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2024-2025 学年江西省九江第一中学高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 2 2 ≤ 0 ， = = ln( 1) ，则 ∩ =( )
A. [ 1,2] B. (1,2] C. (2, + ∞] D. [2, + ∞)
2.函数 ( ) = lg + 2 5 的零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
3.若函数 ( )的定义域是[ 3,2] ( +1)，则函数 ( ) = 1 的定义域是( )
A. [ 4,1] B. [ 3,1] C. [ 3,1) D. [ 4,1)
4.已知 = log 0.20.23， = 0.3 ， = lnπ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A.若 ， 是对立事件，则 ( ) = 1
B. 1 1 1若 ， 是互斥事件， ( ) = 3 , ( ) = 2，则 ( + ) = 6
C. 1 1 1若 ( ) = 3 , ( ) = 2，且 ( ) = 3，则 ， 是独立事件
D. 1 2 1若 ， 是独立事件， ( ) = 3 , ( ) = 3，则 ( ) = 9
3 6.函数 ( ) = ee2 1的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
3 + 2, ≤ 0,7.已知 > 0，且 ≠ 1，则“2 < < 2”是“函数 ( ) = 2 ( 2) + 2 , > 0在 上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8 +4.已知函数 ( ) = log3 +3在区间( 1,3]上单调递减，则实数 的取值范围是( )
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A. ∞, 4 B. 43 3 , 4 C.
4 4 4
3 , 3 D. 3 , 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数据 1, 2, , 10的平均数为 3，方差为 4，则下列说法正确的是( )
A.数据 4 1 + 1,4 2 + 1, , 4 10 + 1 的平均数为 13
B.数据 3 1, 3 2, , 3 10的方差为 12
C. 10 =1 = 30
D. 10 2 =1 = 130
10.已知定义在 上的函数 ( )在( ∞,2]上单调递增，且 ( + 2)为偶函数，则( )
A.直线 = 2 是 ( )的对称轴
B. (2,0)是 ( )的对称中心
C. ( 1) > (4)
D.不等式 ( + 3) > (4 )的解集为 ∞, 15 ∪ (1, + ∞)
1
11 ( ) = |( 2 ) 1|, ≤ 1.已知函数 若函数 = ( ) 有四个零点，从小到大依次为 1, 2, 3, 4，则
|log4( 1)|, > 1
下列说法正确的是( )
A. 1 + 2 > 0
B. 3 + 4的最小值为 4
C. 2 < 2 + 4 ≤ 4
D.方程 [ ( )] = 0 最多有 10 个不同的实根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.当 > 0 且 ≠ 1 时，函数 = 2 + 4 的图象一定经过定点
13.已知函数 ( ) = 2 + + 4，且关于 的不等式 ( ) < 0 的解集为(1, ).当 ∈ (0,1)时， ( ) > 0
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
14.定义在( 1,1)上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) ( ) + 1，对任意的 1, 2 ∈ ( 1,1), 1 ≠ 2，恒有
1 2 1 2 > 0，则关于 的不等式 (2 + 1) + ( ) > 2 的解集为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { 2 < < 4}，集合 = { 1 < < 2}．
(1)若 ∩ = ；求实数 的取值范围；
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(2)命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 是 的充分条件，求实数 的取值集合．
16.(本小题 15 分)
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出
100 名学生的成绩(满分为 100 分)，按分数分为[ 40,50)，[ 50,60)，[ 60,70)，[ 70,80)，[ 80,90)，[ 90,100 ]，
共 6 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并求这 100 名学生成绩的平均数和中位数(保留一位小数)；
(2)现采用分层抽样的方式从[ 50,60)和[ 70,80)的学生中抽取 6 名学生参加运动交流会，大会上需要从这 6
名学生中随机抽取 2 名学生进行经验交流发言，求抽取的 2 名发言者分数差大于 10 分的概率．
17.(本小题 15 分)
在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生
2 1 1 1 1
去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是 ，3，2，答对第二题的概率分别是3，2，2 .已知甲和丙都答对
1
第一题的概率为3，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
18.(本小题 17 分)
1
已知定义域为 R 的函数 ( ) = 2 + 2 +1是奇函数．
(1)求 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性并证明；
(3)若关于 的不等式 ( 2 2 + 4) + ( 2 3 ) ≤ 0 在 ∈ (1,3)有解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = log 4 4 + 1 log42 ， ( ) = log 1
2
4 2 3 ．
(1)若 ∈ ，对 ∈ [ 1,1]，使得 + 4 2 2 1 2 1 2 ≥ 0 成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ( )与 ( )的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2,5)
13. ≤ 0
14. 13 , 0
15.解：(1) ∵ ∩ = ，∴当 = 时， 1 ≥ 2，解得： ∈ ．
当 ≠ 时， 1 ≥ 4 或 2 ≤ 2，∴ 2 ≤ ≤ 2或 ≥ 5．
(2) ∵ ∈ 是 ∈ 的充分条件，∴ ，
∴ 1 ≤ 2 2 ≥ 4，解得： ≤ 2 或 2 ≤ ≤ 3．
所以实数 的取值集合为 ≤ 2 或 2 ≤ ≤ 3
16.解：(1)(0.005 + 0.015 + 0.020 + 0.030 + + 0.005) × 10 = 1，解得 = 0.025，
平均数为 45 × 0.05 + 55 × 0.15 + 65 × 0.20 + 75 × 0.30 + 85 × 0.25 + 95 × 0.05 = 72，
0.1
中位数为 70 + 0.3 × 10 ≈ 73.3 分；
(2)在[ 50,60) 0.015中抽取 6 × 0.015+0.030 = 2 人，记为 1, 2；
在[ 70,80)中抽取 6 2 = 4 人，记为 1, 2, 3, 4.所有的取法为：
1 2, 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4, 3 4共 15 种．
1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4，满足条件的有共 8 种．
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8
所求概率为15．
17.解：(1) 1 1 2由题知：甲和丙都答对第一题的概率为 × 2 = 3，则 = 3；
2 1 2
记“甲进入决赛”为事件 ，由题知： ( ) = 3 × 3 = 9；
(2)记“乙进入决赛”为事件 ，记“丙进入决赛”为事件 ，
( ) = 2 × 1 = 1 1 1 1由题知： 3 2 3； ( ) = 2 × 2 = 4；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 29 ×
1 × 3+ 2 2 1 7 1 1 173 4 9 × 3 × 4+ 9 × 3 × 4 = 108．
18. 1 1解：(1)由 ( )为定义在 R 上奇函数，可知 0 = 0，解得 = 1.则 ( ) = 2+ 2 +1，

