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2025-2026学年河南、江西等部分校 9月百师联盟高二数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 的斜率为 2，且过点(2,0)，则直线 的方程为( )
A. 2 + 4 = 0 B. 2 4 = 0 C. 2 + + 4 = 0 D. 2 + 4 = 0
2 3.设直线的倾斜角为 ，斜率为 .若 ≥ 3 ，则 的取值范围是( )
A. [ 5 6 , ) B. [0,

2 )
C. [0, ) ∪ [ 5 5 2 6， ) D. [0, 2 ) ∪ ( 2 , 6 ]
3.若方程 2 + 2 8 + 6 + = 0 表示圆，则实数 的值是( )
A. 29 B. 25 C. 16 D. 41
24
2
.已知椭圆 : 8 + 6 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上，则△ 1 2的周长为( )
A. 4 2 B. 2 2 C. 2 6 D. 6 2
5.已知实数 ， 满足( + 2)2 + 2 = 4，则 4 + 3 的取值范围为( )
A. [ 18,2] B. [ 2,18] C. [ 10,10] D. [ 10, 6]
2 26.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上，且∠ 1 2为直角.若
3| 2| = 4| 1|，则椭圆 的离心率是( )
A. 3 B. 5 C. 45 7 5 D.
4
7
7.已知直线 3 4 + 2 = 0 与圆 : 2 + 2 + 2 = 0( > 0) 5相切，则圆 和圆 : ( + 1)2 + ( 1)2 = 4
的位置关系是( )
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
8.已知点 (1, 1)， (1,2)，且点 在直线 : 4 + 3 12 = 0 上，则下列说法错误的是( )
A.存在点 ，使得 ⊥ B.存在点 ，使得| | = 2| |
C. | |( 12为坐标原点)的最小值为 5 D. | | + | |的最小值为 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 1: (2 + 1) + + 1 = 0， 2: ( + 2) + + 2 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 的值可能是( )
A. 1 B. 0 C. 23 D. 1
10.已知圆 : 2 + 2 4 + 8 5 = 0 和直线 : = 2 + ，则下列说法正确的有( )
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A.当 = 3 时，直线 被圆 截得的弦长为 4 5
B.当 = 3 时，圆 上到直线 的距离为 2 的点有 4 个
C.若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为( 5 5 8,5 5 8)
D.存在实数 ，使得直线 与圆 相切
2 211 .已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0, ≠ )的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上.若△ 2是等腰
直角三角形，则椭圆 的离心率可能是( )
A. 2 B. 5 12 2 C. 2 1 D. 3 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 的一个法向量为 = (2,1)且过点(3, 2)，则直线 的一般式方程为 ．
13.在平面直角坐标系 中，已知圆 : 2 + 2 = 16，点 在直线 2 + + 10 = 0 上运动，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为 ．
14.圆 经过点 (16,0)，且与圆 : 2 + 2 + 8 6 = 0 相切于坐标原点 ，则圆 的标准方程为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 : + 3 2 = 0( ∈ )．
(1)若直线 不经过第三象限，求 的取值范围;
(2)已知 ( 3,8)，若点 到直线 的距离为 ，求 最大时直线 的一般式方程．
16.(本小题 15 分)
根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1)焦点在 3 1轴上，过点(1, 2 )，离心率 = 2 ;
(2)一个焦点为(1,0)，过点( 303 ,
2 3
3 );
(3) 3短轴长为 2，离心率 = 2 ．
17.(本小题 15 分)
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 20 的圆形区域内.已知小岛中心位
于轮船正西 40 处，港口位于小岛中心正北 30 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
18.(本小题 17 分)
已知△ 的三个顶点分别是 (2,3)， (1,2)， (4, 4)．
(1)求边 上的高线 所在直线的方程;
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(2)若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程;
(3)求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知点 ( 2, 3)和以点 为圆心的圆( 4)2 + ( 2)2 = 9．
(1) 设倾斜角为4的直线 与圆 交于 ， 两点，求弦 的长．
