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2024-2025学年江西省景德镇一中高一上学期期末考试数学试卷(A)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂为了对 40 个零件进行抽样调查，将其编号为 00，01，…，38，39.现要从中选出 5 个，利用下面
的随机数表，从第一行第 3 列开始，由左至右依次读取，选出来的第 5 个零件编号是( )
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A. 36 B. 16 C. 11 D. 14
2.在某次测量中得到的 样本数据如下 17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若， 样本数据恰好
是 样本数据都减 2 后所得数据，则 ， 两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数
3.若 0 < < 1， > 1 则函数 ( ) = 的图象一定经过( )
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
3
4 16 4. 81 =( )
A. 64 B. 8 C. 27 2727 27 64 D. 8
5 1.设 = 20.2, = ( 2 )
0.3, = log0.20.3，则 , , 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.如图所示， , , 表示 3 种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为 0.9,0.8,0.7，则系统的可靠
性是( )
A. 0.504 B. 0.994 C. 0.496 D. 0.06
7.已知某药店只有 ， ， 三种不同品牌的 95 口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的 95 口罩，
若甲、乙买 品牌口罩的概率分别是 0.2，0.3，买 品牌口罩的概率分别为 0.5，0.4，则甲、乙两人买相同
品牌的 95 口罩的概率为( )
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.26
8.已知函数 ( ) = 1 + 3 +1 ( ∈ )为奇函数，则下列叙述错误的是( )
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A. = 2
B.函数 ( )在定义域上是单调增函数
C. ( ) ∈ ( 1,1)
1
D.函数 ( ) = ( ) 3所有零点之和大于零
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为获得该校学生的身高(单位： )信息，按比例
分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为 50 的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为 170，方差
为 17；女生身高的平均数力 160，方差 30.下列说法中正确的是( )
A. 2样本中男生的人数为 30 B.每个女生入样的概率均为5
C.样本的平均数为 166 D.样本的方差为 22.2
10.下列各式化简运算结果为 1 的是( )
A. log53 × log32 × log25 B. lg 2 +
1
2 lg5
1
C. log 2 ( > 0 且 ≠ 1) D. ln3 (0.125)
3
11.已知定义在 上的函数 ( )的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ∈ ， ( ) = ( )；② 1, 2 ∈
(0, + ∞)，当 1 ≠
( ) ( )
2时，都有
1 2
> 0；③ ( 1) = 0.下列选项成立的( )2 1
A. (3) > ( 4) B.若 ( 1) < (2)，则 ∈ ( ∞, 3)
C. ( )若 > 0，则 ∈ ( ∞, 1) ∪ (0,1) D. ∈ ， ∈ ，使得 ( ) ≤
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.某校高一年级一名学生五次月考数学成绩(满分 100 分)分别为 78，82，86，90，96，则这名学生五次
月考数学成绩的第 60 百分位数为 ．
13 , > 0.已知函数 ( ) = + 1, ≤ 0，若 < ， ( ) = ( )，则 的取值范围是 ．
1
14 ( ) = 2 1, ≤ 0.设函数 , ( ) = log ( 1)( > 1).若函数 ( ) = ( ) ( )恰有 3 个零点，
( 2), > 0
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + 4, ≤ 0log , > 0
且点(4,2)在函数 ( )的图象上．
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(1)求函数 ( )的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 ( )的图象；
(2)求不等式 ( ) < 1 的解集；
(3)若方程 ( ) 2 = 0 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数(单位：百步)，绘制出如下频率分布直
方图：
(1)求直方图中 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；
(2)若该单位有职工 200 人，试估计职工一天行走步数不大于 13000 的人数；
(3)在(2)的条件下，该单位从行走步数大于等于 15000 的 3 组职工中用分层抽样的方法选取 6 人参加远足
