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2025-2026学年江西省九江市庐山外国语学校高一（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数 = 3 2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = ( 1,3)， = (2, 1)，若(2 )//( + )，则 =( )
A. 1 1 5 52 B. 2 C. 3 D. 3
3.已知 为△ 所在平面内的一点，3 = 2 , = ，则 =( )
A. 4 + 1 B. 1 + 4 C. 3 + 1 D. 1 2 3 2 2 3 4 2 2 + 3
4 cos( + ) = 1.已知 5， = 2，则 cos( ) =( )
A. 35 B.
1 C. 15 5 D.
3
5
5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室
壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆
柱构成的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图 2 所示，已知
半球的半径为 ，圆柱的高也为 ，则银杯盛酒部分的容积为( )
A. 5 3 7 3 83 B. 3 C. 3
3 D. 103
3
6.正方体 1 1 1 1中， = 2， 是 的中点，则点 到平面 1 的距离为( )
A. 66 B.
6 C. 6 64 3 D. 2
7 1.将函数 ( ) = sin( + 6 )图像上所有点的横坐标缩小到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平

移4个单位长度，则所得新函数的解析式为( )
A. = sin(2 ) B. = sin(2 ) C. = sin( ) D. = sin( 12 3 2 12 2 + 24 )
8.体操中有“后空翻转体 720 度”的动作，其中“720 度”等于( )
A. 弧度 B. 2 弧度 C. 3 弧度 D. 4 弧度
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
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A. 3 4是第三象限角 B.若圆心角为3的扇形的面积为 6 ，则该扇形的弧长为 2
C.若角 3的终边过点 ( 3,4)，则 = 5 D.若角 为锐角，则角 2 为钝角
10.下列各式的值等于 1 的有( )
A. sin2( ) + cos2 B. sin( 5 2 )
cos(
C. cos( 5 ) D. 2
+ )
sin( 3 + )
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1， 1的中点，则下列说法正确的是
A. 与 所成夹角为4
B. ⊥ 1
C. ⊥
D.点 2到平面 的距离为3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 .函数 = tan(2 3 )的最小正周期为______．
13.已知复数 1， 2满足| 1| = | 2| = 5，且 1 2 = 3 4 ，则| 1 + 2| = ______．
14 tan( 2 ) = 4 2
2 + 2 1
.已知 满足 3，则 2 cos = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = ( 1,2), = ( , 3), ∈ ．
(1)若 // ，求实数 的值；
(2)若 2 ⊥ ，求实数 的值；
(3)若两向量的夹角为锐角，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，满足 + 3 = + ．
(1)求 ；
(2)若△ 的周长为 20，面积为 10 3，求 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， = 2 2， = 2 3，且 ⊥底面 ， ， ，
分别为棱 ， ， 的中点．
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(Ⅰ)求证：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的大小．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, 2 < < 2 )的部分图像如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)函数 = 的图像经过怎样的变换能得到函数 ( )的图像；
(3)求函数 ( )的单调递减区间；
(4)求不等式 ( ) ≥ 1 的解集．
19.(本小题 17 分)
如图，在平行四边形 中， = 3, = 1，点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，
设 = , = ．
(1)用向量 , 表示向量 ；
(2)若| | = 7，求 6 ；
(3)若∠ = 6，求|
|．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.5 3
14.14
15.(1)因为 = ( 1, 2), = ( , 3)，且 / / ，
所以( 1) × ( 3) 2 = 0，解得 = 32；
(2)因为 = ( 1, 2)，所以 2 = ( 2, 4)，
又 = ( , 3)且 2 ⊥ ，
所以 2 = 0，
即 2 = 2 12 = 0，
解得 = 6；
(3)由两向量的夹角为锐角，则 > 0，且 与 不共线，
由 > 0，得 6 > 0，解得 < 6，
由 3与 共线，得 = 2，
所以向量 与 的夹角为锐角时，
所以 得取值范围为( ∞, 6)．
16.(1)因为 + 3 = + ，
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由正弦定理得 + 3 = + = + + ，
故 3 = + ，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，故 3 = 1，
即 2 ( 6 ) = 1
1
，所以 sin( 6 ) = 2，
5
因为 ∈ (0, )，所以 6 ∈ ( 6 , 6 )，
故 6 = 6，解得 =

3；
(2)因为△ 的周长为 20，面积为 10 3，
+ + = 20
1 + + = 20所以
2 = 10 3
，即 = 40 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，即 2 = ( + )2 2 ，
化简得 2 = (20 )2 3 × 40，解得 = 7．
17.解：(Ⅰ)证明：∵ ⊥底面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
如图，连接 ，
∵底面 为正方形，
∴ ⊥ ，
∵ ， 分别为棱 ， 的中点，
∴ // ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(Ⅱ)如图，设 ∩ = ， ∩ = ，连接 ，则 为线段 的中点，
易知平面 ∩平面 = ，
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由(Ⅰ)知 ⊥ ， ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角，
又 ⊥底面 1， = 2 = 3，
= 1 = 14 4 × (2 2)
2 + (2 2)2 = 1，
∴ tan∠ = = 3，
∴ ∠ = 3．
18.(1)由 ( ) 5 图像得 = 2，且2 = 3 ( 3 ) = 2 ，
则 = 2 = 4
1
，解得 = 2，
1
所以 ( ) = 2 ( 2 + )，
因为 ( 5 3 ) = 2 (
1 5
2 × 3 + ) = 2，
1 × 5 所以2 3 + =

2 + 2 , ∈ ，
解得 = 3 + 2 ， ∈ ，

又 2 < < 2，
所以 = 3，即 ( ) = 2 (
1 2 3 )．
(2)先将函数 = 的图像上所有的点向右平移3个单位，
可得到 = sin( 3 )的图像，
再将 = sin( ) 1 3 图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，就可得到 = sin( 2 3 )的图像，
= sin( 1 最后将 2 3 )图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的 2
1
倍，就可得到 = 2 ( 2 3 )的
图像．
(3) 1 3 由 2 + 2 ≤ 2 3 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
解得 4 + 5 11 3 ≤ ≤ 4 + 3 , ∈ ，
所以 ( )的单调递减区间为[4 + 5 3 , 4 +
11
3 ]( ∈ )．
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(4)因为 2 ( 1 2 3 ) ≥ 1，所以 sin(
1
2
1
3 ) ≥ 2，
所以 2 + 16 ≤ 2

3 ≤ 2 +
5
6 , ∈ ，
解得：4 + ≤ ≤ 4 + 7 3 , ∈ ，
所以不等式 ( ) ≥ 1 的解集是{ |4 + ≤ ≤ 4 + 7 3 , ∈ }．
19.(1)因点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，
1 1
可得 = = = 1 ， = 1 2 2 2 3 =
1
3 (
) = 13
1
3 ，
故 = + + = 1 2 6 + 3 ；
(2) 2 1由(1)得 = 3
6 ，
所以
2 2
= | |2 = ( 2 1 2 4 1 2 2 3 6 ) = 9 + 36 9 ，
因为| | = 76 , = 3, = 1，
7 4
所以36 = 9 +
3 2 36 9
，
3
解得 = 2；
(3) 若∠ = 6，
3
则根据平面向量数量积运算可得 = 3 × 1 × cos 6 = 2，
1 2 1 1 1 1
根据平面向量的加法法则可得 = + = + = 6 +

3 + 3 3 = 6 + 3 ，
1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 13
所以| |2 = ( 6 +
)23 = 36 + 9
+ 9
= 36 × 3+ 9 × 2 + 9 = 36，
所以| | = 136 ．
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