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2025-2026学年广东省梅州市兴宁一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足 (1 + ) = | 7 + 3 |，则复数 =( )
A. 2 B. 2 + C. 2 2 D. 1 + 2
2.设 = ( ,12)， = (2 , 6)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 6 B. 0 C. 6 D. ±6
3.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出
的直观图，其中 ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，则原四边形 的周长为( )
A. 2 35 + 6 B. 2 5 + 6
C. 12 D. 2 33 + 6
4.某中学共有 300 名教职员工，其中一线教师 200 人，行政人员 60 人，后勤人员 40 人，采取分层随机抽
样，拟抽取一个样本容量为 60 的样本，则行政人员应抽取( )
A. 40 人 B. 28 人 C. 12 人 D. 8 人
5.已知向量 = (4, 2,6)， = ( 2,1, )，则使 ⊥ ， // 成立的 分别为( )
A. 53， 3 B.
10 5
3， 3 C. 3，3 D.
10
3，3
6.在四面体 中，空间的一点 满足 = 1 + 1 + ，若 ， 2 6
， 共面，则 =( )
A. 12 B.
1 C. 5 73 12 D. 12
7.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷 ( ≥ 8, ∈ )次，第 5 次和第 8 次某一面朝下的概率分别记
为 ， ，则 ， 的大小关系为( )
A. ， 的大小由 确定 B. <
C. > D. =
8.美国数学家 于 1953 年提出 0.618 优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分
割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于 20 世纪 60、70 年代对其进行简化、补充，并在我国进行
5 1
推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比 = 2 ≈ 0.618，现给出三倍角公式 3 = 4
3 3 ，则
与 18°的关系式正确的为( )
A. 2 = 3 18° B. = 2 18° C. = 5 18° D. = 6 18°
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面 过点 (1, 1,2)，其法向量 = (2, 1,2)，则下列点不在平面 内的是( )
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A. (2,3,3) B. (3, 3,4) C. ( 1,2,0) D. (2, 1,1)
10.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 13， = 3， = 3，则( )
A. = 4 B. △ 的周长为 7 + 13
C. = 2 1313 D. △
13
外接圆的面积为 3
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，动点 在线段 1 1上， 、 分别是 、 的中点，则下
列结论中正确的是( )
A. // 1 1
B. ⊥平面 1
C.存在点 ，使得平面 //平面 1 1
D.三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知平面 的法向量是(2,3, 1)，平面 的法向量是(4, , 2)，若 // ，则 的值为______．
13.将 10 个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17， ，23，26，27，34，37，38，若该组数据
的 40%分位数为 22，则 = ______．
14.在三棱锥 中， ⊥ ，点 在底面的投影 为△ 的外心，若 = 4， = 3， = 5，则
三棱锥 的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = ( 2 + 2) + ( 2 7 + 6) ，其中 ∈ ．
(1)若 ∈ ，求 的值；
(2)若 对应的点在第一象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记
录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求甲成绩的 80%分位数；
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(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选
派哪位学生参加合适？请说明理由？
17.(本小题 15 分)

在△ 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = ( 6 )．
(1)求角 的大小；
(2)设 = 2， = 3，求 和△ 外接圆的面积．
18.(本小题 17 分)
已知长方体 1 1 1 1， 1 = 3， = 2 = 2， 为棱 的中点， 为线段 1 的中点．
