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2025-2026 学年北京市西城区育才学校高三上学期 9 月月考数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分。
1.若集合 = { | 3 < < 3}， = { |( + 4)( 2) > 0}，则 ∩ =( )
A. { | 3 < < 2} B. { |2 < < 3}
C. { | 3 < < 2} D. { | < 4 或 > 3}
2.已知等差数列 , 5 = 10, 9 = 20，则 1等于( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 5
3.下列函数中，是偶函数且在区间 0, + ∞ 上为增函数的是( )
A. = 3 B. = 1 23 C. = D. = + 1
4.函数 = ln + 1 1 的一个零点所在的区间是( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
1 0.2 15.设 = 3 , = 23, = 12，则( )3
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.“ 2 = 2”是“ 2 + 2 = 2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7 1.已知函数 ( ) = 3 ( 3 ) ，则 ( )
A.是奇函数，且在 上是增函数 B.是偶函数，且在 上是增函数
C.是奇函数，且在 上是减函数 D.是偶函数，且在 上是减函数
8.把函数 = 2 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为 = 3 2 ，则 的值为( )
A. 23 B. 32 C. 2 D. 3
9.已知定义在 上的函数 = ( )满足 ( + 2) = ( )，当 1 < ≤ 1 时， ( ) = 3，若函数 ( ) = ( )
至少有 6 个零点，则 的取值范围是
A. 0,5 B. (0, 15 ) ∪ 5, + ∞ C. 0,
1
5 ∪ 5, + ∞ D.
1
5 , 1 ∪ 1,5
10.已知集合 = {( , )∣ = ( )}，若对于任意 1, 1 ∈ ，存在 2, 2 ∈ ，使得 1 2 + 1 2 = 0 成立，
则称集合 是“好集合”.给出下列 4 个集合：
① = ( , ) = 1 ② = ( , )∣ =
2
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③ = {( , )∣ = cos } ④ = {( , )∣ = ln }
其中所有“好集合”的序号是( )
A.②③ B.①②④ C.③④ D.①③④
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知幂函数 = 的图象经过点 2,4 ，则 = ．
12.命题 ：“ ∈ ， 2 + 2 4 ≥ 0”为假命题，则 的取值范围是 ．
13.函数 = + 1 + lg 4 的定义域是 ．
, ≤ 0
14.设函数 = 2 + + 1 , > 0则 [ (0)] = ；若方程 ( ) = 有且仅有 3 个不同的实数根，则4
实数 的取值范围是 ．
15 1.已知直线 : = + 和曲线 : = 1+ 2，给出下列四个结论：
①存在实数 和 ，使直线 和曲线 没有交点；
②存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 恰有 1 个交点；
③存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 不会恰有 2 个交点；
④对任意实数 和 ，直线 和曲线 不会恰有 3 个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数 = 3 3 2 + 9 + ．
(1)求 的单调区间：
(2)若 在区间 1,2 上的最小值为 15，求 在该区间上的最大值．
17.求下列函数的导数．
(1) = cos sin ；
(2) = 3 1；
(3) = ln 1+ 1 ．
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而
研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从 2010 年到 2019 年这 10 年研发投入的数据分布图：
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其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．
( )从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%的概率；
( )从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份，设 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数，求
的分布列和数学期望；
( )根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．
19.设函数 = 2 4 + 1 + 4 + 3 ．
(1)若曲线 = 在点 1, 1 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)求 的单调区间．
20 = ln .已知函数 ．
(1)求函数 = 在点 1, 1 处的切线方程；
