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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算： 25 =( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
2.五位同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是( )
A. 54 B. 5 × 4 × 3 × 2 C. 45 D. 5 × 4
3.( 2 1 6 ) 的展开式中的常数项为( )
A. 20 B. 20 C. 15 D. 15
4.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
5.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件 为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件 为两枚骰子点数之和为
8，则 ( | ) =( )
A. 5 5 1 136 B. 18 C. 18 D. 9
6.哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到 ， ， ， 四个不同的中学，且每
个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法( )
A. 1080 B. 1560 C. 2640 D. 3960
7.已知甲箱中有 1 个红球和 2 个黑球，乙箱中有 1 个红球和 1 个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先
从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1 个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为
( )
A. 5 7 4 518 B. 18 C. 9 D. 9
8.用四种颜色给下图的 6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，
共有多少种不同的涂法( )
A. 72 B. 96
C. 120 D. 144
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 + 2 )6 = 2 60 + 1 + 2 + + 6 ，则下列结论正确的是( )
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A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 6 = 729
C. 0 + 2 + 4 + 6 = 364 D. 2 4 = 3 3
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设
“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则( )
A.课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有 144 种排法
B.课程“礼”排在“乐”的后面(可以不相邻)，共有 360 种排法
C.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 240 种排法
D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法
11.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三
角做了广泛的研究.下列结论正确的是( )
A.第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1
B.第 20 行第 7 个数和第 8 个数的比为 2：3
C.从第 4 行起到第 19 行，每一行的第 4 列数字之和为 420 1
D.第 行所有数的平方和等于第 2 行最中间的数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.10 名同学中选 2 名同学为代表参加学校园地竞标种植活动，共有______种不同选法．
13.设离散型随机变量 的分布列如下表，若随机变量 = | 2|，则 ( = 2) =______．
0 1 2 3 4
0.1 0.2 0.1 0.3
14.2025 年 9 月 3 日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年纪念日，北京天安门广场举
行了盛大的阅兵仪式.纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神.未来，同学们进入大学的第一课就是军事训练，
军训结束也要进行阅兵.某大学 院系选了 48 名同学组成了 8 排 6 列的阅兵方阵，其中每名男同学都有至
少一名男同学与之相邻，而所有女同学均不相邻(相邻包括左右相邻和前后相邻)，则这个方阵中最多有
______女同学．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ + 在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 + = ．
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(1)求 ；
(2)若 = 1，求 2 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
一个不透明的口袋中装有 3 个红球、3 个黄球和 2 个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋
中一次性地摸出 3 个球．
(1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为 ，求 的分布列．
17.(本小题 15 分)
在平行四边形 中(图 1)， = 2 = 4， 为 的中点，将等边△ 沿 折起，连接 ， ，
且 = 4(图 2)．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若 为线段 上的动点(不含端点)，判断直线 能否与平面 平行，并说明理由．
18.(本小题 17 分)
人工智能( )，英文缩写为 ，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、
开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工
智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词、解答难题、到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人
进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛
1 2
结束)，已知小明第一局获胜的概率为2 .从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为3；如果上一
1
局失败，则本局获胜的概率为3，每局比赛均没有平局．
(1)求小明以 2：1 获得比赛胜利的概率；
(2)在小明以 2：1 获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
(3)记整场比赛小明的获胜局数为 ，求 的分布列．
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19.(本小题 17 分)
现定义了一种新运算“ ”：对于任意实数 ， ，都有 = ( + )，( > 0 且 ≠ 1)．
(1)当 = 2 时，计算 4 4；
(2) = ( 1 ), = 1, ( ) = ，若 ( )的定义域是[ , ]，值域也是[ , ]，其中 > .求实数 的取
值范围；
(3)已知 = ( 3 + ), = 2(1 2)，定义在( 1,1)上的函数 ( ) = ( log 2) (
log 2)，若方程 ( ) = 0 恰有两个不等实根 1， 2，且 1 < 2，设 ( ) = 2 1 2 22，求 ( )的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45
13.0.4
14.17
15.(1)因为 3 + = + ，
+
所以由正弦定理得： 3 + = ，
在△ 中， = ( + )，
所以 3 + = +sin( + ) ，

