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2024-2025学年江西科技学院附属中学高一上学期1月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.设集合，函数的定义域为，则为( )
A. B. C. D.
3.函数零点存在的区间为
A. B. C. D.
4.把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为( )参考数据
A. B. C. D.
5.经过班干部初选后，需从四位同学中恭喜你，你也在其中随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为( )
A. B. C. D.
6.某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有人，平均工资为千元，方差为，宣传部门有人，平均工资为千元，方差为，人事部门有人，平均工资为千元，方差为，则该公司所有员工工资的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.某药品企业研发了一个新药，其药效单位：药物单位与某活性成分的含量单位：近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了个样本，得到某活性成分的含量的平均为，标准差为，则药效的平均值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中不放回的随机取两次，每次取个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则( )
A. 与是互斥事件 B. 与互为对立事件
C. 发生的概率为 D. 与不相互独立
11.，下列说法正确的有( )
A. 的减区间为
B. 的值域为
C. 若有个零点，则
D. 若有个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 ．
13.某校有名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：，，，，，，，，假设这名学生成绩的第百分位数是若在这人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于的概率为 ．
14.已知，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简；
若，求的值．
16.本小题分
古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间单位：的数据如下：
一周课外读书时间 合计
频数
频率
根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．
如果读书时间按，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取人．
求每层应抽取的人数；
若从中抽出的学生中再随机选取人，求这人不在同一层的概率．
17.本小题分
已知二次函数满足，且，函数．
求函数的解析式；
记函数．
(ⅰ)若，求实数的值；
(ⅱ)求在区间上的最大值．
18.本小题分
甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响．
若甲队先主场后客场，且，
(ⅰ)求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；
除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
参考答案
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14.
15.解：，
，
则；
由得，，则，
又，
故．

16.解：由题意可得，，；
设一周读书时间的前位数为，
因为，
．
所以一周读书时间的前位数．
且．
即一周的读书时间超过，才能获得“读书积极分子”荣誉．
由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取人，抽样比为，
又，的频数分别为，，，
所以从，三层中抽取的人数分别为，，．
(ⅱ)由(ⅰ)知，在两层中共抽取人，
设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为；
若从这人中随机抽取人，则所有情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共种．
设事件为“这人不在同一层”，
则由古典概型的概率计算公式得．

17.解：设二次函数，，由，
得，整理得，
则，解得，，则，由，得，
所以函数的解析式为．
由，得，
函数，．
则，由，得，令，
则，整理得，而，解得，即，解得，
所以．
(ⅱ)由(ⅰ)得
，
令，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
当时，，，
当且仅当时取等号，所以的最大值为．

18.解：记甲队通过点球大战获得冠军为事件，
此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
故，
因为，所以，
所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
记甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
所以，
将代入得，，
所以甲队获得冠军的概率为
由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜，
所以，
因为，所以，此时满足题意，
，
因为，所以，
故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠．

19.解：对于函数的定义域内存在，
则，故不是“依赖函数”．
因为在递增，
故，即，，
由，故，得，
从而，
设，
当时，函数单调递增，
故．
由，故在上单调递增，
所以，解得或舍．
所以存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得，
又在单调递增，
故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为．

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