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2025-2026 学年海南省海口市海南中学高一上学期新生能力综合测试
夏令营（模拟）数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
1.已知实数 ， ， ．（ ）
A.若| 2 + + | + | + 2 + | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
B.若| 2 + + | + | 2 + – | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
C.若| + + 2| + | + – 2| ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
D.若| 2 + + | + | + 2– | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
+ ≤ 2
2.若变量 ， 满足约束条件 ≤ 0 2 ，则 = 的最大值为( )
≥ 0 +1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.在矩形 中， > ，在 边上随机取一点 ，若 是 1 最大边的概率为4，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 153 2 8 D.
39
8
4.剪纸技艺是我国优秀传统文化的重要组成部分，也是一种古老的民间艺术，其中也蕴含着丰富的数学思
想．为更好地传承和发扬传统文化，我国已将剪纸放入小学的美术课中．下图是某小学美术教材的剪纸图
例(三角形为正三角形)，当经过如图所示的剪纸操作后，纸片的剩余率(剪纸后剩余部分的面积与原纸片的
面积的比值)为( )
A. 1 4 3π B. 1 5 3π27 24 C. 1
3π 3π
18 D. 1 9
5 4.如图，在平面直角坐标系中， ( , )是反比例函数 = 在第三象限的一个动点，以 为顶点，原点为对
称中心作矩形 , ⊥ 轴于点 ，过点 的直线 分别交 、 边于点 、 ，以 为一边作矩形
，且直线 恰好经过点 .如果点 往 轴负方向运动，那么 的变化情况是( )
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A.先减小后增大 B.先增大后减小 C.一直不变 D.一直减小
6.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过
这一方法，很多代数公理 定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图， 是半圆 的直径，
点 是 上一点(不同于 ， ， )，点 在半圆 上，且 ⊥ ， ⊥ 于 .设 = ， = ，则该图
形可以完成的“无字”证明为( )
A. ≤ + 2 ( > 0， > 0)
B. + < 2 2 + ( > 0， > 0， ≠ )
C. 2 + ≤ ( > 0， > 0)
D. 2 + < <
+
2 ( > 0， > 0， ≠ )
7.已知函数 = 2 | |，若关于 的不等式 ≥ 2 2 的解集中有且仅有 2 个整数，则 的取值范围为
( )
A. 2 ≤ ≤ 1 B. 2 < < 1 C. 2 ≤ < 0 D. 2 < < 0
8.斐波那契数列( )，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契
( )以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.其指的是这样一个数列：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, 从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和．删去 0 后，以第一个 1 作为该数列的第
一项，其中第 项记为 ，如 1 = 2 = 1, 3 = 2, 则 2 2 21 + 2 + … 2025 =( )
A. 2024 2025 B. 2025 2026 C. 2024 2026 D. 2025 2027
9.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方差为 5，乙组数据的平
均数为 5，方差为 3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为( )
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
10.如图，以矩形 的顶点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，且 ⊥ ，若 =
2, = 1，则 的长为( )
A. 10 B. 2 5 C. 52 D.
9
4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
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11.在实数范围内分解因式：
① 2 + 2 3 2 + 3 + + 2 = ；
②4( + 5)( + 6)( + 10)( + 12) 3 2 = ．
12.已知 4 4 3 + 7 2 8 + 4 = 0，则 + 2 = ．
13 1.图 是函数 = 的图象，其两条渐近线分别为 轴、 轴．将函数图象绕其中心顺时针旋转45
，得到如
图 所示的双曲线图象．则双曲线在这个坐标系中的渐近线方程为 ，双曲线的方程为 ．
14.如图，二次函数 = 2 6 + 5 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 ，点 是在以 为圆心半径为 2 的圆
