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2025-2026学年福建省泉州第五中学高一上学期第一次测试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 ∈ ，则“| 2| < 1”是“ 2 + 2 3 > 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如图所示， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. ( ∩ ) ∩ B. ( ∩ ) ∩ ( ) C. ( ∩ ) ∪ D. ( ∩ ) ∪ ( )
3.已知实数 , 满足 1 ≤ + ≤ 4, 1 ≤ ≤ 2，则 4 2 的取值范围是( )
A. 4 ≤ 4 2 ≤ 10 B. 3 ≤ 4 2 ≤ 6
C. 5 ≤ 4 2 ≤ 13 D. 2 ≤ 4 2 ≤ 10
4.当 ∈ ( 1,1) 3时，不等式 2 2 8 < 0 恒成立，则 的取值范围是( )
A. ( 3,0) B. [ 3,0) C. 3, 18 D. 3,
1
8
5.已知 > 0, > 0，且 2 + 1 = 0 1，则 + 9 的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
6.已知关于 的不等式( 2 ) 2 (2 + 1) + 1 ≥ 0 对任意 ∈ (0, + ∞)恒成立，则实数 的取值范围是
( )
A. 32 , 0 B.
3 1 3
2 , 2 C. ( ∞,0] D. ∞, 2
7.设全集 = 1,2,3,4,5 ，集合 、 是 的子集，若 ∩ = 1,2 ，就称( , )为“好集”，那么所有“好集”
的个数为( )
A. 24 B. 27 C. 32 D. 36
8.已知函数 ( ) = 2 2 2(4 ) + 1, ( ) = ，若对于任意的实数 , ( )与 ( )至少有一个为正数，
则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. (0,8) C. [2,8) D. ( ∞,0)
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知集合 = 0, + , ， = 2,2 , ，若 = ，则 + + 的值可能为( )
A. 3 232 B. 2 C. 2 D. 12
10.已知 ， 为正实数， + = 4，则( )
A. 的最大值为 4 B. + 的最小值为 2 2
C. 3 4 + 的最小值为 3 D.
2 + 1 2 + 1 的最小值为 16
11.设非空集合 = { | ≤ ≤ }满足：当 ∈ 时，有 2 ∈ .给出如下命题，其中真命题是( )
A.若 = 1，则 = { | ≥ 1} B.若 = 1 12，则4 ≤ ≤ 1
C.若 = 1 22，则 2 ≤ ≤ 0 D.若 = 1，则 1 ≤ ≤ 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 = 2 + 4 = 0 , = 2 + 2 ( + 1) + 2 1 = 0 ，若 ，则 的取值范围为 ．
13.已知 ， ∈ ，且满足 4 + + 2 + 1 = 0，则 2 + 2 + + 4 的最小值是 ．
14.设集合 ， ， ， ， ， 中，至少有两个元素，且 ， 满足：①对于任意 ， ∈ ，若 ≠ ，

都有 ∈ ；②对于任意 ， ∈ ，若 < ，则 ∈ .若 有 4 个元素，则 ∪ 有 个元素．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设集合 = = 1 = 2 > 1 (1 ) ， +1 ．
(1)求集合 ∩ R ；
(2)若“ ∈ ”是“|2 + 1| < ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
(1)解不等式： 1 + 2 ≤ 5
(2) 1 > 解关于 的不等式： 2 2 ( ∈ )
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 + 4 + 3, > 0．
(1)当 = 1 时，求不等式 ≤ 0 的解集；
(2)求不等式 ≤ 0 的解集；