拉练活动，再从 6 人中选取 2 人担任领队，求这两人均来自区间[150,170)的概率．
17.(本小题 15 分)
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利
地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有 5 次参加
科目二考试的机会(这 5 次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或 5 次都
没有通过，则需要重新报名)，其中前 2 次参加科目二考试免费，若前 2 次都没有通过，则以后每次参加科
目二考试都需要交 200 元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，
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3 2
每次通过的概率均为4，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为3 .现有一对夫妻同时报名参加驾驶
证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第 次通过”记为事件 ( = 1,2,3,4,5)，事件 =“丈夫参加科目
二考试不需要交补考费”，试用 或 ( = 1,2,3,4,5)的运算表示 ，并求 ( )的大小；
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
(3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 200 元的概率．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，
(1) 1若 = 2，求使不等式
2 + (1 ) < 0 对 ∈ 恒成立的 的取值范围；
(2) (1) = 3若 , ( ) = 2 + 2 2 ( )，且 ( )在[1, + ∞)上的最小值为 2，求 的值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = log2 ， ( ) = log2( + 1)， ∈ ．
(1)若 = 2，解关于 的方程 ( ) + ( ) = 0；
(2)设 ∈ ，函数 ( ) = ( ) + 在区间[2,8]上的最大值为 3，求 的取值范围；
(3)当 > 0 1时，对任意 ∈ 2 , 1 ，函数 = ( ) ( )在区间[ , + 1]上的最大值与最小值的差不大于 1，
求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.88
13. 34 , 1
14. 3 3, 3 5
15.解：(1)由 ( )的图象经过点(4,2)，
可得log 4 = 2，即 2 = 4，解得 = 2，
( ) = { + 4, ≤ 0则 log2 , > 0
,
函数 ( )的图象如下图：
(2) ( ) < 1 { ≤ 0 > 0即为 + 4 < 1或{log ,2 < 1
即 < 3 或 0 < < 2，
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则解集为( ∞, 3) ∪ (0,2)；
(3) ( ) 2 = 0 有两个不相等的实数根，
即有 = ( )的图象和直线 = 2 有两个交点，
由图象可得 2 ≤ 4，即 ≤ 2，
可得 的取值范围是( ∞, 2]．
16.解：(1)由题意得 20(0.002 + 0.006 + 0.008 + + 0.010 + 0.008 + 0.002 + 0.002) = 1，
解得 = 0.012；
设中位数为 110 + ，
则 0.002 × 20 + 0.006 × 20 + 0.008 × 20 + 0.012 = 0.5，解得 = 15，
所以中位数是 125．
(2)由 200 × (0.002 × 20 + 0.006 × 20 + 0.008 × 20 + 0.012 × 20) = 112，
所以估计职工一天步行数不大于 13000 步的人数为 112 人．
(3)在区间(150,170]中有 200 × 0.008 × 20 = 32 人，
在区间(170,190]中有 200 × 0.002 × 20 = 8 人，
在区间(190,210]中有 200 × 0.002 × 20 = 8 人，
按分层抽样抽取 6 人，
则从(150,170]中抽取 4 人，(170,190]中抽取 1 人，(190,210]中抽取 1 人；
设从(150,170]中抽取职工为 , , , ，从(170,190]中抽取职工为 ，从(190,210]中抽取职工为 ，
则从 6 人中抽取 2 人的情况有 , , , , , , , , , , , , , , 共 15 种情况，它们是等
可能的，
其中满足两人均来自区间(150,170]的有 , , , , , 共有 6 种情况，
= 6所以 15 =
2
5；
所以两人均来自区间(150,170] 2的概率为5．
17. 3解：(1)这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第 次通过”记为事件 , = 4，事件 =“丈夫参加科
目二考试不需要交补考费” = 1 + 1 2
则 ( ) = 1 + 1 2 = 1 + =
3
1 2 4 +
1 3 15
4 × 4 = 16
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(2)设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第 次通过”为事件 ( = 1,2,3,4,5) =
3 , = 2，则 4 3．
设事件 =“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件 =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都