+ 1上一动点，则 2 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 54 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（8 分）已知实数 、 、 、 满足 3 + = , = ．
(1)求证： 2 12 为非负数．
(2)若 、 、 均为奇数， 、 是否可以都为整数？说明你的理由．
16.（10 分）设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ )．
(1) ( ) ≤ 0 0, 1若关于 的不等式 的解集为 2 ，求实数 的值；
(2)若不等式 ( ) ≥ 2 对于实数 ∈ [ 1,1]时恒成立，求 的取值范围；
(3)解关于 的不等式： ( ) < 1．
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17.（12 分）如图，已知抛物线的顶点坐标为 (4,0)，且与 轴交于点 0, 83 ，点 的坐标为(4,3)，点 为抛物
线上一动点．以点 为圆心， 长为半径的圆交 轴于 、 两点(点 在点 的左侧)．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)当点 在抛物线上运动时，弦 的长度是否为定值？若不是定值，说明理由；若是定值，求弦 的长．
(3)如图 ，若直线 过点(1,0)，求证： 是等边三角形．
18.（12 分）平面解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支．
【圆】
我们定义圆为：到定点的距离等于定长的点的集合，圆的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，其中 为圆
的半径，( , )为圆心坐标．
【椭圆】
我们定义椭圆为：平面内到两定点 1、 2的距离之和等于常数(该常数大于 1 2 )的动点 的轨迹，写成表
达式就是 1 + 2 = 2 2 > 1 2 .两定点 1、 2称为椭圆的焦点．通常而言，为研究方便，我们会
将椭圆的中心与坐标原点重合．
椭圆就像一个被压扁的圆，一端稍长，一端稍短．其中，稍长的轴( 1 2 )叫作椭圆的长轴；稍短的轴( 1 2 )
叫作椭圆的短轴．椭圆与坐标轴的四个交点根据其方位命名为上/下顶点、左/右顶点．
2 2
椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1，其中 、 分别为长轴长、短轴长的一半．
(1)试推导得到圆的标准方程．
2 2
(2)现有一椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 (2,3)，点 为该椭圆的左顶点， = 2．
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①求 的标准方程．
②点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值．
19.（12 分）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步 = (2,1)或 = (1,3)，有两种路径可以选
择，如图所示：
若某点 ( , )可以表示为 + ( 、 为整数)，则称 为可达点．
已知：向量的加法：( , ) + ( , ) = ( + , + )；向量的数乘： ( , ) = ( , )．
(1)分析可达点( , )中 、 满足的函数关系，判断 (7,10)是否为可达点，并说明理由．
(2)证明：若( , )是可达点，则( + 5, )也是可达点．
(3)若某些可达点满足 + = 200，求在所有满足条件的可达点中， + 最小的点及此时 + 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.( + 1)( + 3 + 2)
2(2 + 15)( + 8) 265 35 ( + 265+35； 4 4 )
12.3
13. =±
2 2
； 2 2 = 1
14. 41
15.【详解】(1)方法一(最优解)：韦达定理应用，
变形结构 3 + ( ) = 3 , 3 = ，显然 ≠ 0，
由韦达定理，我们可知， 3 和 是一元二次方程 2 + + 3 = 0 的两个根．
其中Δ = 2 4 3 = 2 12 ≥ 0，所以 2 12 为非负数；
方法二：由已知，可用 表达 , ． = (3 + ), = ，
2 12 = (3 + ) 2 12 2 = 2 9 2 + 6 + 2 12 2
= 2 9 2 6 + 2 = 2(3 )2 ≥ 0，所以 2 12 为非负数；
(2)若 、 都为整数，
其可能的情况有： 、 都为奇数和 、 其中至少有一个为偶数．
①若 、 都为奇数，则 3 + 为偶数， 为奇数，则 = (3 + )为偶数，与已知矛盾．
②若 、 为整数，且其中至少有一个为偶数，则 必为偶数， = 为偶数，与已知矛盾．
因此不可能．
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16. 1【详解】(1)由题意知，0, 2是方程
2 + (1 ) + 2 = 0 的两个根，
0 + 1 1
则 2
=
0 × 1 2
，则 = 2．
2 =
(2) 2 + (1 ) + 2 ≥ 2，
则 2 + 1 + ≥ 0 对于实数 ∈ [ 1,1]时恒成立，
2 + 1 + ≥ 0 2 + 2 1 ≥ 0 , ( 1)
2 ≥ 0
则
2
，即
+ 1 + ≥ 0 2 + 1 ≥ 0 2 + 1 ≥ 0
= 1
解得 ∈ R , ∴ = 1
则 的取值范围为 1 ．
(3)依题意， ( ) < 1 等价丁 2 + (1 ) 1 < 0，
当 = 0 时，不等式可化为 < 1，解集为{ ∣ < 1}．
