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山西省长治市沁源县第一中学 2026 届高三上学期 8 月开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 0,1,2,3,4 , = { ∣ 1 ≤ < 2}，则 ∩ =( )
A. 0 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 1,2
2.已知 为虚数单位，复数 满足 = 2 + ，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1+ 2 C. 1 2 D. 1 2
3.已知向量 = ( 2,3), = (1,4)，且 ⊥ ，则 =( )
A. 5 B. 6 C. 10 D. 7
4.已知 是等差数列 的前 项和，且 2 = 4, 4 = 16，则 8 =( )
A. 36 B. 46 C. 64 D. 160
5 sin = 3 sin2 .已知 5，且 是第二象限的角，则cos2 +1 =( )
A. 3 3 4 44 B. 4 C. 3 D. 3
6.已知 = log32, = log64, =
2
3，则 , , 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.过坐标原点作曲线 = ( ) ( ≠ 0)的切线，若切线有且只有一条，那么 =( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
2 28 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1, 2，过 2的直线与椭圆交于 , 两点，若
2 =
3 2 2
，且∠ 1 = 90 ，则椭圆的离心率为( )
A. 5 2 3 25 B. 5 C. 5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合 = ∣0 ≤ ≤ 4 , = ∣ 2 ≤ ≤ 2 ，则下列曲线能表示从集合 到集合 的函数关系的有( )
A. B. C. D.
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10.已知圆锥的轴截面是面积为 3的等边三角形，则下列结论正确的是( )
A. 3该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为 3 π
C.该圆锥的侧面积为 2π D.该圆锥外接球的表面积等于 8π
11 π π.为了得到函数 = sin 2 + 3 的图象，只需将函数 = cos 12 的图象( )
A. π 1先向右平移12个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2
B. π先向左平移12个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍
C. 1 π先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2倍，再向右平移24个单位长度
D. π先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移24个单位长度
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12. 3 12 的展开式中含
2项的系数为 ．
13.已知直线 ： + 4 = 0 与圆 ： 2 + ( 2)2 = 4 交于 、 8两点，写出满足“ 面积为5”的
的一个值 ．
14 1.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制．若各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为2，
没有平局．若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以 3：1 获胜的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知角 , , 成等差数列，5sin( ) = 3sin ．
(1)求 cos ；
(2)若 的外接圆的周长为 7π，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合
3
格的概率为 (0 < < 1)，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为4；若第一环节测试不合格，
3
则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为8，且每次测试结果相互独立．
(1)求 的值；
(2)若连续 2 次进行测试，记 为合格的次数，求 的分布列及数学期望．
17.(本小题 15 分)
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如图，在等腰直角三角形 中， ⊥ , = 3, 、 分别是 , 上的点，且 = 2 , = 2 ，将
沿 进行翻折，使得点 至点 处，且 = 14．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过点 的直线交 于 , 两点，其中点 在第一象限．若 的中
点 到 轴的距离为 ，且| | = 21( 为坐标原点)．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的面积；
(3)过点 ( 3,0)的直线 与抛物线 交于 , 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，设直线 , 的斜率分别
为 1, 2，使 1 2为定值，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e + , ( ) = ln( + 1)．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在 0, (0) 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
2
(3)若 ∈ (0, + ∞)， ( ) + ( ) > 2 + 1 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32/ 1.5
13. 2( 2, 1 , 1从 2 2 , 2 中任选一个即可)
14.38
15.【详解】(1)因为角 , , 成等差数列，所以 2 = +
π
又因为 + + = π，所以 = 3
由 5sin( ) = 3sin ，可知 5sin π π3 = 3sin = 3sin( + ) = 3sin + 3
化简得 sin = 4 3cos ，即 tan = 4 3.则 为锐角，
tan = 4 3
联立 sin2 + cos2
1
= 1，解得 cos = 7
cos > 0
(2) (1) cos = 1 sin = 4 3 , sin = sin + π = 4 3 × 1 + 1 × 3 5 3由 知 7，且 是锐角，则 7 3 7 2 7 2 = 14
又 的外接圆的周长为 7π，所以 2 = 7
那么 = 2 sin = 4 3, = 2 sin = 5 32
所以 的面积 = 12 sin =
1
2 × 4 3 ×
5 3
2 ×
3
2 =
15 3
2
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16.【详解】(1)设事件 表示“第一环节测试合格”，事件 表示“第二环节测试合格”，事件 表示“最终
测试合格”，
3
根据题意，由条件概率公式得 ( ) = ( ) = ( ) ( ∣ ) = 4 ，
已知 ( ) = 3 3 3 18，则4 = 8，故 = 2；
(2) (1) 3由 知，该产品测试合格的概率为8，因连续 2 次测试相互独立，
3故 服从二项分布，即 2, 8 ，
3 5 2
由二项分布概率公式得 ( = ) = C 2 8 8 ( = 0,1,2)，
0 2 0
当 = 0 时， ( = 0) = C0 3 5 252 8 8 = 64；
1 2 1
当 = 1 时， ( = 1) = C1 3 5 152 8 8 = 32；
2
= 2 ( = 2) = C2 3 5
2 2 9
当 时， 2 8 8 = 64；

