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贵州省黔南布依族苗族自治州 2025 届高三上学期 1 月期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = 2 < 0 , = = ln 12 ，则 ∩ =( )
A. ∞, 12 B. (0,1) C. 0,
1
2 D. ( ∞, 1)
2.若复数 满足 i + = 1 + 3i，则 的虚部为( )
A. 1 B. C. 2 D. 2
3.已知 ∈ ，则“ > 1 12”是“ < 2”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 , ( ≠ )是以 轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于 , 两点，
则 =( )
A. sin( + ) B. sin( ) C. cos( + ) D. cos( )
5.贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨
逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有
一个景点相同的概率是( )
A. 1 B. 1 1 24 3 C. 2 D. 3
6.在圆 2 + 2 = 9 上任取一点 ，过点 作 2轴的垂线，垂足为 ，若 = 3
，则点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2A. 2 + 9 = 1 B.
2
9 + = 1 C.

4 + 9 = 1 D. 9 +

4 = 1
7 1 1 1.已知数列 满足 1 = 1, 1 = 1( ≥ 2 且 ∈ )， = +1，则满足条件 + + + +1 2 3
1 100
> 101的最小整数 是( )
A. 99 B. 100 C. 101 D. 102
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + 1) 1, ′( )都是奇函数，当 1 < ≤ 2 时， ( ) = lg( 1)，则
2025 =1 ( ) =( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = 3cos 3 π6 ，则( )
A. ( ) 2π的最小正周期为 3
B. 2π9 , 0 为 ( )的图象的一个对称中心
C. ( ) π 2π在 3 , 3 上单调递增
D.将 ( )的图象的横坐标伸长为原来的 3 倍后得到 ( )的图象，则曲线 = ( )与直线 = 有 4 个交点
10.已知正四棱台 1 1 1 1的上底面边长为 4，下底面边长为 8，侧棱长为 4， 为线段 1 1的中点，
动点 在四边形 1 1内运动(包含边界)，直线 1 与平面 1 1所成角的正切值为 2 2，则下列选项正
确的是( )
A. 1 ⊥
B. 214 2正四棱台 1 1 1 1的体积为 3
C.正四棱台 1 1 1 1的外接球的表面积为 160π
D.动点 的轨迹长度为 2π
11.已知直线 = ( 1)与抛物线 2 = 4 交于 , 两点， 是抛物线的焦点，则下列选项正确的是( )
A.若 = 1，则| | = 8
B. 2| | + 3| |的最小值为 5
C.过点 作 = 1 的垂线，垂足为 ，则 , , 三点共线
D.以 为直径的圆与 = 1 相切
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若样本数据 10，18， ，16，24，6，8，22 的平均数为 14，则该样本数据的第 75 百分位数是 ．
13.已知函数 ( ) = ln(5 )，则函数 ( )在 = 0 处的切线方程为 ．
14.如图，曲线 = 3 下有一系列正三角形，设第 个正三角形 1 ( 0与
坐标原点重合)的边长为 , 1 = 2，则第 个正三角形 1 的面积为 .
(用含 的代数式表示)
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在①cos2 = cos( + )，② sin = cos π6 ，③ 3 sin + cos = 2 这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知锐角三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，______．
(1)求 ；
(2)若 = 8，求 面积的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某同学参加射击俱乐部射击比赛，每人最多有三次射击机会，射击靶由内环和外环组成，若击中内环得 10
1 1
分，击中外环得 5 分，脱靶得 0 分．该同学每次射击，脱靶的概率为6，击中内环的概率为3，击中外环的
1
概率为2，每次射击结果相互独立，只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛．
(1)在该同学最终得分为 10 分的情况下，求该同学射击了 2 次的概率；
(2)设该同学最终得分为 ，求 的分布列和数学期望 ( )．
17.(本小题 15 分)
已知四棱锥 , ⊥平面 , 为线段 上一动点， = ， // ， = 2, = 1, =
2, = 5．
(1)证明：当 = 2 时， //平面 ；
(2)若 ⊥ , 为线段 1的中点，当二面角 的余弦值为9时，求此时 的值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1 的离心率为 2，点 2, 3 在双曲线 上，过点 (2,0)的直线与双曲线 交于 ,