当 > 0 1时，不等式可化为( + 1)( 1) < 0，此时 < 1，
所以不等式的解集为 1 < < 1 ．
当 < 0 时，不等式化为( + 1)( 1) < 0，
①当 = 1 时， 1 = 1，不等式的解集为 ≠ 1 ；
②当 1 < < 0 1时， > 1
1
，不等式的解集为 | < 1或 > ；
③当 < 1 1时， < 1，不等式的解集为 <
1
或 > 1 ；
1
综上，当 < 1 时，解集为 < 或 > 1 ；
当 = 1 时，解集为 ≠ 1 ；
1 < < 0 1当 时，解集为 | < 1或 > ；
当 = 0 时，解集为{ ∣ < 1}；
当 > 0 时，解集为 1 < < 1 ．
17.【详解】(1)因为抛物线的顶点为 (4,0)，所以可设抛物线的函数表达式为： = ( 4)2，
8 8 1
又抛物线过点 0, 3 ，所以3 = × 4
2 = 6．
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1
所以抛物线的函数表达式为： = 26 ( 4) ．
(2)是定值．
如下图所示，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，连接 、 ，则： = ，
1
设点 的坐标为 , 26 ( 4) ，则 ( , 0)．
由 ⊥ ，有 = ．
由 2 = 2 2 = 2 2，
2 2
有 2 = ( 4)2 + 3 1 2 16 ( 4) 6 ( 4)
2 = 9，
即 = 3， = 6．
即弦 的长为定值 6．
(3)设直线 的解析式为 = + ，
4 + = 3 = 1
因为直线 过点 (4,3)和点(1,0)，所以 + = 0 = 1．
所以直线 的解析式为 = 1．
, = 1 = 1设 ，有等量关系 和 4 20 0 0 0 0 6 0 ，
1
所以6 4
2
0 = 0 1，解得 0 = 7 ± 3 3．
①当 0 = 7 3 3时，点 在对称轴左侧，如图，此时 0 = 6 3 3．
= 6 2 2， 0 + 3,0 ， 2 = 7 3 3 4 + 6 3 3 3 =
36 2 3 ，
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2 = 0 + 3 4 2 + 32 = 36 2 3 ，
2
2
= 6 3 3 + 32 = 36 2 3 ．
即 = = ，即 为等边三角形．
②当 0 = 7 + 3 3时， 在对称轴右侧，如图，此时 0 = 6 + 3 3．
此时 (4,3)， 7 + 3 3, 6 + 3 3 ， 10 + 3 3, 0 ，
同理可得 2 = 2 = 2 = 36 2 + 3 ，
所以 = = ，即 为等边三角形．
综上可得： 为等边三角形．
18.【详解】(1)设一般圆的参数：圆心坐标为( , )，半径为 .取平面内点 ( , )．
由圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合，即圆上一点到圆心的距离相等．
由两点间距离公式： ( )2 + ( )2 = ，
平方后得( )2 + ( )2 = 2．
(2)①由题意可知直线 的方程为 2 = 4，
当 = 0 时，可解得 点坐标( 4,0)．
2 2
可知 = 4.得到42 + 2 = 1，再代入点 坐标，
22 32
可得： 242 + 2 = 1，解得 = 12，
2 +
2
所以标准方程为16 12 = 1．
②设与直线 平行的直线束方程为 2 = ，
当直线与椭圆相切时，取距离 较远的切点为 ，此时 的面积最大．
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2 2
要找交点，联立直线和椭圆方程： 16+ 12 = 1，将 用( + 2 )代换，
2 =
得到关于 的一元二次方程 3( + 2 )2 + 4 2 = 48，
化简后得到 16 2 + 12 + 3 2 48 = 0．
由相切可知，直线与椭圆有且仅有一个交点，即Δ = 144 2 64 3 2 48 = 0．
解得 2 = 64， =± 8．
即距离 比较远的直线方程为 2 = 8．
由两点间的距离公式可知，| | = 3 5．
8 ( 4) 12 5
三角形的高即为两平行线间的距离 1+4 = 5 ．
所以 1 12 5的面积的最大值为2 × 3 5 × 5 = 18．
19.【详解】(1)( , ) = (2,1) + (1,3) = (2 + , + 3 )，
得 = 2 + ，即 = 2 ．
= + 3 = + 3( 2 ) = 3 5 ．
即 3 = 5 ．
所有可达点满足 3 ≡ 0( 5)．
代入点 ，有 3 × 7 10 = 11 ≠ 0( 5)，故 不是可达点．
(2)由( , )为可达点可知，( , ) = + ．
构造：( + 5, ) = + + (5,0).将(5,0)表达为 + 的形式，
2 + = 5
有 + 3 = 0 ,
= 3
解得 = 1．
故( + 5, ) = ( + 3) + ( 1) ．
即仍为可达点．
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(3)( , ) = (2 + , + 3 ), + = 3 + 4 = 200．
令 3 = 200 4 200 4 ，即 = 3 ．
由 是整数可知，200 4 ≡ 0( 3)，
即 ≡ 2( 3)．
= 3 + 2 = 200 4(3 +2) = 192 12 不妨设 ，则有 3 3 = 64 4 ．
即 + = (64 4 ) + (3 + 2) = 66 ．
为使 + 尽可能小，即要求 尽可能大，且 ≥ 0，解不等式有 ≤ 16．
= 16 时， = 0, = 50．
此时点坐标为(50,150)，
最短步长为 + = 50．
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