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2024-2025 学年江西省丰城中学高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为庆祝中国共产党成立 100 周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中
学校分别有高一、高二、高三学生 1200 人、1000 人、800 人，现欲采用分层随机抽样法组建一个 30 人
的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生( )
A. 6 人 B. 8 人 C. 10 人 D. 12 人
2.设集合 = 1, 2 , = + 1 = 0, ∈ R ，若 ∩ = ，则实数 的值有( )个
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
2 , ≥ 1
3.已知函数 ( ) = 1
1 , < 1
，若 ( ) + (0) = 1，则 =( )
A. 1 3或2 B. 0 C. 1 D. 2
4.函数 ( ) = log2 4 + 1 的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知 ( ) = 2 1 是定义在 上的函数，若对于任意 3 ≤ 1 < 2 ≤ 1，都有 1 2 < 2，则实数 1 2
的取值范围是( )
A. {0} B. [0, + ∞) C. 13 , + ∞ D.
1
3 , 0
6.已知函数 ( ) = 2 2 +1的值域为 .若(1, + ∞) ，则实数 的取值范围是( )
A. 0, 14 B. ∞,
1
4
C. ∞, 1 14 ∪ 4 , + ∞ D.
1
4 , + ∞
7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指

数衰减的学习率模型为 = 0 0，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 0表示初始学习率， 表示衰减
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系数， 表示训练迭代轮数， 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速
度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下(不含 0.2)所需的训练迭代轮
数至少为( )(参考数据：lg2 ≈ 0.3)
A. 72 B. 73 C. 74 D. 75
8.已知 5 = ln , = log43 + log917, 7 + 24 = 25 ，则以下关于 , , 的大小关系正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于 的不等式( 1)( + 2) ≤ 0( ∈ )的解集可以是( )
A. ≥ 2 B.
C. 1 ≤ ≤ 2 D. ≤
1
或 ≥ 2
10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字 表示第一次抛掷骰子的点数，数字 表示第二次抛掷骰子的
点数，用( , )表示一次试验的结果．记事件 = “ + = 7”，事件 = “ ≤ 3”，事件 = “ 5 ≡ 1”，
[注：余数运算 ≡ ( ≠ 0)表示整数 除以整数 所得余数为 .则( )
A. ( ) = 736 B. 与 为对立事件 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.已知函数 ( ) = log2| | ， ∈ ( 1,0) ∪ (0,4].若关于 的方程 ( ) = 有 3 个实数解 1， 2， 3，且 1 <
2 < 3，则( )
A. 12 + 4 3的最小值为 4 B. 1 2 3的取值范围是 1, 4
C. 1 + 2 + 3的取值范围是(1,4] D.
1 + 1 16 1
+ 的最小值是 9
3 1 2 23
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编号，001，002，……，
699，700.从中抽取 70 个样本，若从下图提供随机数表中第 1 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 4
个样本编号是 ．
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
13.设函数 ( ) = ln(1 + | |) 11+ 2，则使得 ( 1) > (2 1)成立的 的取值范围是 ．
14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公
室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不
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. 1 2带雨伞假设每天上班和下班时下雨的概率均为3，不下雨的概率均为3，且与过去情况相互独立.现在两把雨
伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = log2( 2 + 2)的定义域为 ，集合 = ∣ 1 ≤ ≤ 2 + 1 ．
(1)若 = 1，求 ∩ ，( R ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解
同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的 100 份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分