(3)若不等式 ≤ 0 的解集中恰有三个整数解，求实数 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + 3
(1)若 ( ) ≤ 0 的解集为[ , 3]，求实数 , 的值；
(2) ∈ 1当 2 , + ∞ 时，若关于 的不等式 ( ) ≥ 1
2恒成立，求实数 取值范围．
(3) ∈ R，解关于 的不等式 ( ) + 2 < ( + 1) 2 + 1．
19.(本小题 17 分)
已知集合 为非空数集，定义： = = + , , ∈ ， = = | |, , ∈ ．
(1)若集合 = 2,3 ，直接写出集合 ， ；
(2)若集合 = 1, 2, 3, 4 ， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，求证： 1 + 4 = 2 + 3；
(3)若集合 0 ≤ ≤ 2023, ∈ N ， ∩ = ，记| |为集合 中元素的个数，求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ ∣ ≤ 1 或 = 1}
13. 134
14.7
15.【详解】(1)对于集合 ，可得 (1 ) > 0，解得 0 < < 1，所以 = |0 < < 1 ，
2 1 > 0 1 对于集合 ，可得 +1 ，即 +1 > 0，(1 )( + 1) > 0，
解得 1 < < 1，所以 = | 1 < < 1 ，
所以 R = | ≤ 0或 ≥ 1 ，
则 ∩ R = | 1 < ≤ 0 ；
(2)因为“ ∈ ”是“|2 + 1| < ”的必要不充分条件，
所以 ||2 + 1| < 是 | 1 < < 1 的真子集，
当 ≤ 0 时，此时|2 + 1| < 解集为空集，满足题意；
> 0 < 2 + 1 < 1当 时， ，即 2 < <
1
2 ，
因为 ||2 + 1| < 是 | 1 < < 1 的真子集，
1 ≥ 1
所以 2 1 ，解得 ≤ 1，所以 0 < ≤ 1，
2 ≤ 1
综上实数 的取值范围为 | ≤ 1 ．
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16.【详解】解：(1)因为 1 + 2 ≤ 5，
1 ≤ (5 2 )2 ≥ 13或 ≤ 2
所以 1 ≥ 0，即 4 5．
5 2 ≥ 0 1 ≤ ≤ 2
解得：1 ≤ ≤ 2．
所以不等式 1 + 2 ≤ 5 的解集为 1,2 ．
(2) 1 1 +2 2由 2 > 2 ( ∈ )得 2 2 = 2( 2) > 0．
当 = 0 时，解得： < 2．
2 2
当 ≠ 0 时. +2 22( 2) =

2 > 0．
当 > 0 2时，若 2 = 2
1
，即 = 2时，解得： ≠ 2．
2
若 2 > 2，即 0 < <
1 2
2时，解得： > 2 或 < 2．
2
若 2 < 2，即 >
1 2
2时，解得： < 2 或 > 2．
当 < 0 2时，解得： 2 < < 2．
1 2
综上所述： < 0 时，不等式： 2 > 2的解集为 2 < < 2 ；
当 = 0 1 时，不等式： 2 > 2的解集为 < 2 ；
0 < < 1 1 2当 2时，不等式： 2 > 2的解集为 > 2 或 < 2 ；
1 1
当 = 2时，不等式： 2 > 2的解集为 ≠ 2 ；
> 1 1 > < 2当 2时，不等式： 2 2的解集为 2 或 > 2 ．
17.【详解】(1)当 = 1 时， = 2 + 4 + 3 = ( + 1)( + 3)，
所以方程 2 + 4 + 3 = 0 的根为 = 1 或 3，
所以不等式 ≤ 0 的解集为{ ∣ 3 ≤ ≤ 1}．
(2) 3若Δ < 0，即 0 < < 24，此时二次函数 = + 4 + 3 的图象在 轴上方，
不等式 ≤ 0 的解集为 ；
Δ = 0 = 3 3 3②若 ，即 4，此时方程为
2
4 + 3 + 3 = 4 ( + 2)
2 = 0，
只有一个根 = 2，不等式 ≤ 0 的解集为 = 2 ；
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③若Δ > 0 3，即 > 4，
4 2 3 4 2 3
此时方程 2 + 4 + 3 = 0 的两根分别为 1 = 2 ， 2 = 2 + ，
≤ 0 { 2 4
