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山西省山西大学附属中学校 2026 届高三上学期 8 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据 2，3，6，8，9，10 的中位数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2 2+i.若复数 满足 +3 = 1 + i，则 =( )
A. 32
1
2 i B.
3
2 +
1
2 i C.
3
2
5 3 5
2 i D. 2 + 2 i
3.集合 = 1 ≤ ≤ 2 , = ∈ N < 2 ，则 ∩ =( )
A. < 2 B. 0,1
C. 1,0,1 D. 1 ≤ < 2
4 2 + .若 < 1，则关于 的不等式 +1 < 1 的解集为( )
A. 1 < < 1 B. > 1
C. < < 1 D. > 1 或 < 1
5.在 中， : : = 3: 5: 7，则这个三角形的最大内角为
A. 30 B. 90 C. 120 D. 60
6.设 是等差数列 的前 项和，若 3 = 15, 8 5 = 18，则 8 =( )
A. 132 B. 88 C. 44 D. 33
7 sin + π = 1.已知 6 2+ cos
π
，则 cos 2 3 =( )
A. 12 B.
1
2 C.
3
4 D.
3
4
8.已知抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)可由抛物线 = 2平移得到，若抛物线 : = 1 ( 2)24 + 3 的焦点
为 ，点 在抛物线 上且| | = 5，则点 到 轴距离为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9
2 2
.已知双曲线 : 2 = 1( > 0)的实轴长是虚轴长的 3 倍，则( )
A. = 18 B. 1的渐近线方程是 =± 3
C. 10的焦距为 2 5 D. 的离心率为 3
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10.在公比 为整数的等比数列{ }中， 是数列{ }的前 项和，若 1 + 4 = 18， 2 + 3 = 12，则下列说
法正确的是( )
A. = 2 B.数列{lg }是公差为 2 的等差数列
C. 8 = 254 D.数列{ + 2}是等比数列
11.已知函数 ( ) = (1 2 )ln 1 ，则( )
A. ( )的定义域为(0,1) B. ( + 12 )为偶函数
C. ( )为单调递增函数 D. ( ) ≥ 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (3, 2), 3 + = ( 1,4)，则 = ．
13.已知函数 ( )的导数 ′( ) = ( + 1)( )，若 ( )在 = 1 处取到极大值，则 的取值范围是 ．
14.将两个半径均为 3cm 的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为 cm．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 sin 2 + 6 1．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)求 ( ) 在区间 3 ,

6 上的最值．
16.(本小题 15 分)
:
2 2 3
已知 ， 是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点和左焦点，椭圆 过点 1, 2 ，且焦距为 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与 交于 点(不与 点重合)，求 的面积．
17.(本小题 15 分)
在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， > ， // ， ⊥平面 ，
且 = 2 = 2， = 2．
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(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e (1 + ln ), ′( )为 ( )的导函数．
(1)若 < 0，讨论 ( )在(1, + ∞)上的极值点个数；
′
(2)设函数 ( ) = ( )e ，若 ( ) ≥
5
2恒成立．
①求 的取值范围；
②设函数 ( )的零点为 , ′0 ( )的极小值点为 1，求证： 0 > 1．
19.(本小题 17 分)
“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵
节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 、 两类，抽到较易的 类并答对购物打八折优惠，
抽到稍难的 类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 8 张完全相同的卡片，
其中 3 张写有 字母，3 张写有 字母，2 张写有 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 1 张卡片，若抽到
写有 的卡片，则再抽 1 次，直至取到写有 或 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 的卡片
的条件下，求他共抽了 3 次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共
会遇到 条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备
采用如下策略：不摘前 (1 ≤ < )条灯谜，自第 + 1 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就
摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 ．
①若 = 4, = 2，求 ；
②当 趋向于无穷大时，从理论的角度(0 < < , ∈ )，求 的最大值及 取最大值时 的值．
( 1取 +
1
+1+ +
1
1 = ln )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10 2
13.(0, + ∞) ∪ ( ∞, 1)
14.6 + 2 3/2 3 + 6
15.【详解】(1) ∵ ( ) = 2cos2 sin 2 + 6 1 = cos2 sin2 cos