为第 1,2, , 6 组(如下图所示，成绩满分为 100 分且成绩均为不低于 40 分的整数)，得到如图所示的频率分
布直方图．
(1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；(上四分位数即 75 百分位数)
(2)已知第 2 组的平均成绩是 54，方差是 4，第 3 组的平均成绩为 66，方差是 4，
①分别求第 2 组和第 3 组的人数；
②求这两组成绩的总平均数 和总方差 2．
参考公式或数据：
方差： 2 = 1 2 1 2 =1 = =1
2; 542 = 2916; 662 = 4356; 622 = 3844．
17.(本小题 15 分)
用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用 个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的

农药量之比为 ( ) = 2+1，且 (0) = 1.已知用 1 个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的
1
3，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．
(1)求实数 和 的值；
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(2)现用 ( > 0)个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后
蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由．
18.(本小题 17 分)
2 ( ) = 1已知函数 2 +1．
(1)解不等式 ( + 4) + ( ) > 0；
(2)讨论函数 ( ) = 8 (2 ) ( ) + 2 2 的零点个数．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 2 ∈ ，满足 (2 ) = ( )，那么函数 ( )的图象称为
关于点 ( , 0)的中心对称图形，点 ( , 0)就是其对称中心．如果 0 ∈ ，且 0 ≠ ，使得 2 0 ∈ ，满
足 2 0 = 0 ，那么函数 ( )的图象称为关于点 ( , 0)的弱中心对称图形，点 ( , 0)就是其弱对称
中心．
(1)若函数 ( ) = ( + 1)3 + 的图象是关于点 ( 1,0)的中心对称图形，求实数 的值；
(2)判断函数 ( ) = | 1|的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
2
(3) , ≥ 2,若函数 ( ) = + 1, < 2的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为(1,0)，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.007
13.(0, 23 )
14.2881
15.【详解】(1)由 2 + 2 > 0，即 2 + 2 < 0，解得 2 < < 1，则 = ( 2,1)，
R = ( ∞, 2] ∪ [1, + ∞)，当 = 1 时， = [0,3]，
所以 ∩ = [0,1), ( R ) ∪ = ( ∞, 2] ∪ [0, + ∞)．
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，得 是 的真子集，
当 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2；
当 ≠ 时， 2 < 1 ≤ 2 + 1 < 1，解得 1 < < 0，
所以实数 的取值范围是( ∞, 2) ∪ ( 1,0)．
16.【详解】(1)上四分位数即 75 百分位数，
成绩落在[40,80)内的频率为(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65,
成绩落在[40,90)内的频率为(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + 0.025) × 10 = 0.9，
设第 75 百分位数为 ，则其位于区间[80,90),
则 0.65 + ( 80) × 0.025 = 0.75，解得 = 84，
所以上四分位数为 84；
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(2)①由图可知，成绩在[50,60)的人数为 100 × 0.1 = 10，
成绩在[60,70)的人数为 100 × 0.2 = 20，
10×54+66×20
②两组成绩的总平均数为 = 10+20 = 62，
设成绩在[50,60)中 10 人的分数分别为 1, 2, 3, …, 10；
成绩在[60,70)中 20 人的分数分别为 1, 2, 3, …, 20，
21+
2+ + 2 22 10 542 = 4 1+
2
2+ +
2
则由题意可得， 20 210 ， 20 66 = 4，
即 21 + 22 + + 210 = 29200, 21 + 22 + + 220 = 87200，
所以 2 = 1 2 + 2 + + 2 + 2 + 210+20 1 2 10 1 2 + +
2
20
2 = 130 × (29200 + 87200) 62
2 = 36，
所以两组成绩的总平均数是 62，总方差是 36．
(0) = 1 = 1 = 1
17.【详解】(1)由题意 2 1 (1) = 2，即 = ，解得 = ．3 +1 3 2
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2+2，设清洗前残留的农药量为 ( > 0)，
若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为 1，
