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2024-2025 学年江西省丰城中学高一上学期期末考试
数学试卷（创新班）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系 中，点(1, 2,3)关于 轴的对称点为( )
A. ( 1, 2, 3) B. ( 1,2, 3) C. ( 1, 2,3) D. (1,2,3)
2.若 2 + i = 5i，则 的虚部为( )
A. 2i B. 2i C. 2 D. 2

3.函数 ( ) = 2 +2 的图象大致为( )
ln 2+1
A. B. C. D.
4.若正数 ， 满足： 3 + 2 = ，则 的最大值为( )
A. 13 B.
1
4 C. 2 D. 2
5.已知 是圆 : 2 + 2 = 4 的直径， , 是圆 上两点，且∠ = 120 ，则( + ) 的最小值为
( )
A. 4 3 B. 4 C. 8 3 D. 8
2 26 .已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1， 为坐标原点，若在 的右支上存在关于 轴对称的
两点 , ，使得 1 为正三角形，且 ⊥ 1 ，则 的离心率为( )
A. 2 B. 1 + 2 C. 2 + 3 D. 1 + 3
7.已知动圆 的方程为 cos 2 + sin 2 = ，其中 为常数， ∈ π, 2π ，有下列两个命题：
①存在 ∈ π, 2π ，使圆 与圆 1: + cos 2 + + sin 2 = 1 相切；
②对任意 ∈ π, 2π ，直线 : cos + sin + 1 = 0 上都存在点 ，圆 上都存在两点 、 ，使 ⊥ .则( )
A.①②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①②都为假命题
8.三棱锥 的底面 是等边三角形， ⊥ ，二面角 的大小为150 ，若三棱锥
外接球的表面积为 84π，则该三棱锥 体积的最大值等于( )
A. 9 32 B. 9 3 C.
27 27 3
2 D. 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于△ ，有如下判断，其中正确的判断是( )
A.若 cos = cos ，则△ 为等腰三角形
B.若 > ，则 sin > sin
C.若 = 8， = 10， = 60°，则符合条件的△ 有两个
D.若sin2 + sin2 > sin2 ，则△ 是锐角三角形
10.已知数据 1, 2, , 10满足： 1 = 2(2 ≤ ≤ 10)，若去掉 1, 10后组成一组新数据，则( )
A.若 1 = 1，则原数据 1, 2, , 10的第 80 百分位数为 15
B.新数据与原数据相比，中位数不变
C.新数据与原数据相比，平均数不变
D.新数据与原数据相比，方差变小
2
11 .“大鹏曲线”的方程为 : 4 | | = 1，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线 = + 与
的交点可能个数的集合记为 ( , )，下列选项正确的是( )
A.该曲线关于 轴对称
B. ( , 2) = {0,1,2}
C. ( , 3 ) = {0,1,2}
D.“ ( , ) = {3} 1”的充要条件是“| | > 2且 < 0”
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1, 3)， = ( ,2 3)，若( + 2 ) ⊥ ，则实数 = ．
2 2
13 .已知椭圆 : 2 29 + 5 = 1 的左、右焦点分别为 1、 2， 为椭圆 上任意一点， 为圆 : ( 5) + ( 4) =
1 上任意一点，则| | 1 的最小值为 ．
14.已知定义在 上的函数 ( )，满足 ( 3) + (5 ) = 0， ( + 2)为偶函数， ( )满足 (2) = 2，则
2024 =1 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知四边形 为直角梯形，∠ = 90°， // ， 为等腰直角三角形，平面 ⊥平面 ，
为 的中点， = 2 = 2 2， = 3 = 3.