(1)求异面直线 与 1所成角的余弦值；
(2)求直线 1与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在矩形 中， = 4， = 2，将△ 沿 翻折至△ 1 ，且 1 = 2 3，如图 2 所示．
在图 2 中：
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 ；
(2)求点 1到平面 的距离 ；
(3)求二面角 1 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.21
14.62516
15.(1)因为 ∈ ，所以 2 7 + 6 = 0，解得 = 1 或 = 6；
(2)由已知可得
2 + 2 > 0 ，
2 7 + 6 > 0
解得 ∈ ( ∞, 2) ∪ (6, + ∞)，
所以 的取值范围为 ∈ ( ∞, 2) ∪ (6, + ∞)．
16.解：(1)甲成绩按从小到大排列为：78，79，81，82，84，88，93，95，
所以 8 × 0.8 = 6.4，
所以甲成绩的 80%分位数 93；
(2) 82+81+79+95+88+93+84 = 85 92+95+80+75+83+80+90+85甲的平均数是 8 ，乙的平均数是 8 = 85，
1
甲的方差是8 × [(82 85)
2 + (81 85)2 + (79 85)2 + (95 85)2 + (88 85)2 + (93 85)2 + (84
85)2] = 35.5，
1
乙的方差是8 × [(92 85)
2 + (95 85)2 + (80 85)2 + (75 85)2 + (83 85)2 + (80 85)2 + (90
85)2 + (85 85)2] = 41，
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因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，
所以甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
17.(1) 由 = ( 6 )及正弦定理，
则 = cos( 6 )，
又 ∈ (0, )，则 ≠ 0，
故 = cos( ) = 36 2 +
1
2 ，
化简得 = 3，
又 ∈ (0, ) ，故 = 3；
(2)由题意， = 2， = 3，
1
由余弦定理， = 2 + 2 2 = 4 + 9 2 × 2 × 3 × 2 = 7，
△ 7 21则 外接圆半径 = 2 = 2× 3
= 3 ，
2
7
故△ 外接圆面积 = 2 = 3．
18.解：(1)以 为原点，以 、 、 1分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角
坐标系．
则 (1,1,0)， (0,1, 32 )， (1,0,0)， 1(0,0, 3)
则 = ( 1,0, 32 )，
1 = ( 1,0, 3)，直线 与 1所成角为 ，
| 1
5
= |则 = 2 = 5 7．
| | | 1| 7
4 4
14
5 7故异面直线 与 1所成角的余弦值为 14 ．
(2) = (1,1,0)， = (0,1, 3 )， 2
1 = ( 1,0, 3)，
设面 的法向量为 = ( , , )，
= + = 0
则 ，令 = 2，可得 = ( 3, 3, 2)，
= + 32 = 0
设直线 1与平面 所成角为 ，
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= |
1 | 3 30则
| 1
=
| | | 4 10
= 20 ，
30
所以直线 1与平面 所成角的正弦值为 20 ．
19.(1)证明：由题意知 1 = 2 3， = 1 = 4， = 1 = 2，
则 21 + 2 = 21，故 AC 1 ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1，
故 AD⊥平面 1，
而 平面 1 ，
故平面 1 ⊥平面 1D.
(2)由 21 + 2 21 = ，可得 1 ⊥ 1，由(1)知 ⊥平面 1，
1 1所以 1 = 3 △ 1 = 3 × 2 ×
2×2 3 4 3
2 = 3 ，
1 1 2×4 4
又 1 = 1 = 3 △ = 3 × × 2 = 3，
所以 = 3．
(3)在平面 1 内作 1 ⊥ ，垂足为 ；在平面 1内作 1 ⊥ ，垂足为 ，
连接 ，由 ⊥平面 1， 1 平面 1，故 AD⊥ 1 ，
因为 1 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
由(2)知 1 = = 3，因为 平面 ，故 C 1 ⊥ ，又 1 ⊥ ，
1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 平面 1 ，所以 ⊥ ，又 1 ⊥ ，
则∠ 1 为二面角 1 的平面角，
又 平面 ，故 C 1 ⊥ ，
2 5
由题意知直角三角形 1 中， = 2 5，sin∠ 1 = 1 = 5 ，
故 1 = 1 sin∠
4 5
1 = 5 ，
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又 51 = 3，则 = 1 2 21 = 5 ，
所以 cos∠ = 11 1
= 4，
1
故二面角 1 的余弦值为4．
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