又因为 ∈ (0, 2 )，所以 > 0，
所以 3 + = + sin( + )，
即 3 + = + + ，
即 3 = + ，
又因为 ∈ (0, 2 )，所以 > 0，
所以 3 = 1 + ，即 3 = 1，
即 2 ( 6 ) = 1 sin(
1
6 ) = 2
因为 ∈ (0, 2 )，所以 6 ∈ ( 6 , 3 )，
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所以 6 = 6，即 =

3．
(2)因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
所以 2 ，0 < = 3 < 2

解得：6 < < 2，
= 1, = 因为 3，所以由正弦定理得： = = ，
1
即sin = =3
，
2 3 2 3
所以 = 3 , = 3 ，
所以 2 = 4 3 2 33 3
4 3 2 3
= 3 3 sin( )
4 3 2 3 2
= 3 3 sin( 3 )
4 3 2 3 2 2
= 3 3 × [sin 3 cos 3 ]
4 3 3
= 3 3
= 3
= 2 ( 6 )，

因为6 < <

2，所以 0 < 6 < 3，
sin( 所以 6 ) ∈ (0,
3
2 )，

所以 2 = 2 ( 6 ) ∈ (0, 3)，
故 2 的取值范围为：(0, 3)．
16.(1)一个不透明的口袋中装有 3 个红球、3 个黄球和 2 个白球，
这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出 3 个球，
由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为 2 个白球和 1 个黄球(或 1 个红球)，可能为 1 个白
球和 2 个红球，
2 1 6 3
其中摸出 2 个白球和 1 个黄球(或 1 个红球)的概率为 2 63 = = ， 8 56 28
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1 2
摸出 1 6 3个白球和 2 个红球的概率为 2 33 = = ， 8 56 28
3 3 3
故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为28 + 28 = 14；
(2)记摸出的球的颜色种类为 ，
由题可知， 的所有可能取值为 1，2，3，
3+ 3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ( = 1) = 3 33 = 56 = 28， ( = 2) =
3 3+ 3 2+ 3 3+ 3 2+ 3 2+ 3 2 = 36 = 9，
8
3
8 56 14
1 1 ( = 3) = 3 3
1
2 = 183 56 =
9
8 28
，
则 的分布列为：
1 2 3
1 9 9
28 14 28
17.(1)证明：在平行四边形 中，△ 为等边三角形，
则∠ = ∠ = ∠ = 3， = = = 2

∴ ∠ = 2 ，∴ ∠ =3 3，
在△ 中，∠ = 3， = 4， = 2，
∴ = 2 + 2 2 ∠ = 2 3，
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
在四棱锥中由 = 4 可得 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
且 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)分别取 ， 中点 ， ，连接 ， ，
∴ //
由(1)可知 ⊥ ， ⊥平面 ，
∵ ⊥ ， ⊥平面 ，
平面 ，∴ ⊥ ，
在正△ 中， ⊥ ，
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∴如图以 为原点建立空间直角坐标系 ，
∴ (1,0,0)， ( 1,2 3, 0)， (0,0, 3)， ( 1,0,0)，
∵ = 1 12 = 2 ( 2,2 3, 0) = ( 1, 3, 0)，
即 ( 2, 3, 0)，
∴ = ( 1,0, 3)， = ( 2,2 3, 0)，
= (1,0, 3)， = ( 1, 3, 0)，
设向量 1 = ( 1, 1, 1)， 2 = ( 2, 2, 2)分别为平面 和平面 的一个法向量，
1 ⊥ 1 = 1 + 3 1 = 0 2 ⊥ 2 = 2 + 3 2 = 0则 ，则 ，和 ，则 ， 1 ⊥ 1 = 2 1 + 2 3 1 = 0 2 ⊥ 2 = 2 + 3 2 = 0