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(1)求证：平面 ⊥平面 ．
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的
效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共 1500 人，现从中抽取了 100 人的数学成绩，绘制成频
率分布直方图(如下图所示).已知这 100 人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多 6 人．
(1)根据频率分布直方图，求 ， 的值，并估计抽取的 100 名同学数学成绩的中位数；
(2)现用分层抽样的方法从分数在[130,140), [140,150]的两组同学中随机抽取 6 名同学，从这 6 名同学中再
任选 2 名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这 2 名同学的分数不在同一组内的概率．
17.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 的对边分别是 , , ， sin + 3 cos = 3 ， = 3．
(1)求角 ；
(2)若 + = 2，求边 上的角平分线 长；
(3)若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知圆 ： 2 + 2 + 2 4 + 4 = 0．
(1)若直线 2 + 2 = 0( > 0, > 0) 1 1平分圆 ，求 + 的最小值；
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(2)顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线 的准线与圆 相切， 为抛物线的焦点， 0, 0 为抛物线上的动点，
点 ( 1,0) | |，求| | 1的最大值．
19.(本小题 17 分)
椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆 1的“特征三角形”
为 1，椭圆 2的“特征三角形”为 2，若 1 ∽ 2，则称椭圆 1与 2“相似”，并将 1与 2的相似比称
2 2 2
为椭圆 1与 2的相似比.已知椭圆 21: 2 + = 1 与椭圆

2： 2 + 2 = 1( > > 0)相似．
(1)求椭圆 2的离心率；
(2)若椭圆 1与椭圆 2的相似比为 ( > 0)，设 为 2上异于其左 右顶点 1， 2的一点．
①当 = 22 时，过 分别作椭圆 1的两条切线 1， 2，切点分别为 1， 2，设直线 1， 2的斜率为 1，
2，证明： 1 2为定值；
②当 = 2时，若直线 1与 1交于 ， 两点，直线 2与 1交于 ， 两点，求| | + | |的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13. 2
14.0
15.【详解】(1)由于 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
由于平面 ⊥平面 且交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，由于 平面 ，
所以 ⊥ ．
由于 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
由于 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由于 // ，所以∠ 是异面直线 与 所成角(或其补角)，
= = 2 2 × 22 = 2， = 1
2 + 22 = 5，
2 2
= 22 + 2 2 × 2 × 2 × cos π4 = 2， = 1
2 + 2 = 3，
所以 2 + 2 = 2 2 10，所以 cos∠ = 5 = 5 ，
所以异面直线 与 10所成角的余弦值为 5 ．
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16.【详解】(1)由频率分布直方图的面积和为 1，则
(0.002 + 0.008 + 0.014 + + + 0.015 + 0.01 + 0.005) × 10 = 1，得 + = 0.046，
又由 100 人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多 6 人
则 100 × 10( ) = 6，解得 = 0.020， = 0.026
110 + 0.5 10(0.002+0.008+0.014+0.02) 4中位数中位数为 0.026 = 112 13
(2)设“抽取的 2 名同学的分数不在同一组内”为事件 ，
由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取 4 人，分别用 1， 2， 3， 4表示，
在分数为[140,150]的同学中抽取 2 人，分别用 1， 2表示，
从这 6 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有：
( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 3, 4)，( 3, 1)，( 3, 2)，
( 4, 1)，( 4, 2)，( 1, 2)，共 15 种
抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的结果有：( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 3, 1)，( 3, 2)，( 4, 1)，
( 4, 2)，共 8 种
8 8
所以 ( ) = 15抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的概率为15．
17.【详解】(1)在 中，由正弦定理及 sin + 3 cos = 3 ，
得 sin sin + 3sin cos = 3sin
= 3sin( + ) = 3sin cos + 3cos sin ，
即 sin sin = 3cos sin ，而 ∈ (0, π)，sin ≠ 0，
解得 tan = 3 π，又 ∈ (0, π)，所以 = 3．
(2) = π由 3及 = 3，余弦定理得 3 =
2 + 2 = ( + )2 3 ，
又 + = 2 1，解得 = 3，
= 1 1 1 由 + 得2 sin = 2 sin 2 + 2 sin 2，
即 sin π3 = ( + )sin
π 1 3 1 3
6，则3 × 2 = × 2 × 2，所以 = 6 ．
(3)因为 是 1的中点，所以 = + 2 ，
则
2 2
= 1 + 2 +
2
4
= 1 2 2 3+2 4 + + = 4 ，
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= sin 由正弦定理得， sin sin sin = 4sin sin = 4sin sin
2π
3
π
即 = 2 3sin cos + 2sin2 = 3sin2 cos2 + 1 = 2sin 2 6 + 1，
0 < < π
2 ∈ π , π 2 π π 5π为锐角三角形，
0 < 2π < π
，所以 6 2 ，所以 6 ∈ 6 , 6 ，
3 2
π 1 π
所以 sin 2 6 ∈ 2 , 1 ，所以 = 2sin 2 6 + 1 ∈ (2,3],
2 = 3+2 7 9所以 4 ∈ 4 , 4 ,
∈ 7 , 3 7 , 3所以 2 2 ，即边 上的中线 的取值范围为 2 2 ．
18.【详解】(1)由圆 的方程 2 + 2 + 2 4 + 4 = 0，即( + 1)2 + ( 2)2 = 1，
则圆 的圆心( 1,2)，半径 = 1，
由题意知，直线 2 + 2 = 0( > 0, > 0)过圆心 ，
则 2 2 + 2 = 0，即 + = 1， > 0， > 0，
1
由 +
1 = 1 +
1
( + ) = 2 +
+ ≥ 2 + 2 = 4，
当且仅当 = = 12时等号成立，
1 1
所以 + 的最小值是 4．
(2)由题意，抛物线的准线为 = 2，所以抛物线方程为 2 = 8 ，焦点 (2,0)，
所以 0 ≥ 0，| | = 0 + 2，| | = 2 2 20 + 1 + 0，其中 0 = 8 0，
| | 0+1 2+
2
0 0+1 2+8 0 8 所以， 0 > 0 时有| | 1 = +1 = +1 = 1 +
0
0 0 20+2 0+1
= 1 + 8 ≤ 1 + 8 = 3，
0+2+
1
2 1 0 0 +20
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1
当且仅当 0 = ，即 0 = 1 时等号成立；0
= 0 | |而 0 时，| | = 1，| | = 2，则| | 1 = 1．
| |
所以| | 1的最大值是 3．
19.