两点， 是双曲线 的左顶点．
(1)求双曲线 的标准方程；
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(2)直线 ，直线 与 = 分别交于 , 两点，若∠ = π2，求 的值．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( )在[ , ]上存在 1， 2( < 1 < 2 < )
( ) ( )
，使得 ′ 1 = ， ′
( ) ( )
2 = ，则称 ( )
是[ , ]上的“双中值函数”，其中 1， 2称为 ( )在[ , ]上的中值点．
(1)判断函数 ( ) = 3 3 是不是[ 2,2]上的“双中值函数”，并说明理由；
(2) 1已知函数 ( ) = 22 ln ，存在 > > 0，使得 ( ) = ( )，且 ( )是[ , ]上的“双中值函
数”， 1， 2是 ( )在[ , ]上的中值点．
①求 的取值范围；
②证明： 1 + 2 > + 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.20
13. + 5 5ln5 = 0
14. 3 2
15.【详解】(1)若选择①cos2 = cos( + ).由 + + = π，得 + = π ，
所以 cos( + ) = cos ，所以 2cos2 1 = cos 1，解得 cos = 2或 1．
∈ 0, π π又因为 2 ，故 = 3．
π
若选择② sin = cos 6 ．
由正弦定理得 sin sin = sin cos π6 ．
又因为 ∈ 0, π2 ，所以 sin ≠ 0，所以 sin = cos
π
6 ，
即 sin = 32 cos +
1
2 sin ，整理可得 sin = 3cos ，解得 tan = 3．
∈ 0, π = π又因为 2 ，故 3．
若选择③： 3 sin + cos = 2 ．
由正弦定理得 3sin sin + sin cos = 2sin ．
π
又因为 ∈ 0, 2 ，所以 sin ≠ 0，所以 3sin + cos = 2，即 2sin +
π
6 = 2．
π
可得 sin + 6 = 1，
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又因为 ∈ 0, π π π 2π π π π2 ，所以 + 6 ∈ 6 , 3 ，所以 + 6 = 2，故 = 3．
(2)由(1)可知 = π3，且 = 8，由正弦定理及 = π
π
3 =
2π
3 ，
8sin 2π3 = = 4 3cos +4sin 可得 sin sin = 4 +
4 3
tan ．
0 < < π2 π π
又因为在锐角三角形 中， 2π π，所以 ∈ , ，0 < 3 <
6 2
2
故 tan ∈ 33 , + ∞ ，所以 ∈ (4,16)．
1
所以面积 = 2 sin = 2 3 ，所以 ∈ 8 3, 32 3 ，
所以 面积的取值范围是 8 3, 32 3 ．
16.【详解】(1)设“该同学第 次射击击中内环”为事件 ；“该同学第 次射击击中外环”为事件 ；
“该同学第 次射击脱靶”为事件 .“该同学最终得分为 10 分”为事件 ，
“该同学射击 2 次”为事件 ．
( )
由题意知 ( ∣ ) = ( ) ，
( ) = + = 1 × 1 + 1 × 1 × 1 = 7 1 1 1且 1 2 1 2 3 3 6 2 2 6 72 , ( ) = 3 × 6 = 18，
1
( ∣ ) = ( ) 18 4 ( ) = 7 = 7．
72
(2)由题意可知 的可能取值有 0,5,10,15,20,25,30，
则 ( = 0) = 16；
( = 5) = 12 ×
1
6 =
1
12；
( = 10) = 1 × 1 1 1 1 73 6 + 2 × 2 × 6 = 72；
( = 15) = 1 × 1 1 1 1 1 1 1 1 133 2 × 6 + 2 × 3 × 6 + 2 × 2 × 2 = 72；
( = 20) = 13 ×
1
3 ×
1
6 +
1 1 1 29
3 × 2 × 2 × 3 = 108；
( = 25) = 13 ×
1 × 13 2 × 3 =
1
6；
( = 30) = 1 1 1 13 × 3 × 3 = 27．
的分布列为
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0 5 10 15 20 25 30
1 1 7 13 29 1 1
6 12 72 72 108 6 27
数学期望 ( ) = 0 × 16+ 5 ×
1
12 + 10 ×
7 13 29
72 + 15 × 72 + 20 × 108 + 25 ×
1+ 30 × 1 = 31856 27 216．
17.【详解】(1)证明：连接 , 交于点 ，连接 ．
由题可知，因为 // ，所以 ∽△ ．
所以 : = : = 1: 2，又 : = 1: 2，
所以 : = : ，
所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)过点 作 的垂线，垂足为 ．
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图的空间直角坐标系 ．
由题知 (0,0,0), (0,1,0), (2,1,0), (0,0,2), (2, 1,0), 1, 12 , 1 ．
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则 = (2,1,0), = 1, 12 , 1 ．