= 1 + 1 = 1+ 2 = 1 2 +2×2

= 1+2
2 +1 2 1 1
2 2 +1 2 1+2 2 1+2 2 1+2 = 2 1+2 = 2 2 +1 = ( )，故 = 1．
(2)由 = 2 + 1 单调递增可知 ( ) = 1+ 12 2 +1在 R 上为减函数，证明如下：
对于任意实数 1， 2 ∈ ，不妨设 1 < 2，
1 1 2 2 2 1
1 2 = 2 +1 1 2 2 +1 = 2 1 +1 2 2 +1
∵ = 2 递增，且 1 < 2，∴ 2 1 < 2 2，∴ 1 2 > 0，∴ 1 > 2 ，
故 ( )在 R 上为减函数．
(3)由 ( )为奇函数得： 2 2 + 4 + 2 3 ≤ 0，等价于 2 3 ≤ 2 2 + 4 ．
又由 ( )在 R 上为减函数得： 2 3 ≥ 2 2 + 4，即 3 ≤ 2 + 4；
∈ 1,3 3 ≤ 4因为 ，所以 + 1.原问题转化为 3 ≤
4
+ 1 在 ∈ 1,3 上有解，
∵ 4 + 1 = + 4 + 1 ≤ 2
4 4
+ 1 = 3，当且仅当 = ，即 = 2 时，等号成立，
∴当 = 2 4时， = + 1 取得最大值 3．∴ 3 ≤ 3，解得 ≤ 1，
∴ 的取值范围是 ∞, 1 ．
19.解：(1) 1 + 4 2 2 2 ≥ 0，即 1 ≥ 2 2 4 2，
若 ∈ ，使得 + 4 1 1 2 2 2 ≥ 0 成立，只需要 ( )min ≥ 2 2 4 2成立．
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因为 ( ) = log 4 4 + 1 log42 = log
4 +1
4 2 = log4 2
+ 12 ，
1 1
由基本不等式可得2 + 2 ≥ 2 2 2 = 2，当且仅当 = 0 时，等号成立，
所以， ( )min = (0) = log42 =
1 2 2 1
2，则 2 4 ≤ 2，
∈ [ 1,1] 1 1因为 2 ，令 = 2 2 ∈ 2 , 2 ，分离参数可得 ≤ 2 + ，
令 ( ) = + 1 12 ，其中 ∈ 2 , 2 ，
( ) 1 2 2函数 在 2 , 2 上单调递减，在 2 , 2 上单调递增，
故 ( ) 1max = max 2 , (2) = (2) =
9 9
4，∴ ≤ 4．
9所以实数 的取值范围为 ∞, 4 ．

(2)由(1)可得 ( ) = log 4 + 1 log 2 4 4 = log
4 +1
4 2 = log4 2
+ 12 ，
由题意知，方程log 4 2 + 2 = log4 2 1
2
3 有且只有一个实根，
即方程2 + 2 = 2 1 23 有且只有一个实根，
令 = 2 > 0，则方程 + 1 2 = 2 3 有且只有一个正根，

即方程 2 1
2 2 23 1 = 0 有且只有一个正根，构造函数 ( ) = 1
2
2 3 1．
4 3
①当 = 2 时， ( ) = 3 1，令 ( ) = 0，解得 = 4，不合乎题意；
②当 < 2 时，则2 1 < 0
2
，二次函数 ( )的图象开口向下，对称轴为直线 = 3( 2)，
2
Δ = 2 + 4 1 = 4 23 2 9 + 2 4 =
2 2 2
9 2 + 9 18 = 9 (2 3)( + 6)，
由于 (0) = 1 < 0 2，要使得方程 2 1
2 3 1 = 0 有且只有一个正根，
= 0
则 2 > 0，解得 = 6；3( 2)
③当 > 2 时，则2 1 > 0, =
2
9 (2 3)( + 6) > 0，
2
设方程 22 1 3 1 = 0 的两根分别为 1， 2，
2
由韦达定理可得， 1 2 = 2 < 0
2
，则方程 22 1 3 1 = 0 有且只有一个正根．
综上所述，实数 的取值范围是{ 6} ∪ (2, + ∞)．
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