2 3 2
不等式 的解集为 ≤ ≤ 2 +
4 3
}．
3
综上所述，当 0 < < 4时，不等式的解集为 ；
当 = 34时，不等式的解集为 = 2 ；
2 2
当 > 3 4 3 4时，不等式的解集为 2 ≤ ≤ 2 +
4 3
．
(3)因为 = 2 + 4 + 3, > 0，故抛物线的对称轴为 = 2 且开口向上，
而不等式 ≤ 0 的解集中恰有三个整数解，
故 × 22 + 4 × 2 + 3 < 0 且 1， 3 在不等式的解集中( 1、 3 关于 = 2 对称)，
0， 4 不在不等式的解集中( 1、 3 关于 = 2 对称)，
× ( 2)2 + 4 × ( 2) + 3 < 0
故 × 02 + 4 × 0 + 3 > 0 ,
× ( 1)2 + 4 × ( 1) + 3 ≤ 0
故 ≥ 1．
18.【详解】(1)由 ( ) ≤ 0 的解集为[ , 3]可得 3 是方程 2 + 3 = 0 的一个实数根，
因此32 3 + 3 = 0，解得 = 4；
所以 2 4 + 3 = 0 的另一实数根为 1，可得 = 1；
即实数 , 的值为 = 4， = 1；
(2)由 ( ) ≥ 1 2可得 2 + 3 ≥ 1 2，即 2 2 + 2 ≥ ；
∈ 1又因为 2 , + ∞ ，可得 ≤ 2 +
1
恒成立；
1 1 1
易知当 ∈ 2 , + ∞ 时，2 + ≥ 2 × 2 = 4，
1 1
当且仅当 = ，即 = 1 时，等号成立，此时 2 + 取得最小值，
所以 ≤ 4
(3)不等式 ( ) + 2 < ( + 1) 2 + 1 即为 2 + 3 + 2 < ( + 1) 2 + 1；
整理可得 2 + ( 2) 2 > 0；
当 = 0 时，不等式为 2 2 > 0，易知其解集为 | < 1 ；
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当 ≠ 0 时，不等式可分解为( 2)( + 1) > 0，其方程对应的两根分别为 1, 2 ；
若 = 2，不等式等价为 2( + 1)2 > 0，此时不等式解集为 ；
若 < 2，不等式解集为 | 1 < < 2 ；
若 2 < < 0 2，不等式解集为 | < < 1 ；
若 > 0 2，不等式解集为 | > 或 < 1 ；
综上可知，当 = 0 时，不等式解集为 | < 1 ；
当 = 2 时，不等式解集为 ；
当 < 2 时，不等式解集为 | 1 < < 2 ；
当 2 < < 0 2时，不等式解集为 | < < 1 ；
2
当 > 0 时，不等式解集为 | > 或 < 1 ．
19.【详解】(1)当 = 2,3 ，则 = 4,5,6 ， = 0,1
(2)证明：因为集合 = 1, 2, 3, 4 ， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，所以 中也只包含 4 个元素，即 =
0, 2 1, 3 1, 4 1 ，剩下的元素满足 2 1 = 3 2 = 4 3，所以 1 + 4 = 2 + 3．
(3)集合 0 ≤ ≤ 2023, ∈ N ， ∩ = ，记| |为集合 中元素的个数，设集合 = 1, 2,
满足题意，则 1 < 2 < < ，则 2 1 < 1 + 2 < 1 + 3 < 1 + < 2 + < 3 + < 1 + <
2 ，
所以| | ≥ 2 1，因为 ∩ = ，由容斥原理，| ∪ | = | | + | | ≥ 3 1，
所以 ∪ 最小的元素为 0，最大的元素为 2 ，所以| ∪ | ≤ 2 + 1，即 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4047( ∈ N)，
解得 ≤ 1349，
实际上，当 = 675,676, 2023 时满足题意；
证明如下：设 = , + 1, + 2, + 3, , 2023, ∈ ( )，则
= 2 ,2 + 1,2 + 2, 4046 ，则 = 0,1,2, 2023 1，依题意可知，2023 < 2 ，即 < 674 3，
所以 的最小值为 675，所以当 = 675 时，
集合 中元素最多，即 = 675,676, , 2023 时满足题意，
综上，| |的最大值为 1349．
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