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江苏省镇江丹阳市2026届高三上学期9月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.若函数在上有极值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动决赛准备了道选择题和道填空题，每位参赛者从道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取道题作答设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. 与互斥与互斥
B. 不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同
C.
D.
10.设函数，则( )
A. 是的一条切线
B.
C. 当时，
D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为
11.已知边长为的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则( )
A. 平面平面
B. 当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
C. 当二面角为时，点到平面的距离为
D. 当时，直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是周期为的奇函数，当时，，则 ．
13.在中，若，则的最小值为 ．
14.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，且，求的面积．
16.本小题分
年，世界首届人形机器人运动会在东京举行顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束，已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局．
该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率
记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
已知函数，其中．
若函数在区间内恰有个极值点，求的取值范围
当时，在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求边的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，面底面，，是的中点，，．
证明：平面
当时，
(ⅰ)证明：直线平面(ⅱ)求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，其中
讨论的单调性
若直线是曲线的一条切线，求的值
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，即，
由正弦定理得：，
在中，，则，
又，所以．
由，
则，即，
又，则，
又，则，即，
又，
．
16.解：设事件“小明以获得比赛胜利”，“小明连胜两局获胜”，
若小明以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，
所以，
，
则，
则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为；
由题意的所有取值为，，．
则，
，
，
所以变量的分布列为
则的期望为．
17.解：，
由，则，
由在上恰有个极值点，则，
所以的取值范围为；
当时，
由，
又，
，即，，
由正弦定理，得，
，
又，
，
故，仅当时，．
18.证明：由题意得，在矩形中，，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，所以
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，，
所以平面，
且平面，得，
在和中，，，
故∽，得，
即，，
又因为，平面，，
所以平面；
当时，
(ⅰ)证明：在线段上取一点，使得，即，
因为平面，平面，平面，
在矩形中，因为，，所以，
即，
又，所以，
因为平面，平面，平面，
且平面，平面，，
得平面平面，
又因为平面，所以平面；
(ⅱ)解：由，，
所以，即；
与中同理可得平面，平面，得，
且，平面，，
得平面，
又平面，
即平面平面，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：定义域为，
由，
令，
当时，在单调递增，，即
当时，由，解得：，令，
则当时，，，单调递增
当，，，单调递减
所以，当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间为；
因为是的切线，设切点为，
则，即
又，即
由得：，
令，则，解得，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
则的解为，将带入式解得：；
由，即，化简得：，
设，可得，
设，，
则在递增，
当时，，在递减，即有，此时递增；
当时，，
由，可设，
若，可得在递减，可得，
所以在递减，即
当，且，，，
所以，当时，，即，即的取值范围是
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