(2)设以 为直径的圆为圆 ，求圆 的方程．
(3)设圆 与圆 相交于 ， 两点，直线 ， 是圆 的切线吗 为什么
(4)求直线 的方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 + 4 = 0
13.8
14.( 8)2+( +6)2 = 100
15.解：(1)直线 的方程为 ( 2) + 3 = 0，因此直线 恒过定点 (2,3)， 为直线斜率，
若直线 不经过第三象限，则 0．
(2)由(1)知直线 恒过定点 (2,3)， ( 3,8)，
⊥ 8 3当且仅当 时， 取得最大值，此时直线 的斜率 = 3 2 = 1，
则此时直线 的斜率 = 1，直线 的方程为 + 1 = 0．
2 2
16.解：(1) 由题意，焦点在 轴上，设椭圆标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)。
= 1 1 已知离心率 2，即 = 2，故 = 2，
2
又 2= 2+ 2 ，得 2 = 2 + 4，解得
2 = 3 24 ，
3
3 12 ( )2
9
1
将点(1, 2 )代入标准方程： 2 +
2
2 = 1，即
4
2 + 2 = 1，
9
将 2 = 34
2 1 1 3 4代入上式： 4 2 + 3 2 = 2 + 2 = 2 = 1，解得
2 = 4，则 2 = 3。
4
2 2
故椭圆标准方程为 4 + 3 = 1。
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(2)由题意，焦点为(1,0)，故焦点在 轴上， = 1，
2 2
设椭圆标准方程为 + = 1( > > 0)，且 2= 2 2 2 + 1，
30
30 2 3 ( )2 (
2 3
3 3 )
2
( , ) + 10 4将点 3 3 代入标准方程： 2 2 = 1，得 2 + 2 = 3，
10
又 2= 2 + 1，从而得 2+1 +
4
2 = 3，
解得 2 = 4，所以 2 = 4 + 1 = 5
2 2
因此椭圆标准方程为 5 + 4 = 1，
(3)短轴长为 2，故 2 = 2，即 = 1，
离心率 = 3 3 32 ，即 = 2 ，故 = 2 ，
由椭圆关系 2= 2+ 2得： 2 = 1 + 3 24 ，解得
2 = 4。
2
1.焦点在 轴上：椭圆标准方程为 4 +
2 = 1，
22.焦点在 轴上：椭圆标准方程为 24 + = 1．
17.解：
以小岛的中心为原点 ，东西方向为 轴，建立如图所示的直角坐标系．
为了运算的简便，我们取 10 为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 2 + 2 = 4;

轮船航线所在直线 的方程为4+ 3 = 1，即 3 + 4 12 = 0．
3 + 4 12 = 0,
联立直线 与圆 的方程，得 2 + 2 = 4.
消去 ，得 25 2 72 + 80 = 0．
由△= ( 72)2 4 × 25 × 80 < 0，可知方程组无解．
所以直线 与圆 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
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18. (1) (1,2) (4, 4) = 4 2解： 由 、 ，得 4 1 = 2，
因 ⊥ ，故 × = 1，得 =
1
2。
所以 的直线方程为 3 = 12 ( 2)，
整理得 2 + 4 = 0；
(2)直线 过 且 、 到 距离相等，分两种情况：
// = 4 3①，若 ， 4 2 =
7
2，
7
则直线 的方程为 2 = 2 ( 1)，整理得 7 + 2 11 = 0；
2+4 , 3+( 4) 1② 过 的中点，求 的中点 ： 2 2 = 3, 2
12 2则 5的斜率： = 3 1 = 4。
∴ 5直线 的方程为 2 = 4 ( 1)，整理得 5 + 4 13 = 0，
综上，直线 的方程为 7 + 2 11 = 0 或 5 + 4 13 = 0；
(3)直线 的方程为 2 = 4 24 1 ( 1)，即 2 + 4 = 0，
= |4+3 4| 3 5点 到直线 的距离为 = 5 ，又| | = (1 4)
2 + (2 + 4)2 = 3 5，
22+12
所以△ 1 3 5 9的面积为 = 2 × 3 5 × 5 = 2 ;
19. 解：(1)由直线 的倾斜角为4，故斜率 = tan 4 = 1．
则直线 方程为 ( 3) = 1 × ( 2) ，即 1 = 0．
圆( 4)2 + ( 2)2 = 9 的圆心为 (4,2)，半径 = 3，
= |4 2 1| 2则圆心 到直线 的距离 = ，
12+( 1)2 2
则 = 2 2 2 = 2 32 ( 2 )22 = 34;
(2)因为点 ( 2, 3)，点 (4,2)，
则 1的中点，即圆 的圆心坐标为(1, 2 )，
又| | = (4 ( 2))2 + (2 ( 3))2 = 61 61，故圆 的半径 = 2 ，
因此，圆 的标准方程为：( 1)2 + ( + 1 2 61 2+ 22 ) = 4，即 2 + 14 = 0．
(3)直线 、 是圆 的切线，理由如下：
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由题意，圆 是以 为直径的圆，
故对于圆 上的点 ，∠ = 90 ，
又因为 在圆 上， 是圆 的半径，且 垂直于半径 ，
根据圆的切线判定定理，直线 是圆 的切线，
同理， 也是圆 的切线．
(4)因为圆 的方程为( 4)2+( 2)2 = 9，即 2+ 2 8 4 + 11 = 0，
又圆 的一般式方程为 2+ 2 2 + 14 = 0，
将两圆方程相减，化简整理得 6 + 5 25 = 0，
即直线 的方程为 6 + 5 25 = 0．
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