= ( ) = 2 则 1 2+2，( > 0, > 0)，
若把水平均分成两份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量为 2，
2 =

2
4 64
2 = 2 = 2，( > 0, > 0)， 2 2
2 +2
+8
2 64 2 2 2 16
所以 1 2 = 2+2 2 = 2 ，( > 0, > 0)， 2+8 2+2 2+8
①当 2 > 16，即 > 4 时， 1 > 2，
把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；
②当 2 = 16，即 = 4 时， 1 = 2，
两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；
③当 2 < 16，即 0 < < 4 时， 1 < 2，
清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．
综述：①当 > 4 时，把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；
②当 = 4 时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；
③当 0 < < 4 时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．
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18.【详解】(1) ( )的定义域为 ，
2 1 1 2
因为 ( ) = 2 +1 = 1+2 = ( )，所以 ( )是奇函数．

因为 = 2 + 1 是增函数，所以 ( ) = 2 1 = 1 22 +1 2 +1是增函数，
由 ( + 4) + ( ) > 0 得 ( + 4) > ( )，即 ( + 4) > ( )，
所以 + 4 > ，解得 > 2，
即原不等式的解集为( 2, + ∞)；
(2) ( ) = 0 2
1 22 1
由 得
1
2 +1 = 8 × 22 +1 + 2 2 ，
①当2 1 = 0，即 = 0 时，等式成立，
所以 = 0 为 ( )的一个零点．
2 2
②当2 1 ≠ 0，即 ≠ 0 = 8 × 2 1 2 +1 2 1 2 +1时， 22 +1 2 1 + 2 2 1
2 = 8 × +1
2 2 +1 2
即 22 +1 + 2 = 8 1 +
2×2
22 +1 + 2 + 2
+ 2
= 8 1 + 22 +2 + 2 + 2
+ 2 ，
令 = ( ) = 2 + 2 16，则 = + + 10，
因为 ( ) = 2 + 2 = ( )，所以 ( )为偶函数，
当 > 0 时，令 = 2 > 1 = + 1， 在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，在( ∞,0)上单调递减，
所以 ( ) > 2，
16
设 ( ) = + + 10( > 0)，则 ( )在(0,4)上单调递减，在(4, + ∞)上单调递增，
(2) = 20， (4) = 18，
16
又因为 > 2， = + + 10 = ( )，
所以当 < 18 时，方程 = ( )无解，所以 ( )没有零点；
当 = 18 时，方程 = ( )的解 = 4，此时 = ( ) = 2 + 2 有 2 个解，
所以 ( )有 2 个零点；
当 18 < < 20 时，方程 = ( )有两个解，不妨设为 1， 2，且 2 < 1 < 4 < 2，
此时 = ( ) = 2 + 2 有 4 个解，所以 ( )有 4 个零点；
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当 ≥ 20 时，方程 = ( )有一个解 3，且 3 ≥ 8，
此时 = ( ) = 2 + 2 有 2 个解，所以 ( )有 2 个零点．
综上所述：当 < 18 时， ( )有 1 个零点；当 = 18 或 ≥ 20 时， ( )有 3 个零点；当 18 < < 20 时，
( )有 5 个零点．
19.【详解】(1)由 ( 1) = ( 1 + 1)3 1 = 0，解得 = 1．
当 = 1 时， ( ) = ( + 1)3 + + 1，对于任意的 ，
都有 ( 2 ) = ( 2 + 1)3 + ( 2 ) + 1 = ( 1 )3 1 = ( + 1)3 + + 1 = ( )，
所以函数 ( ) = ( + 1)3 + + 1 的图象是关于点 ( 1,0)的中心对称图形，
故 = 1．
(2)函数 ( ) = | 1|的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
理由如下：假设 0 ∈ ，使得 0 0 1 = 0 0 1 ，解得 0 = 0，与 0 ≠ 0 矛盾，
所以函数 ( ) = | 1|的图象不是关于原点的弱中心对称图形；
(3)由题意可知，存在 0，且 0 ≠ 1，使得 2 0 = 0 ，
当 0 ≥ 2 时，2 20 < 0，则 2 0 + 1 = 0 0 ，
2 = 0 0+3 3所以 = 0 + 1，0 0
3
又知对勾函数 ( ) = + 1 在[2, + ∞)上单调递增，所以 ( )min = (2) = 2 +
3
2 1 =
5
2，
所以 ≥ 52；
当 0 < 0 < 2 时，0 < 2 0 < 2，则 2 0 + 1 = 0 + 1 不成立；
当 0 ≤ 0 时，2 0 ≥ 2，则 2 20 2 0 = 0 + 1 ，
= 2 0 +
0+1
2 = 2 +
3
0
0 2
1，
0
3
令 = 2 0，则 = + 1 在[2, + ∞)
5
上单调递增，所以 min = 2，
≥ 5所以 2．
5
综上可知，实数 的取值范围为 2 , + ∞ ．
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