6 + cos2 sin

6 = cos2
3 sin2 12 2 cos2 =
1
2 cos2
3
2 sin2 = cos2 cos

3 sin2 sin

3 = cos 2 + 3 ，

解不等式 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 ( ∈ )
2
，得 3 ≤ ≤

6 ( ∈ )，
2
因此，函数 = ( )的单调递增区间为 3 , 6 ( ∈ )；
(2) 2 当 3 ≤ ≤ 6时， 3 ≤ 2 + 3 ≤ 3．

当 2 + 3 = 0 时，函数 = ( )取得最大值 1；

当 2 + 3 =
2 1
3时，函数 = ( )取得最小值 2．
16.【详解】(1)因为焦距为 2 = 2，即 = 1，
9
1 4
方法一：由题意可得： 2 + 2 = 1，解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2 = 1
2 2
所以椭圆方程 4 + 3 = 1．
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方法二：由题意可知： ( 1,0)，右焦点 ′(1,0)，则 = 1，
2 2
可得| | + ′ = (1 + 1)2 + 32 + (1 1)
2 + 3 = 5 32 2 + 2 = 4 = 2 ，
即 = 2，可得 = 2 2 = 3，
2 2
所以椭圆方程 4 + 3 = 1．
(2)因为 1, 32 ， ( 1,0)，直线
0 +1
方程为3 = ，即 3 4 + 3 = 0，
2 0 1+1
3 4 + 3 = 0
联立方程 2 2 ，消去 可得 7 2 + 6 13 = 0，解得 = 1 或 =
13
，
4 + 3 = 1
7
3 2 13 25
可得| | = 1 + 4 1 + 7 = 7，
且 (2,0) 9 9到直线 : 3 4 + 3 = 0 的距离为 =
32+42 5
，
所以 1 25的面积 = 2 × 7 ×
9
5 =
45
14．
17.【详解】(1)取 中点 ，连接 ， ，
∵ = 2 = 2， = 2，点 为 中点，∴ = = 1，
又 // ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ， = ，∵ 为正方形，
∴ // ， = ，∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ．
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(2)以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 (0,0,2)， (2,2,0)， (0,2,0)， (2,0,1)，
则 = (2,2, 2)， = (0,2, 2)， = (2,0, 1)，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
= 2 1 + 2 1 2 1 = 0

，令
= 2 2 1
= 1，则 1 = 0， 1 = 1，所以 = (0,1,1)，
1 1 = 0
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
= 2 2 + 2 2 2 2 = 0
，令 2 = 1，则 2 = 2， = 2 = 0 2
= 1，所以 = (1,1,2)，
2 2
cos , = 1+2 3 = 2× 6 = 2 ，
所以平面 与平面 3所成角的余弦值为 2 ．
18.【详解】(1)由题设 ′( ) = e (1 + + ln ) ( ) = 1 + + ln ′( ) = ，令 ，则 (1
1
)，
由 < 0 且 > 1，则 ′( ) < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，则 ( ) < (1) = 1 + ，
若 ≤ 1，则 ( ) < (1) ≤ 0，故 ′( ) < 0 在(1, + ∞)上恒成立，此时 ( )在(1, + ∞)上单调递减，故无
极值点，
若 1 < < 0，则 (1) = 1 + > 0，且 趋向+∞ ， → 0
， ln → ∞，即 ( ) → ∞，
所以，存在 0 ∈ (1, + ∞)使 ( 0) = 0，则 1 < < 0时 ( ) > 0， > 0时 ( ) < 0，
故在(1, 0)上 ′( ) > 0， ( )在(1, ′0)上单调递增，在( 0, + ∞)上 ( ) < 0， ( )在( 0, + ∞)上单调递减，
此时 ( )在(1, + ∞)上有 1 个极大值点，无极小值点；
综上， ≤ 1 时 ( )在(1, + ∞)上无极值点， 1 < < 0 时 ( )在(1, + ∞)上有 1 个极大值点，无极小值
点；
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(2)①由题设，可得 ( ) = 1 + + ln ，显然 = 0 时不合题设，
当 < 0 5时， 趋向+∞， → 0 ， ln → ∞，即 ( ) → ∞，不符合 ( ) ≥ 2，
1
所以 > 0，且 ′( ) = (1 )，
所以 ′( ) < 0 0 < < 1，即 ( )在(0,1)上单调递减， ′( ) > 0 > 1，即 ( )在(1, + ∞)上单调递
增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1 + ≥ 52 ≥
3
2；