令 1
= 1 2 = 1
1 = 3，则 = 1，令 2 = 3，则 = 1，1 2
即 1 = ( 3, 1,1)， 2 = ( 3, 1, 1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
= |cos < , > | = | 1 | 3则 21 2 | 1|×| 2|
= 5，
(3)不能．
证明：假设存在 上一点 (不包括端点)使得 //平面 ，
∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
则平面 //平面 ，
又∵平面 ∩平面 = ，故矛盾，
∴假设不成立，
即不存在 上一点 (不包括端点)使得 //平面 ，
即直线 不能与平面 平行．
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18.(1)令事件 表示“小明以 2：1 获得比赛胜利”，
( ) = 1 × (1 2 1 1 1 2 1所以 2 3 ) × 3 + (1 2 ) × 3 × 3 = 6，
则小明以 2 1：1 获得比赛胜利的概率为6；
(2)令事件 表示“在第二局比赛中小明获胜”，
所以 ( ) = (1 12 ) ×
1 × 2 13 3 = 9，
1
所以 ( | ) = ( ) ( ) =
9 2
1 = 3，
6
2
则在小明以 2：1 获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为3；
(3)记整场比赛小明的获胜局数为 ，
由题意有 的可能取值为 0，1，2，
所以 ( = 0) = (1 12 ) × (1
1 1
3 ) = 3，
( = 1) = 12 × (1
2 1 1
3 ) × (1 3 ) + (1 2 ) ×
1
3 × (1
2
3 ) =
1
6，
( = 2) = 1 × 2 + 1 2 1 1 1 2 12 3 2 × (1 3 ) × 3 + (1 2 ) × 3 × 3 = 2，
所以 的分布列为：
0 1 2
1 1 1
3 6 2
19.(1)因为对于任意实数 ， ，都有 = ( + )( > 0 且 ≠ 1)，
所以当 = 2 时，4 4 = (24 + 242 ) = 232 = 5；
(2)因为 = ( 1 ), = 1，
所以 = 1 = ( + ) = ( 1 + )，
所以 ( ) = = ( 1 + ) = 1 + ，
由 1 ≥ 0，得 ≤ 1，
且 ( )在( ∞,1]上是单调递减函数．
又因为 1 ≥ 0，
所以 ( ) = 1 + ≥ ．
因为 ( )的定义域是[ , ]，值域也是[ , ]，
( ) =
所以 0 < ≤ < ≤ 1，且 ( ) = ，
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1 + =
即 ，
1 + =
化简得： = 1 1 ，
即( 1 1 )( 1 + 1 1) = 0，
因为 > ，所以 1 > 1 ，
所以 1 + 1 = 1，
当 = 1 时， = = 0，显然不成立，所以 ≠ 1， ≠ ．
当 1 + 1 = 1 时，2 = + 1 < 1，
< 1所以 2，
所以实数 1的取值范围是(0, 2 )，
1
综上所述，实数 的取值范围是(0, 2 )；
(3)由 = ( 3 + ), = 2 2(1 )，
得 = 3 + ， = 1 2，
所以 = ( + ) = (2 3 + 2 )，
= ( + ) = (2 1 2 )，
所以函数 ( ) = ( log 2) ( log 2)
= ( 3 + ) 1 2
= 3 + ， ∈ ( 1,1)，1 2
若方程 ( ) = 0 恰有两个不等实根，
3 +
则 = 1， 3 + = 1 2，
1 2
即 = 1 2 3 在( 1,1)上恰有两个不等实根，
即当 ∈ ( 1,1)时，直线 = 与 = 1 2 3 的图象有两个不同的交点．
对于函数 = 1 2 3 ， ∈ ( 1,1)，
令 = ， ∈ (0, )，
则 = 3 = 2 ( 3 )， ∈ (0, )，
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由图可知当 3 < < 2 时，
= 与 = 3 = 2 ( 3 )， ∈ (0, )的图象有两个不同的交点，
设其横坐标分别为 1， 2，
则有 1 = =
2 5
1， 2 2， 3 < 1 < 6 < 2 < ，
且 1 + =
5
2 3，
5
所以 1 = 3 2．
所以 ( ) = 2 1 2 22
5
= 2 ( ) cos23 2 2 2
= sin2 2 3 2 1
= ( 2
3 2 7
2 ) 4，
5
因为 6 < 2 <
1
，所以 0 < 2 < 2，
3 3 1 3
所以 2 < 2 2 < 2 ，
2 3+3 < ( 3 )2 7所以 4 2 2 4 < 1．
2 3+3
所以 ( )的范围是( 4 , 1)．
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