2
【详解】(1)对于椭圆 21： 2 + = 1，长轴长为 2 2，短轴长为 2，焦距为 2，
2 2
椭圆 2： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 2 ，短轴长为 2 ，焦距为 2
2 2，
2 2 2
依题意可得 = ，所以 =2 2 2 2
，
2 2 2 2
则椭圆 2 22的离心率 = 2 = 1 2 = 1 2 = 2 ．
(2) 2 2 2 = 2
2 2
①由相似比可知， = =2 2 2 2
，解得 = 2，所以椭圆 2： 4 + 2 = 1，
设 0, 0 ，则直线 1的方程为 0 = 1 0 ，即 = 1 + 0 1 0，
记 = 0 1 0，则 1的方程为 = 1 + ，
将其代入椭圆 1的方程，消去 ，得 2 2 + 1 21 + 4 1 + 2 2 2 = 0，
因为直线 1与椭圆 1有且只有一个公共点，
所以 = 4 2 2 21 4 2 1 + 1 2 2 = 0，即 2 2 21 + 1 = 0，
将 = 0 2 21 0代入上式，整理得 0 2 1 2 0 0 + 21 0 1 = 0，
同理可得 2 2 20 2 2 2 0 0 2 + 0 1 = 0，
所以 1, 2为关于 的方程 20 2 2 2 20 0 + 0 1 = 0 的两根，
2 1
所以 1 2 = 0 2 ，0 2
2 2
又点 0,

0 在椭圆 2: 4 + 2 = 1 上，
所以 20 = 2
1
2
2
0，
2 1 2 1
所以 1 = 2
0 1
2 2 = ，为定值． 0 2 2
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2 2 = 1
②由相似比可知， = = 2，解得 = 2，所以椭圆 ：
2 + 2 2 = 1，
2 2 2 22
其左、右顶点分别为 1( 1,0)， 2(1,0)，恰好为椭圆 1的左、右焦点，
设 3, 3 ，易知直线 1、 2的斜率均存在且不为 0，
2
所以 = 3 3 = 3 1 2 3+1 3 1 2
，
3 1
因为 2 23, 3 在椭圆 2上，所以 3 + 2 3 = 1，即 23 1 = 2 23，
2 1
所以 3 1 2 = = ． 23 1 2
1
设直线 1的斜率为 ，则直线 2的斜率为 2 ，
所以直线 1的方程为 = ( + 1)，
= ( + 1)
由 2 ，得 1 + 2 22
2 + 4 2 + 2 2 2 = 0，
2 + = 1
4 2 2 2 2
设 4, 4 ， 5, 5 ，则 4 + 5 = 1+2 2， 4 5 = 1+2 2，
所以| | = 1 + 2 4 5 = 1 + 2 24 + 5 4 4 5
4 2 2 2 2= 1 + 2 1+2 2 4 ×
2 2 2 2 1+
1+2 2 = 1+2 2 ，
2
2 2 1+ 12 2
同理可得| | = 2 =
2 1+4
1+2 1 1+2
2 ，
2
| | + | | = 2 2 1+
2 2 1+4 2
所以 1+2 2 + 1+2 2 = 3 2．
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