(2)设实数 使得 < 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 = ∈ 1，求函数 在区间 , 2 上的零点个数．
21.已知集合 = {1,2,3, , 2 } ∈ , ≥ 4 ，对于集合 的非空子集 .若 中存在三个互不相同的元素 ，
， ，使得 + ， + ， + 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”．
(1)试判断集合 1 = 3,4,5 ， 2 = {3,5,7}是否为集合 4的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由)
(2)如果一个集合中含有三个元素 ， ， ，同时满足① < < ，② + > ，③ + + 为偶数．那么
称该集合具有性质 .对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合
具有性质 ；
(3)若 ( ≥ 4)的任意含有 个元素的子集都是集合 的“期待子集”，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 2
12.( 4,0]
13.[ 1,4)
14.1 1 14；( 4 , 2 )
15.① ② ③
16.(1)由题意 ′ = 3 2 6 + 9 = 3 + 3 1 ，令 ′ = 0，解得 1 = 3， 2 = 1，
当 < 3， > 1 时， ′ < 0，当 3 < < 1 时， ′ > 0，
所以 在区间 ∞, 3 ， 1, + ∞ 上单调递减，在区间 3,1 上单调递增．
综上所述： 在区间 ∞, 3 ， 1, + ∞ 上单调递减，在区间 3,1 上单调递增．
(2)由(1)可得当 ∈ 1,1 时， 单调递增，当 ∈ 1,2 时， 单调递减，
所以当 = 1 时取到极大值，也是最大值 1 = 1 3 + 9 + = 5 + ，
又 1 = 1 3 9 + = 11 + ， 2 = 8 12 + 18 + = 2 + ，
所以当 = 1 时取到最小值 1 = 11 + = 15，解得 = 26，
此时 1 = 5 + 26 = 31．
所以 在区间 1,2 上的最大值为 31．
17.(1)由 = cos sin 可得 ′ = cos + sin cos = sin ；
(2)由 = 3 3 1 3 3 1可得 ′ = 1 2 = 1 2；
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(3)由 = ln 1+ 1 可得 = ln 1 + ln 1 ，
1 1 1 +1+ 2
所以 ′ = 1+ 1 = 1+ 1 = 1 2；
18.( )由题知，2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过 10%有 9 年，设从 2010
年至 2019 9年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%为事件 ，∴ ( ) = 10．
( )由题意得 的取值可能为 0，1，2
2
= 0 = 5 = 2
2
，
10 9
1 1
= 1 = 5 5 = 52 9， 10
2
= 2 = 5 = 2
210 9
．
的分布列为
0 1 2
2 5 2
9 9 9
= 0 × 29+ 1 ×
5 2
9 + 2 × 9 = 1．
( )2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过 10%有 9 年，每年基本上都在增
加，因此公司在发展的过程中重视研发．
19.(1)因为 = 2 4 + 1 + 4 + 3 ，
所以 ′ = 2 4 + 1 + 2 4 + 1 + 4 + 3 ∈
= 2 2 + 1 + 2 ．
′ 1 = 1 ．
由题设知 ′ 1 = 0，即 1 = 0，解得 = 1．
此时 1 = 3 ≠ 0．
所以 的值为 1．
(2)由(1)得 ′ = 2 2 + 1 + 2 = 1 2 ．
1)当 = 0 时，令 ′ = 0，得 = 2，
所以 , ′ , 的变化情况如下表：
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∞,2 2 2, + ∞
′ + 0
单调递增极大值单调递减
2)当 ≠ 0，令 ′ = 0 1，得 = 或 2
①当 < 0 1时， < 2，所以 , ′ , 的变化情况如下表：
1 1
∞, 1 , 2 2 2, + ∞
′ 0 + 0
单调递减极小值单调递增极大值单调递减
②当 > 0 时，
(ⅰ) 0 < 1 1当 < 2 即 > 2时，
1 1
∞, 1 , 2 2 2, + ∞
′ + 0 0 +
单调递增极大值单调递减极小值单调递增
(ⅱ) 1 = 2 = 1当 即 2时， ′ ≥ 0 恒成立，所以 在 上单调递增；
(ⅲ) 1当 > 2 即 0 < <
1
2时，
1 1
∞,2 2 2, 1 , +∞
′ + 0 0 +
单调递增极大值单调递减极小值单调递增
综上，
< 0 1 1当 时， 的单调递增区间是 , 2 ，单调递减区间是 ∞, 和 2, + ∞ ；
当 = 0 时， 的单调递增区间是 ∞,2 ，单调递减区间是 2, + ∞ ；
0 < < 1 1 1当 2时， 的单调递增区间是 ∞,2 和 , + ∞ ，单调递减区间为 2, ；
当 = 12时， 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
> 1 1 1当 2时， 的单调递增区间是 ∞, 和 2, + ∞ ，单调递减区间是 , 2 ．
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20.(1) 1 ln 由题可得函数 的定义域为 0, + ∞ ，且 ′ = 2 ，
