 , ∈ 6 , ，则 2 + ∈
, 2 + 2 6 ，所以 ( )max = 1，
由 2 ( ) 1 5 min > ( )max，得 ( )min > 2，则 2 + 6 < 6，又因为 > 6，故6 < < 3．

假设存在满足题意的三个点 , ( = 1,2,3), ∈ 6 , ，则 1 + 3 = 2 2，

且 sin 2 1 + 6 + sin 2

3 + 6 = 3sin 2

2 + 6 ，
所以 sin 1 + 3 + 6 + 1 3 + sin 1 + +

3 6 1 3 = 3sin 2 2 + 6 ，
所以 2sin + + 1 3 6 cos 1 3 = 3sin 2 2 +

6 ．

即 2sin 2 2 + 6 cos 1 3 = 3sin 2 +

2 6 ．
1
因为 ( )min > 2，所以 sin 2 2 + 6 ≠ 0．
所以 cos 31 3 = 2 ．

因为 1, 3 ∈ 6 , 6 ,

3 ，所以 1 3 ∈

6 , 6 ．
3 3
所以 cos 1 3 ∈ 2 , 1 ，与 cos 1 3 = 2 矛盾．
故不存在点 , ( = 1,2,3)满足题意．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