0 1 2
25 15 9
64 32 64
由二项分布期望公式得 ( ) = 2 × 38 =
3
4．
17.【详解】(1) = 中，由 = 2，得 /\ !/ ，
翻折后，有 = 2， = 1， ⊥ ，
连接 ，可得 = 32 + 12 = 10，又因为 = 2, = 14，
所以 2 + 2 = 2， ⊥ ，
又因为 ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图空间直角
坐标系，
那么 (0,0,2), (1,0,0), (1,3,0)， (0,2,0)，
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设平面 的法向量为 1 = 1, 1, 1 ，且 = (1,3, 2), = (0, 3,0)，
1 = 0 1 + 3 1 2 1 = 0则

，即
1 = 0 3 = 0
，令 1 = 1，可得 1 = 0, 1 = 2，所以 1 = (2,0,1)
1
设平面 的法向量为 2 = 2, 2, 2 ，且 = (0,2, 2), = (1,3, 2)，
2 = 0 2 2 = 0则 ，即
2 2 ，令 = 1，可得 = 1, = 1，所以 = ( 1,1,1)，
= 0 + 3 2 = 0 2 2 2 22 2 2 2
cos , = 1 所以， 2 151 2 = 15 ，所以平面 与平面
15
的夹角的余弦值为
1 2 15
．
18. 【详解】(1)由题意得 2 , 0
∵ 的中点 到 轴的距离为 ，
∴ 3 = 2
又∵点 在抛物线上，
∴ 2 = 2 = 3 2，又点 在第一象限，即 = 3 ，
2
∴ | |2 = 2 + 2 =
21
4 = 21，∵ > 0，∴ = 2．
∴抛物线 的方程： 2 = 4 ．
(2)由(1)可知： =
3
2 = 3， = 3 = 2 3， (1,0)，
所以直线 的斜率为 3，则直线 的方程为 = 3( 1)．
联立抛物线可得 3 2 10 + 3 = 0，∴ = 1．
又∵ = 3，∴ =
1 1
3，那么 3 ,
2
3 3
1
所以 的面积 = 2 × | | × =
1
2 × 1 ×
8 3 4 3
3 = 3 ．
(3)如图：
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设 1, 1 ， 2, 2 ， ( , 0)，
易知直线 斜率存在，设直线 : = 3，
= 3
联立 2 2 = 4 ，消 得： 4 + 12 = 0
∵ Δ = 16 2 48 > 0，
∴ 2 > 3，
由韦达定理得： 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 12，

∴ 1 2 =
1 2
1 2
1 = 2 1 (3+ ) 2 (3+ )
1 = 2
2 21 2 (3+ ) 1 + 2 + (3+ )
= 12 1212 2 4 2(3+ )+(3+ )2 = 12 4(3+ ) 2+(3+ )2，
为使得 1 2为定值，则需满足 12 4(3 + ) 2 + (3 + )2与 无关，
故 12 4(3 + ) = 0，即 = 0，∴ (0,0)，
综上，存在定点 (0,0)，使得 1 2为定值．
19.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = e + ，则 (0) = e0 + 0 = 1
又∵ ′( ) = e + 1, ∴ ′(0) = e0 + 1 = 2，
∴切线方程为 1 = 2( 0)，即 2 + 1 = 0；
(2) ( )的定义域为( 1, + ∞)， ′( ) = 1 +1，
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①当 ≤ 0 时， ′( ) = 1 +1 < 0，∴ ( )在( 1, + ∞)上单调递减；
②当 > 0 时，令 ′( ) > 0，得 > 1 1，
′( ) < 0 1，得 1 < < 1，
∴ ( )在 1, 1 1 1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增
综上所述，若 ≤ 0，则 ( )在( 1, + ∞)上单调递减，
1 1
若 > 0，则 ( )在 1, 1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增．
(3) ∵ ( ) + ( ) >
2 2
2 + 1 ∴ e
2 + (2 + 1) ln( + 1) 1 > 0，
2
令 ( ) = e 2 + (2 + 1) ln( + 1) 1，则 (0) = e
0 1 = 0，
∴ ′( ) = e + 2 + 1 1 ′ +1， (0) = 1 + 2 ，
2
①当 ≥ 1时，∵ ∈ (0, + ∞), ∴ (2 + 1) ≥ 0，∴ ( ) ≥ e 2 2 ln( + 1) 1，
2
令 ( ) = e 2 ln( + 1) 1, (0) = e
0 1 = 0，
∴ ′( ) = e 1 , ′ +1 (0) = 0，
1
令 ( ) = ′( ) = e ′ +1，则 ( ) = e
1+ 1( +1)2，
又∵ > 0, ∴ ′( ) > 0，则 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
则 ′( ) > ′(0) = 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
则 ( ) > (0) = 0 在(0, + ∞)上恒成立，则 ( ) ≥ ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
∴当 ≥ 12时， ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立；
②当 < 1 ′2时， (0) = 1 + 2 < 0，
若 ′( )在(0, + ∞)上无零点，则 ′( ) < 0 在(0, + ∞)上恒成立，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递减，则 ( ) < (0) = 0 在(0, + ∞)上恒成立，不符合题意；
若存在 ′0 ∈ (0, + ∞)使得 0 = 0，其中 0为最小的零点，
则 ′( ) < 0 在 0, 0 上恒成立，则 ( )在 0, 0 上单调递减，
则 ( ) < (0) = 0 在 0, 0 上恒成立，不符合题意；
∴ 1的取值范围为 2 , + ∞ ．
第 8页，共 9页
第 9页，共 9页

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