1 ln1
则 ′ 1 = 1 = 1，因 1 = 0，
所以 在点 1,0 处的切线方程为 0 = 1 × 1 ，化简为 = 1．
故函数 = 在点 1, 1 处的切线方程为 = 1．
(2) ln ln 由题意知得 < 恒成立，即 < 恒成立，等价于 2 < 恒成立，
ln
设 = 2 > 0 ，则 ′ =
1 2ln
3 ，令 ′ = 0，解得 = ，
当 0 < < 时， ′ > 0；当 > 时， ′ < 0，
= ln 1 1所以当 时， 取到极大值也是最大值 = 2 = 2 ，所以 > 2 ，
1所以 的取值范围为 2 , + ∞ ．
(3) = = 0 = ln ln 由题知令 ，即 ，则得 = ，从而得 2 = ，
由(2) 1 ln 得函数 在区间 2 , 上的零点个数即等价于求函数 = 2 > 0 的图象与函数 = 的图象的
交点个数，
又因 = ln 1 2在区间 , 上单调递增，在区间 ,
2 上单调递减，
且当 = 时， 1取到极大值也是最大值 = 2 ，
又因为 1 2 2 2 = ， = 4，
> 1当 2 或 <
2 ln 时，函数 = 2 > 0 的图象与函数 = 的图象的交点个数为 0，
当 2 ≤ < 2 4或 =
1 ln
2 时，函数 = 2 > 0 的图象与函数 = 的图象的交点个数为 1，
2 ≤ < 1 ln 当 4 2 时，函数 = 2 > 0 的图象与函数 = 的图象的交点个数为 2．
1 1
综上所述：当 > 2 或 <
2时， 函数在区间 , 2 上有 0 个零点；
2 1 1
当 2 ≤ < 2 4或 = 2 时， 函数 在区间 , 上有 1 个零点；
2
当 4 ≤ <
1 1
2 时， 函数在区间 ,
2 上有 2 个零点．
21.(1)因为 4 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
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+ = 3 = 2
对于集合 1 = 3,4,5 ，令 + = 4，解得 = 1，显然 1 ∈ 4，2 ∈ 4，3 ∈ 4
+ = 5 = 3
所以 1是集合 4的“期待子集”；
1 + 1 = 3
对于集合 2 = {3,5,7}，令 1 + 1 = 5
15
，则 1 + 1 + 1 = 2，
1 + 1 = 7
因为 1, 1, 1 ∈ 4，即 1 + 1 + 1 ∈ ，故矛盾，所以 2不是集合 4的“期待子集”；
(2)先证明必要性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的 , , ∈ ，使得 + , + , + ∈ ，
不妨设 < < ，令 = + ， = + ， = + ，则 < < ，即条件 中的①成立；
又 + = + + + + = 2 > 0，所以 + > ，即条件 中的②成立；
因为 + + = + + + + + = 2 + + ，
所以 + + 为偶数，即条件 中的③成立；
所以集合 满足条件 ．
再证明充分性：
当集合 满足条件 时，有存在 , , ∈ ，满足① < < ，② + > ，③ + + 为偶数，
= + + = + + = + + 记 2 ， 2 ， 2 ，
+ +
由③得 , , ∈ ，由①得 < < < ，由②得 = 2 > 0，
所以 , , ∈ ，
因为 + = ， + = ， + = ，所以 + ， + ， + 均属于 ，
即集合 是集合 的“期待子集”．
(3) 的最小值为 + 2，理由如下：
一方面，当 3 ≤ ≤ 时，对于集合 = | = 2 1, = 1,2,3, , ，其中任意三个元素之和均为奇数，
由(2)知， 不是 的“期待子集”；
当 = + 1 时，对于集合 = | = 2 1, = 1,2,3, , ∪ 2 ，
从中任取三个不同的元素，若不含有 2，则不满足条件 的③，
若含有 2，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差(大数减小数)都不小于 2，
故不满足条件 中的②，所以 不是 的“期待子集”；
所以 ≥ + 2．
另一方面，我们用数学归纳法证明集合 的任意含有 + 2 个元素的子集，都是 的“期待子集”：
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( )当 = 4 时，对于集合 4的任意含有 6 个元素的子集，记为 ，
当 4、6、8 三个数中恰有 1 个属于 时，则 1,2,3,5,7 ，因为数组 3,4,5、3,5,6、5,7,8、5,6,7、5,7,8 都
满足条件 ，
当 4,6,8 三个数都属于 ，因为数组 4,6,8 满足条件 ，
所以此时集合 必是集合 4的“期待子集”，
所以当 = 4 时 4的任意含有 6 个元素的子集都是集合 4的“期待子集”．
( )假设当 = ≥ 4 时结论成立，即集合 的任意含有 + 2 个元素的子集都是 的“期待子集”，那么
= + 1 时，对于集合 +1的任意含有 + 3 个元素的子集 ，
分成两类，①若 2 + 1，2 + 2 至多有 1 个属于 ，则 中至少有 + 2 个元素都在集合 ，由归纳假设知，
结论成立；
②若 2 + 1 ∈ ，2 ∈ ，则集合 中恰含 的 + 1 个元素，此时，当 中只有一个奇数时，则集合 中包
含 中的所有偶数，此时数组 2 4，2 2，2 符合条件 ，结论成立；
当集合 中至少有两个奇数时，则必有一个奇数 不小于 3，此时数组 ，2 1，2 符合条件 ，结论成立，
所以 = + 1 时结论成立，
根据( )( )知，集合 的任意含有 + 2 个元素的子集，都是 的“期待子集”，所以 的最小值为 + 2
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