不需要交补考费”．
则 ( ) = 1 + 1 2 = 1 + 1 2 =
2 1 2 8
3 + 3 × 3 = 9 , ( ) = ( ) =
15 × 8 516 9 = 6．
5
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为6；
(3)设事件 =“丈夫参加科目二考试需交补考费 200 元”，事件 =“妻子参加科目二考试需交补考费
200 元”，
事件 =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 200 元”，则
( ) = = 1 × 1 × 3 3 1 1 2 21 2 3 4 4 4 = 64 , ( ) = 1 2 3 = 3 × 3 × 3 = 27，
( ) = ( + ) = 15 2 3 8 116 × 27+ 64 × 9 = 9．
1
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 200 元的概率为9

18.解：(1)因为 ( ) = 12
1
2 = ( )，所以 ( )是奇函数，
1 1 1 1
因为 = 2 为减函数， = 2 为增函数，所以 ( ) = 2 2 是减函数，
1 1
所以 ( ) = 2 2 是奇函数且是减函数，
所以不等式 2 + (1 ) < 0，
可变为 2 < ( 1)，
则 2 > 1，即 2 ( + 1) + 1 > 0 恒成立，
所以Δ = ( + 1)2 4 < 0，即( + 3)( 1) < 0，
解得： 3 < < 1，故 的取值范围是( 3,1)．
(2)由 (1) = 1 = 32，得 2
2 3 2 = 0，
解得 = 2 或 = 12 (舍)，
所以 ( ) = 22 + 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 + 2
令2 2 = ，当 ≥ 1 时， = 2 2 ≥ 2 2 1 = 32，
2 2
所以 ( ) = 2 + 2 = 2 + 2 4 ，
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3
①当2 ≤ 2即 ≤ 3 时， ( ) =
3 = 17 3 25min 2 4 2 = 2，解得 = 6 (舍去)，
> 3
2
②当2 2即 > 3 时， ( )min = 2 = 2 4 = 2，解得： = 4 符合题意，
所以 = 4．
19.解：(1)当 = 2 时， ( ) = log2(2 + 1)，
则 ( ) + ( ) = log + log (2 + 1) = log 2 22 2 2 + ，定义域为(0, + ∞)．
由 ( ) + ( ) = 0，可得log 22 2 + = 0，可得 2 2 + 1 = 0，
1 1
解得 = 2或 = 1(舍去)，因此，关于 的方程 ( ) + ( ) = 0 的解为 = 2；
(2)当 ∈ [2,8]时， ( ) = log2 ∈ [1,3]．
当 ≤ 1 时，log2 ≥ 对任意的 ∈ [2,8]恒成立，则 ( ) = ( ) + = log2 ，
此时，函数 = ( )在区间[2,8]上为增函数， ( )max = (8) = 3，合乎题意；
当 ≥ 3 时，log2 ≤ 对任意的 ∈ [2,8]恒成立，则 ( ) = ( ) + = 2 log2 ，
此时，函数 = ( )在区间[2,8]上为减函数， ( )max = (2) = 2 1 = 3，解得 = 2，不合乎题意；
2 log , 2 ≤ ≤ 2
当 1 < < 3 时，令 ( ) = 0，得 = 2 ，此时 ( ) = 2log 2 , 2 < ≤ 8
,
所以，函数 = ( )在区间 2, 2 上为减函数，在区间 2 , 8 上为增函数．
∵ (2) = 2 1， (8) = 3，由于 ( )max = max 2 1,3 = 3，所以 2 1 ≤ 3，解得 ≤ 2．
此时，1 < ≤ 2．
综上所述，实数 的取值范围是( ∞,2]；
(3) ( ) ( ) = log 12( + 1) log2 = log2 + ，
1
由于内层函数 = + 在区间[ , + 1] ( > 0)为减函数，外层函数 = log2 为增函数，
所以，函数 = ( ) ( )在区间[ , + 1]上为减函数，
= log + 1 1所以 max 2 ， min = log2 + +1 ，
1 1 1 1
由题意可得 max min = log2 + log2 + +1 ≤ 1，可得 + ≤ 2 + +1 ，
≥ 1 2 = 1 所以， +1 ( +1)．
1
①当 = 1 时， ( +1) = 0；
∈ 1②当 2 , 1 时，令 = 1 ∈ 0,
1 1
2 ，设 = ( +1)，
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= = = 1可得 (1 )(2 ) 2+2 3 +2
．
3
2 1
下面利用定义证明函数 ( ) = + 3 在区间 0, 2 上的单调性，
任取 1、 2 ∈ 0,
1
2 且 1 <
1
2，即 0 < 1 < 2 ≤ 2，
= + 2 3 + 2 3 = + 2 2 = + 2 2 1 = 1 2 1 2 21 2 1 21 1 2 1 2
，
2 1 2 1 2 1 2
∵ 0 < 11 < 2 ≤ 2，∴ 1
1
2 < 0，0 < 1 2 < 4，∴ 1 2 > 0，即 1 > 2 ，
2
所以，函数 ( ) = + 3
1
在区间 0, 2 上单调递减，
= 1 1 2当 2时，函数 = 2 取得最大值 ． + 3 3
1 1 2 2
综上所述，函数 = ( +1)在 ∈ 2 , 1 上的最大值为3，∴ ≥ 3．
2
因此，实数 的取值范围是 3 , + ∞ ．
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