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2025-2026学年武安市第六中学、第十中学高一上学期开学联考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数轴上点表示的数分别是，，它们之间的距离可以表示为( )
A. B. C. D.
2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个球，其中个黑球、个白球，从袋子中一次摸出个球，下列事件是必然事件的是( )
A. 摸出的是个白球 B. 摸出的是个黑球
C. 摸出的球中至少有个是黑球 D. 摸出的是个白球、个黑球
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有( )
A. B. C. D.
7.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度单位：与观察时间单位：天的关系，并画出如图所示的图象轴，该植物最高的高度是( )
A. B. C. D.
8.如图，有一个边长为的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.据年月公布的山西省年国民经济和社会发展统计公报显示，经初步核算，年我省实现地区生产总值亿元，比上年增长数据亿元用科学记数法表示为 元
12.我们规定把同一副扑克牌中的红桃，黑桃，梅花三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 ．
13.杨辉，字谦光，钱塘今浙江杭州人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，下面是杨辉在年提出的一个问题选自杨辉所著田亩比类乘除算法：直田积矩形面积八百六十四步平方步，只云阔宽不及长一十二步宽比长少一十二步，问阔及长各几步，解答这个问题可知长为 步
14.如图，在中，于点，点在上，，交于点，连接，若，则的长为 ．
15.如图，在平行四边形中，，，过点作，，连接，则的周长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程组：
已知实数满足，求的值．
17.本小题分
如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点求证：．
18.本小题分
阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．
例：当代数式的值为时，求代数式的值．
解：因为，所以
所以
以上方法是典型的整体代入法．
请根据阅读材料，解决下列问题：
已知，求的值；
我们知道方程的解是，现给出另一个方程，则它的解是___________________．
19.本小题分
某社区组织了以“奔向幸福，毽步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢个以上含为优秀下表是两队各队员的比赛成绩．
号 号 号 号 号 总数
甲队
乙队
经统计发现两队名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一．
学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定：
甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________；
甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个；
分别计算甲、乙两队比赛数据的方差；
根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由．
20.本小题分
如图，一辆汽车从地出发去往地，两地相距，由于之间某路段正在修路，驾驶员临时改变路线，先由地开往地，再由地开往地，如图是从该场景中抽象出来的示意图，已知，，则这样的行驶路程比原来路程远了多少？结果精确到，参考数据：
21.本小题分
“十三五”以来，山西省共解决个村、万农村人口的饮水型氟超标问题，让农村群众真正喝上干净水、放心水、安全水某公司抓住商机，根据市场需求代理两种型号的净水器，已知每台型净水器比每台型净水器进价多元，用万元购进型净水器与用万元购进型净水器的数量相等．
求每台型，型净水器的进价各是多少元？
该公司计划购进两种型号的净水器共台进行试销，其中型净水器为台，购买两种净水器的总资金不超过万元，则最多可购进型号净水器多少台？
22.本小题分
综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点我们称点为正方形的一个“奇妙点”过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图，连接并延长交于点，则为半圆的切线，
证明：连接，，
由作图可知，，，
又，
，
，
是半圆的切线．
问题解决：
如图，在图的基础上，连接请判断和的数量关系，并说明理由；
在的条件下，请直接写出线段，，之间的数量关系；
如图，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；
如图，已知点，，，为正方形的四个“奇妙点”连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
23.本小题分
综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点点在点的右侧，与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过两点，连接．
求两点的坐标及直线的函数表达式；
探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点；
使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；
使以点为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：原方程可化为
得：，解得，
把代入得，
所以，这个方程组的解为；
原式
，
，
，
原式．

17.解：证明：如答图，连接，

是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，
，
，
，
，
在和中，
．

18.解：
，
原式，
的值为．
方程，
令，则，
因为方程的解是，
所以方程的解是，
所以，
解得．
故答案为：．

19.解：甲队的优秀率为：，
乙队的优秀率为：．
故答案为：；．
甲队名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，
所以甲队比赛数据的中位数为；
乙队名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，
所以乙队比赛数据的中位数为．
故答案为：；．
甲、乙两队比赛数据的平均数均为个
．
．
综合评定甲队的成绩好，理由如下：
因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定甲队比较好．

20.解：如图，过点作垂直于于点，

在中，设，
，，
在中，，，
，，
．
，
，
．
答：这样的行驶路程比原来路程远了也给分

21.解：设每台型净水器的进价是元，
根据题意，得，解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
．
故每台型净水器的进价是元，每台型净水器的进价是元；
因购进型净水器台，则购进型净水器台，
依题意，得，解得．
故最多可购进型净水器台．

22.解：
，，，
，
，
．
在和中，
，，
，
，
．
根据可知，，
，，
，
线段，，之间的数量关系是．
连接，，如图，
由可知，，
，
，
点为的中点，
，
，
四边形是正方形，
，
．
延长交于点，连接，，如图，
由前面的结论可知，
，
此图为赵爽弦图即，
，
同理可得，，，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．

23.解：当时，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，则
解得
直线的表达式为．
点的坐标为，点的坐标为，
．
又点的坐标为，
．
．
为等边三角形．
．
分两种情况：
当时，
，
．
作轴于点，如图：
在中，，，
点的坐标为．
作轴于点，如图：

当时，
，
，．
．
．
在中，，
，．
，
点的坐标为．
综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；
过点作轴交抛物线于点，连接，如图：
点的坐标为，，
当时，，
不合题意舍去，
点的坐标为，
．
点的坐标为，
．
由可知，
，
四边形是菱形．
当点位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；
过点作交直线于点，连接、，如图：
，，
由可知，
．
由可知，
，
．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
，
四边形是矩形，
抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．

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