②由 ′( ) = e (1 + + ln )，令 ( ) =
′( )，则 ′( ) = e (1 + 2 2 + ln )，
2
令 ( ) = 1 + 2 3 ′ 2 2 ( 2 +2) 2 + ln 且 > 0、 ≥ 2，则 ( ) = 2 + 3 = 3 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞) 1上单调递增，则 (1) = 1 + > 0， ( 2 ) = 1 ln2 ≤ 1 ln2 2 < 0，
所以存在 2 ∈ (
1
2 , 1)使 ( 2) = 0，
( ) < 0，即 ′( ) < 0 有 0 < < 2， ( ) > 0，即 ′( ) > 0 有 > 2，
所以 ( ) = ′( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 时 ( ) = ′2 ( )的极小值点，因此 1 = 2 ∈ (
1
2 , 1)，
= 3 ( ) ≥ 5 1 + 3 + 3 ln ≥ 5 1 + ln ≥ 1 由①，当 2有 2，即 2 2 2，整理得 ，则 + ln ≥ ，
所以 ( ) ≥ ( 1) = e 1(1 +
+ ln 1) ≥ e 1 (1 + ) > 0，即
′( ) > 0
1
所以 ( )在(0, + ∞) 2 2 上单调递增，由 ( 1) = 1 + + ln = 0，即 1 + ln = ，1 2 1 1 21 1 1

所以 ( 1) = e 1(1 + ln 1) =
e 1 1
( 2) < 0 = ( 0)，1 1
综上， 0 > 1．
19.【详解】(1)设 表示共抽了 3 次且最后一次抽到 ，对应事件为{第一、二次都抽到 ，第三次抽到 }，
3 2 1
由题意，第一、二次抽到 的概率依次为8、7，第三次抽到 的概率为3，
( ) = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 × 1 1所以 8 7 6 8 7 3 = 28，
而最后一次抽到 的情况有{抽了 1 次}、{抽了 2 次}、{抽了 3 次}、{抽了 4 次}，除了最后一次，其它抽到 ，
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1 3 2 3 1 3 2 1 2
故对应概率依次为4、8 × 7 = 28、28、8 × 7 × 6 × 5 =
1
140，
设 表示事件最后一次抽到 ，则 ( ) = 1 3 1 1 35+15+5+1 24 + 28 + 28 + 140 = 140 = 5，
1
( ) 5
所以该顾客最后一次取到的是写有 的卡片的条件下，求他共抽了 3 次的概率为 = 28 ( ) = 2 = 56．
5
(2)①这 4 条灯谜的位置从第 1 个到第 4 个排序，有A44 = 24 种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
情况一：最适合灯谜是第 3 个，其它的随意在哪个位置，有A33 = 6 种情况；
情况二：最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第 1 个或第 2 个，其它的随意在哪个位置，
有 2A22 = 4
6+4 5
种情况，综上，所求概率为 24 = 12；
1
②记事件 表示最适合的灯谜被摘到，事件 表示最适合的灯谜排在第 个，则 = ，
由全概率公式知： ( ) = =1 ( | ) =
1


=1 ( | )，
当 1 ≤ ≤ 时，最适合的灯谜在前 条中，不会被摘到，此时 | = 0；
当 + 1 ≤ ≤ 时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前 1 条灯谜中的最适合那条在前 个之中时，
| 1 此时 = 1，所以 ( ) = + +1 + + 1 = ln

，
( ) = ln ( > 0) ′( ) = 1 ln 1 ′( ) = 0 = 令 ，则 ，由 ，得 e，
当 ∈ (0, ) e 时，
′( ) > 0，当 ∈ ( ′e , )时， ( ) < 0，
( ) (0, 1所以 在 e )上单调递增，在( e , )上单调递减，故 ( )max = ( e ) = e，
当 = e时， ( ) =
ln 1 1 取得最大值e，所以 的最大值为e．
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