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2025-2026学年吉林省吉林市永吉实验高级中学高一上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.命题，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.命题：，：若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知集合满足，则满足条件的集合的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知实数，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个说法中正确的是( )
A. 以内的质数组成的集合是
B. 由，组成的集合可表示为或
C. 方程的所有解组成的集合是
D. 与表示同一个集合
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若且，则
D. 若，则
11.正数满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则是的 条件．填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”
13.若集合，且，则 ．
14.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，图片中为初中化学实验试题已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了．
用数学中的不等式解释这一现象；
证明中的不等式．
17.本小题分
已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题：．
若为假命题，求实数的取值范围；
若，中一真一假，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，且．
证明：；
求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.既不充分也不必要
13.
14.或
15.【详解】因为集合，
所以，
解得，
所以集合，
可得当时，集合，
又因为全集，
所以，
又因为集合，
所以．
因为，
所以，
又因为集合，
所以，
即实数的取值范围为．

16.【详解】因为，
所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了．
由，
因为，所以，
即．

17.【详解】由题意有：为假命题，所以为真命题，
又由方程有两个不相等的实数根，
所以，
所以实数的取值范围为；
由有为真命题，则，
因为，中一真一假，
所以当真，假时，有
当假，真时，有
综上所述，，
所以实数的取值范围为．

18.【详解】已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为

19.【详解】当时，，
则不等式，即，
解得，或，
因此当时，不等式的解集为．
当时，关于的不等式恒成立，
即当时，关于的不等式恒成立，
在时，恒成立，
令，
令，则，
故，
又，
当且仅当，即时等号成立，
故当，即时，，
因此可得，
即当时，关于的不等式恒成立，的取值范围为．

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