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上海实验2025-2026学年第一学期高二年级数学周练1
2025.9
一、填空题（每题4分，满分40分）
1．若集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为________.
2．若角的终边过点，则 ．
3．数列的前n项和，则其通项公式 .
4．若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围为_____.
5．已知关于的不等式恒成立，则的最大值为________.
6．已知三角形ABC中， ，则_____.
7．若复数满足，则的最小值为________.
8．在长方体中，，，的中点为，为线段上的动点.若直线与底面（仅含内部与边界）的交点为，则的轨迹长度为___.
9．设等差数列的前项和为，公差为，若数列也是公差为的等差数列，则的通项公式为_______.
10．若存在实数，使不等式能对任意恒成立，则实数m的取值范围是 .
二、选择题（每题4分，满分16分）
11．已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（ ）
A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交
C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行
12．用二分法求函数的一个零点的近似值（四舍五入精确到0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，.则下列说法正确的是（ ）
A．下一步应该计算，且只需要再计算一步
B．下一步应该计算，且只需要再计算一步
C．下一步应该计算，且需要再计算两步或以上
D．下一步应该计算，且需要再计算两步或以上
13．设D为△ABC所在平面内一点, AD交BC于点E且，
则（ ）
A． B． C． D．
14．已知非零复数满足，记在复平面内对应的点分别为、，再以复平面的原点为圆心，为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点位于圆内，点位于圆外 B．点位于圆外，点位于圆内
C．点、均位于圆内 D．点、均位于圆外
三、解答题（满分44分，第15、16题满分10分，第17、18题满分12分）
15．设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
16．已知二次函数.
（1）若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；
（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围.
17．某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米.
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D E F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D E F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值.
18．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且； ②；
③．
（1）若数列是数列，求证：；
（2）若数列是数列，
（i）求；
（ii）猜测的通项公式，并用数学归纳法证明.
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．（本小问算作附加题，共5分）
四、附加题（满分30分，第18题（3）、19、20题各5分，第21题满分15分）
19．设，，若函数满足对任意恒成立，则满足要求的实数对的个数为_______.
20．已知平面向量 满足，，.若对任意恒成立，则的最小值为_______.
21．函数的表达式为.
（1）设，若存在实数，使在上恰有4个零点，求的取值范围；
（2）已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
上海实验2025-2026学年第一学期高二年级数学周练1
2025.9
一、填空题（每题4分，满分40分）
1．若集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为________.
【答案】
2．若角的终边过点，则 ．
【答案】
3．数列的前n项和，则其通项公式 .
【答案】
4．若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围为_____.
【答案】
5．已知关于的不等式恒成立，则的最大值为________.
【答案】
6．已知三角形ABC中， ，则_____.
【答案】
7．若复数满足，则的最小值为________.
【答案】
8．在长方体中，，，的中点为，为线段上的动点.若直线与底面（仅含内部与边界）的交点为，则的轨迹长度为_______.
【答案】
9．设等差数列的前项和为，公差为，若数列也是公差为的等差数列，则的通项公式为_______.
【答案】
10．若存在实数，使不等式能对任意恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】化为，临界为过和的线段与相切，解得，故
二、选择题（每题4分，满分16分）
11．已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（ ）.
A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交
C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行
【答案】B
12．用二分法求函数的一个零点的近似值（四舍五入精确到0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，.则下列说法正确的是（ ）.
A．下一步应该计算，且只需要再计算一步
B．下一步应该计算，且只需要再计算一步
C．下一步应该计算，且需要再计算两步或以上
D．下一步应该计算，且需要再计算两步或以上
【答案】A
13．设D为△ABC所在平面内一点, AD交BC于点E且，
则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．已知非零复数满足，记在复平面内对应的点分别为、，再以复平面的原点为圆心，为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）.
A．点位于圆内，点位于圆外 B．点位于圆外，点位于圆内
C．点、均位于圆内 D．点、均位于圆外
【答案】C
三、解答题（满分44分，第15、16题满分10分，第17、18题满分12分）
15．设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，设，所以，
所以，所以
（2）因为，，三点共线，，所以设，
又，所以，所以，
又，所以.
16．已知二次函数.
（1）若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；
（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，即或，
因为，所以，解得或4（舍去），所以.
（2）当即时，经检验满足题意；
当即或时，
由得即，经检验也符合题意；
综上的取值范围为
17．某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米.
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D E F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D E F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值.
【答案】（1），，最大值平方米；
（2），最小值米
【解析】（1）在中，，米，米，所以，，
因为，，所以，
在中，因为，则，故，所以在中，，
所以，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米；
（2）设正的边长为，因为，
则，，
在中，，，
因为为平角，所以，
所以，
所以在中，，
整理得（其中是满足的锐角），
所以的周长，
当时，的周长有最小值米
18．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且； ②；
③．
（1）若数列是数列，求证：；
（2）若数列是数列，
（i）求；
（ii）猜测的通项公式，并用数学归纳法证明.
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．（本小问算作附加题，共5分）
【答案】（1）证明见解析 （2）（i）0,0,0,1,1,1,1,2 （ii）见解析 （3）见解析
【解析】(1)由性质③，，即或
若，则，满足性质①；
若，则，与性质①矛盾；
故只可能有.
(2) (i)0,0,0,1,1,1,1,2
(ii)下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:若；
，，
因此，此时，，满足题意.
四、附加题（满分30分，第18题（3）、19、20题各5分，第21题满分15分）
19．设，，若函数满足对任意恒成立，则满足要求的实数对的个数为_______.
【答案】4047
20．已知平面向量 满足，，.若对任意恒成立，则的最小值为_______.
【答案】
21．函数的表达式为.
（1）设，若存在实数，使在上恰有4个零点，求的取值范围；
（2）已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）不存在，理由见解析
【解析】（1）.
（2）因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为任意，当时，都有且，
所以当时，在上有唯一的最大值，
由，得，，，
假设存在，使得成立，
即成立，
故当时，取得最大值；
当时，取得最大值，
由，可知 ①时，，
又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值，
故当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
由，可知 ②时，，
若成立，
则由①②得：，即，
因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立，
因此当时，不存在，使得成立.

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