设向量 = 1, 1, 1 为平面 的法向量．
由此可知， = 0, = 0，
2 1 + 1 = 0
所以 1
1
2 1 +
,
1 = 0
令 1 = 1，可得 1 = 2, 1 = 2，
所以 = (1, 2, 2)为平面 的一个法向量．
设点 ( , , )，由 = ，可知( , , 2) = ( , 1 , )，
所以 = 0, = 2 21+ , = 1+ ，由此知点 0, 1+ , 1+ ，
2
所以 = 0, 1+ , 1+ ．
设向量 = 2, 2, 2 为平面 的法向量，
由此可知， = 0, = 0，
2 2 + 2 = 0
所以 + 2 = 0，令 2 = 1，则 2 = 2, 2 = ，1+ 2 1+ 2
所以 = (1, 2, )为平面 的一个法向量，．

设二面角 cos = = |5 2 | 1为 ，则 = ，
3 5+ 2 9
= 2 22 5解得 或 7，易知当 = 2时，二面角 为直角，
所以当 = 227时，二面角 为钝角，舍去，
所以 的值为 2．
18. (1) 4 3【详解】 由题意知 = 2，
2 2 2
2 2 = 1， = + ，
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解得 2 = 2 = 1, 2 = 2，
所以双曲线 的标准方程为 2 2 = 1．
(2)设 1, 1 , 2, 2 ，直线 的方程为 = + 2．
= + 2,
由 2 2 = 1,得
2 1 2 + 4 + 3 = 0．
当 2 1 = 0 时，直线 与双曲线 只有一个交点，不合题意，舍去；
1 + =
4
2 2 1 ,
当 2 1 ≠ 0 时， 1 2 =
3
2 1 ,
Δ = 16 2 12 2 1 > 0．
由题意知， , , 三点共线，所以 = ．
设 , 3 , , 4 ，

则 3
1 ( +1) 1 ( +1) 2
+1 = +1，即 3 =1 1+1
，同理可得 4 = +1 ．2
π
因为∠ = 2，
所以 = 0，所以 2, 3 2, 4 = 0，
所以( 2)2 + 3 4 = 0．
2 3
( 2)2 + ( +1)
2 ( +1)
即 1 2 +1 +1 = ( 2)
2 + 2 1
1 2 1 2+
= 0．
1+ 2 +1
而 1 2 + 1 + 2 + 1
= 1 + 2 2 + 2 + 1 + 2 + 4 + 1
= 2 1 2 + 3 1 + 2 + 9
3 4 2 1
= 2 2 + 3 1 2
+ 9
1 2 1
= 9 2 1．
2
所以( 2)2 ( +1)3 = 0，
= 7+3 3 = 7 3 3解得 2 或 2 ，
所以当∠ = π2时， =
7+3 3 7 3 3
2 或 = 2 ．
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19.解：(1)函数 ( ) = 3 3 是[ 2,2]上的“双中值函数”．
理由如下：
因为 ( ) = 3 3 ，所以 ′( ) = 3 2 3，
(2) = 2 ( 2) = 2 (2) ( 2)因为 ， ，所以 2 ( 2) = 1，
′令 ( ) = 1 2 3，得 3 2 3 = 1 ，解得 =± 3 ，
因为 2 < 2 3 2 33 < 3 < 2，
所以 ( )是[ 2,2]上的“双中值函数”；
(2) ( ) ( )①因为 ( ) = ( )，所以 = 0，
因为 ( )是[ , ] ′ ′上的“双中值函数”，所以 ( 1) = ( 2) = 0 ，
′由题意可得 ( ) = 1， > 0，
设 ( ) = ′( ) = 1，则 ′( ) = 1 1 1 = ， > 0，
当 ∈ (0,1) ′时， ( ) < 0，则 ( ) ′单调递减，即 ( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞) ′时， ( ) > 0，则 ( )单调递增，即 ′( )单调递增，
故 ′( )min = ′(1) = ，
因为 ′ 1 = ′ 2 = 0，所以 < 0，所以 > 0，即 的取值范围为(0, + ∞)；
②证明：不妨设 0 < 1 < 1 < 2，
则 1 ln 1 1 = 0， 2 ln 2 1 = 0，即 1 ln 1 = + 1， 2 ln 2 = + 1．
要证 1 + 2 > + 2，即证 2 > + 2 1 = 1 ln 1 ，
设 ( ) = ( ) (1 ln ) = 1 + ln(1 ln )(0 < < 1)，
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′则 ( ) = 1 1 (1 ) (0 < < 1)，
设 ( ) = (1 ln )(0 < < 1) ′，则 ( ) = > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，所以 0 < ( ) < (1) = 1，
所以 ′( ) = 1 1 (1 ) < 0，
则 ( )在(0,1)上单调递减，
因为 (1) = (1) (1) = 0，所以 ( ) > 0，即 ( ) > (1 ln )，
因为 0 < 1 < 1，所以 1 > 1 ln 1 ，
因为 1 = 2 = 0，所以 2 > 1 ln 1 ，
因为 0 < 1 < 1，所以 1 ln 1 > 1 ，
由①可知 ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 2 > 1 ln 1，即 1 + 2 > + 2 得证．
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